第15講　全等三角形與尺規(guī)作圖（可編輯ppt）

1、欄目索引 第第1515講講 全等三角形與尺規(guī)作圖全等三角形與尺規(guī)作圖 欄目索引總綱目錄 泰安考情分析泰安考情分析 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 泰安考點(diǎn)聚焦泰安考點(diǎn)聚焦 總綱目錄總綱目錄 隨堂鞏固練習(xí)隨堂鞏固練習(xí) 欄目索引泰安考情分析 泰安考情分析 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 全等三角形的性質(zhì)與判定全等三角形的性質(zhì)與判定 知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四 三角形中位線定理三角形中位線定理 知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 定義能夠 完全重合 的兩個(gè)三角形叫做

2、全等 三角形 性 質(zhì) 角對(duì)應(yīng)角 相等 線段對(duì)應(yīng)線段(邊、角平分線、中線、高線、中位 線)相等 周長(zhǎng)、面積周長(zhǎng)相等, 面積 相等 判 定 三邊 SSS 兩角一邊 ASA、AAS 兩邊一角SAS 直角三角形HL 知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一 全等三角形的性質(zhì)與判定全等三角形的性質(zhì)與判定 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 溫馨提示溫馨提示 判定兩個(gè)三角形全等的條件中至少有一條邊對(duì)應(yīng)相 等. 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二 角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 1.1.角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理 (1)定理:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等 ;如圖,OP平 分AOB,PDOA于點(diǎn)D,PCOB于點(diǎn)C,則PC=PD.

3、 (2)逆定理:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在 角的平分線 上. 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 2.(1)三角形一個(gè)角的平分線分其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角 的兩邊對(duì)應(yīng)成比例. (2)如果三角形一邊上的某個(gè)點(diǎn)分這條邊所成的兩條線段與這條 邊的對(duì)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,那么該點(diǎn)與對(duì)角頂點(diǎn)的連線是三角 形的一條角平分線. 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三 線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì) 線段的垂直平分線線段的垂直平分線性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn) 到這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離 相等 判定定理到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相 等的點(diǎn)在這條線段的 垂直平分線 上 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 定理:如圖,線段AB的垂

4、直平分線為直線MN,則有AM=BM. 推論:若AM=BM,則點(diǎn)M在線段AB的垂直平分線上. 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四 三角形中位線定理三角形中位線定理 三角形中,兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊并且等于第三邊的一半. 在這個(gè)定理中,包含兩個(gè)結(jié)論,一個(gè)是位置關(guān)系的“平行”,一個(gè) 是數(shù)量關(guān)系的“相等”. 推論:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn),且平行于另一邊的直線,必平分第 三邊.這條推論是應(yīng)用三角形中位線定理添加輔助線的基礎(chǔ). 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 定理:如圖,ABC中,點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB和AC的中點(diǎn),則DE BC,且DE=BC. 推論:若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),且DEBC,則E為AC的中點(diǎn),且DE=B

5、C. 1 2 1 2 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 1.尺規(guī)作圖:限定用直尺(沒有刻度)和圓規(guī)作圖. 2.尺規(guī)作圖的類型 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 類型步驟圖示 基 本 作 圖 作一條線段等于 已知線段 1.作射線OP;2.在OP上截取OA=a,OA即為所求作的線 段 作一個(gè)角等于已 知角 1.以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧,交的兩邊 于點(diǎn)P、Q;2.作射線OA;3.以O(shè)為圓心,OP長(zhǎng)為半徑作 弧,交OA于點(diǎn)M;4.以點(diǎn)M為圓心,PQ長(zhǎng)為半徑作弧,兩 弧交于點(diǎn)N;5.過點(diǎn)N作射線OB,AOB即為所求作的 角 作已知角的平分 線 1.以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交

6、OA、OB于 點(diǎn)N、M;2.分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于MN長(zhǎng)為半徑 作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;3.作射線OP,OP即為所求作的角 平分線 作線段的垂直平 分線 1.分別以點(diǎn)A、B為圓心,大于AB長(zhǎng)為半徑,在AB兩側(cè) 作弧,兩弧分別交于M、N兩點(diǎn);2.過點(diǎn)M、N作直線MN, MN即為所求作的垂直平分線 1 2 1 2 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 基 本 作 圖 過一點(diǎn) 作已知 直線的 垂線 1.以點(diǎn)O為圓心,任意長(zhǎng)為半徑向 點(diǎn)O兩側(cè)作弧,交直線于A、B兩點(diǎn); 2.分別以點(diǎn)A、B為圓心,大于AB 長(zhǎng)為半徑向直線兩側(cè)作弧,兩弧分 別交于M、N兩點(diǎn);3.過點(diǎn)M、N作直 線MN,MN即為所求作的垂線 1.在直線另

