積分中值定理在數(shù)學分析中的應用(優(yōu)秀畢業(yè)論文)

1、畢業(yè)論文畢業(yè)論文題 目 積分中值定理在數(shù)學分析中的應用 學生姓名 學號 所在院(系) 數(shù) 學 系 專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2006級5班 指導教師 完成地點 2010年 5月 30日積分中值定理在數(shù)學分析中的應用優(yōu)秀論文 摘 要 本文主要介紹了積分中值定理在數(shù)學分析中應用時的注意事項及幾點主要應用,這些應用主要是：一.求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值;二.估計定積分的值;三.求含有定積分的極限;四.確定積分的符號;五.證明中值的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數(shù)的單調(diào)性.關(guān)鍵詞 積分;中值;定理;應用1 引言積分中值定理是數(shù)學分析中的主要定理之一,同時也是定積分的一個主要性質(zhì),它建立了

2、積分和被積函數(shù)之間的關(guān)系,從而我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)來研究部分的性質(zhì),有較高的理論價值和廣泛應用.本文就其在解題中的應用進行討論.2 預備知識定理 2.11 (積分第一中值定理) 若在區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點使得 .證明 由于在區(qū)間a,b上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由,使用積分不等式性質(zhì)得到,或.再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點,使得定理 2.21 (推廣的積分第一中值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號,則在至少存在一點,使得證明 推廣的第一中值積分定理不妨設在上則在上有其中,分別為在上的最小值和最大值,則有若,則由上式知,從而對上任何一點,定理都成立.若則由上

3、式得則在上至少存在一點,使得即 顯然,當時,推廣的積分第一中值定理就是積分中值定理3 積分中值定理的應用由于積分中值定理可以使積分號去掉,從而使問題簡化,對于證明包含函數(shù)積分和某個函數(shù)值之間關(guān)系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理. 在使用積分中值定理時要注意以下幾點：(1) 在應用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否則,結(jié)論不一定成立.例如顯然在處間斷.由于但在上,所以,對任何都不能使.(2) 定理中的在區(qū)間上不變號這個條件也不能去掉.例如 令 由于 ,但所以,不存在,使(3) 定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必須是的內(nèi)點.例如 令,則對都有,這也說明了未必在區(qū)間的內(nèi)點.下

4、面就就其應用進行討論.3.1