7、一側(cè)取點(diǎn)M;2.以點(diǎn)P為 圓心,PM長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線于A 、B兩點(diǎn);3.分別以A、B為圓心,大 于AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交M同側(cè)于 點(diǎn)N;4.過點(diǎn)P、N作直線PN,PN即為 所求作的垂線 1 2 1 2 欄目索引基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 拓 展 類 型 已知一直角邊長(zhǎng)m 和斜邊 長(zhǎng)n作直角三角形 1.畫兩條互相垂直的直線,垂足為C,在其中一邊上截 取CA=m; 2.以點(diǎn)A為圓心,n為半徑畫弧,與另一邊交于點(diǎn)B; 3.連接AB,RtABC即為所求作的三角形 作圓的內(nèi)接正多 邊形 1.過圓心O作任意一條直徑記為AC; 2.作AC的垂直平分線,分別交圓于點(diǎn)B、 D;3.連接AB、BC、CD、DA,正方形ABCD

8、 即為所求作的正方形 作圓(半徑 為R)的內(nèi)接 正六邊形 1.畫圓(半徑為R)的任意一條直徑AB; 2.分別以點(diǎn)A、B為圓心,R為半徑畫弧, 與圓相交于點(diǎn)C、D、E、F; 3.依次連接各點(diǎn),正六邊形ACEBFD即為 所求作的正 六邊形 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 全等三角形的性質(zhì)和判定全等三角形的性質(zhì)和判定 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì) 考點(diǎn)四考點(diǎn)四 三角形中位線定理三角形中位線定理 考點(diǎn)五考點(diǎn)五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 全等三角形的性質(zhì)和判定全等三角形的性質(zhì)和判定 中考解

9、題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)全等三角形的性質(zhì)主要是指全等三角形的對(duì)應(yīng) 邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面積 等之間的等量關(guān)系.屬于泰安中考的必考考點(diǎn). 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 例例1 1如圖,AD是ABC的角平分線,DEAC,垂足為E,BFAC交 ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若BC恰好平分ABF,AE=2BF.給出下列四個(gè) 結(jié)論:DE=DF;DB=DC;ADBC;AC=3BF,其中正確的結(jié) 論共有 ( A ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析BFAC,C=CBF, BC平分ABF,ABC=CBF, C=ABC,AB=AC, AD是ABC的角平分線, BD=C

10、D,ADBC,故正確; 在CDE與BDF中, CDEBDF(ASA), DE=DF,CE=BF,故正確; , , , CDBF CDBD EDCFDB 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 AE=2BF,AC=3BF,故正確, 故選A. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 變式變式1-11-1 (2018臨沂)如圖,ACB=90,AC=BC.ADCE,BECE, 垂足分別是點(diǎn)D、E,AD=3,BE=1,則DE的長(zhǎng)是 ( B ) A. B.2 C.2 D. 3 2 210 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析BECE,ADCE, E=ADC=90,EBC+BCE=90. BCE+ACD=90, EBC=ACD. 在CEB和ADC中

11、, CEBADC(AAS), BE=DC=1,CE=AD=3. DE=EC-CD=3-1=2,故選B. , , , EADC EBCDCA BCAC 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)涉及角平分線的應(yīng)用時(shí),常需作輔助線以便于運(yùn) 用其性質(zhì). 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 例例2 2如圖,ABCD,BP和CP分別平分ABC和DCB,AD過點(diǎn)P, 且與AB垂直.若AD=8,則點(diǎn)P到BC的距離是 ( C ) A.8 B.6 C.4 D.2 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析過點(diǎn)P作PEBC于點(diǎn)E, ABCD,PAAB,PDCD, BP和CP分別平分ABC和D

12、CB, PA=PE,PD=PE,PA=PD, PA+PD=AD=8,PA=PD=4, PE=4,故點(diǎn)P到BC的距離是4. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 變式變式2-12-1如圖,AD是ABC中BAC的平分線,DEAB于點(diǎn)E,S ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長(zhǎng)是 ( A ) A.3 B.4 C.6 D.5 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析 SABC=7,SABD=ABDE=4,SACD=3,根據(jù)角平分線的性 質(zhì),ACD中AC邊上的高線=DE=2,AC=3. 1 2 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì) 中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)線段垂直平分線中有兩組線段相

13、等:線段垂直 平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;線段被垂足分為兩 條相等的線段. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 例例3 3如圖,在ABC中,按以下步驟作圖:分別以點(diǎn)B,C為圓心, 以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點(diǎn);作直線MN交AB于 點(diǎn)D,連接CD.若CD=AC,B=25,則ACB的度數(shù)為 105 . 1 2 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析MN為BC的垂直平分線, BCD為等腰三角形,B=25, BCD=25,CDA=B+BCD,AC=CD,CAD= CDA=50, 在ACD中,ACD=80, ACB=105. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 變式變式3-13-1如圖,在ABC中,AB=AC,

14、BAC=36,DE是線段AC的 垂直平分線,若BE=a,AE=b,則用含a,b的代數(shù)式表示ABC的周長(zhǎng) 為 3b+2a . 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析DE是線段AC的垂直平分線,AE=EC=b,易證B= BEC=72,在BCE中,BC=EC=b,又AC=AB=a+b,ABC的 周長(zhǎng)為3b+2a. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)四考點(diǎn)四 三角形中位線定理三角形中位線定理 中考解題指導(dǎo)中考解題指導(dǎo)三角形的中位線定理中,既涉及位置關(guān)系,又涉及 數(shù)量關(guān)系.在具體應(yīng)用時(shí),應(yīng)靈活選擇應(yīng)用.尤其當(dāng)圖形中出現(xiàn)多 個(gè)線段中點(diǎn)時(shí),往往連接兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 例例4 4如圖,在矩形A

15、BCD中,M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn),E、F 分別是線段BM、CM的中點(diǎn).若AB=8,AD=12,則四邊形ENFM的周 長(zhǎng)為 20 . 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn),AB=8,AD=12,AM= DM=6, 四邊形ABCD為矩形, A=D=90,BM=CM=10, E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn), EM=FM=5, EN,FN都是BCM的中位線, EN=FN=5, 四邊形ENFM的周長(zhǎng)為5+5+5+5=20. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 變式變式4-14-1 (2018臨沂)如圖,點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊 AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).則下列說法:

16、 若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形; 若ACBD,則四邊形EFGH為菱形; 若四邊形EFGH是平行四邊形,則AC與BD互相平分; 若四邊形EFGH是正方形,則AC與BD互相垂直且相等.其中正 確的個(gè)數(shù)是 ( A ) 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 A.1 B.2 C.3 D.4 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析因?yàn)橐话闼倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形是平行四邊形,當(dāng)對(duì)角線 BD=AC時(shí),中點(diǎn)四邊形是菱形,當(dāng)對(duì)角線ACBD時(shí),中點(diǎn)四邊形是 矩形,當(dāng)對(duì)角線AC=BD,且ACBD時(shí),中點(diǎn)四邊形是正方形,故只 有正確,故選A. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)五考點(diǎn)五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 例例5 5 (2018青島)已知:如圖,A

17、BC,射線BC上一點(diǎn)D. 求作:等腰PBD,使線段BD為等腰PBD的底邊,點(diǎn)P在ABC內(nèi) 部,且點(diǎn)P到ABC兩邊的距離相等. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析如圖所示: 等腰PBD即為所求. 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 變式變式5-15-1 (2018濰坊)如圖,木工師傅在板材邊角處作直角時(shí),往 往使用“三弧法”,其作法是: (1)作線段AB,分別以A,B為圓心,以AB長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧的交點(diǎn) 為C; (2)以C為圓心,仍以AB長(zhǎng)為半徑作弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D; (3)連接BD,BC. 下列說法不正確的是 ( D ) A.CBD=30 B.SBDC=AB2 C.點(diǎn)C是ABD的外心 D.sin2A+co

18、s2D=1 3 4 欄目索引泰安考點(diǎn)聚焦 解析解析由(1)可知,AB=AC=BC, ABC為等邊三角形, A=ACB=ABC=60,SABC=AB2. 由(2)可知CD=AC=BC=AB, CBD=D= ACB=30,SBDC=SABC=AB2,點(diǎn)C是ABD的 外心. 故選項(xiàng)A、B、C說法正確,故選D. 3 4 1 2 3 4 欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題一、選擇題 1.如圖,下列條件中,不能證明ABCDCB的是 ( D ) 隨堂鞏固訓(xùn)練 A.AB=DC,AC=DB B.AB=DC,ABC=DCB C.BO=CO,A=D D.AB=DC,A=D 欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練 2.如圖,在方格紙中,

19、以AB為一邊作ABP,使以點(diǎn)A,B,P為頂點(diǎn)三 角形與ABC全等,從P1,P2,P3,P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P,則 點(diǎn)P有 ( C ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練 3.如圖,ABC中,AB=AC,AD是角平分線,DEAB,DFAC,E、F 為垂足,對(duì)于結(jié)論:DE=DF;BD=CD;AD上任一點(diǎn)到AB、AC 的距離相等;AD上任一點(diǎn)到點(diǎn)B、C的距離相等.其中正確的是 ( D ) A. B. C. D. 欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練 二、填空題二、填空題 4.(2018山西)如圖,直線MNPQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點(diǎn) A,B.小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:以點(diǎn)A為圓心,以任意 長(zhǎng)為半徑作弧交AN于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D;分別以C,D為圓心,大于 CD長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在NAB內(nèi)交于點(diǎn)E;作射線AE交PQ 于點(diǎn)F.若AB=2,ABP=60,則線段AF的長(zhǎng)為 2 . 1 2 3 欄目索引隨堂鞏固訓(xùn)練 解析解析過點(diǎn)B作BGAF交AF于點(diǎn)G, 由尺規(guī)作圖可知,AF平分NAB, NAF=BAF. MNPQ,NAF=BFA, BAF=BFA,BA=BF=2. BGAF,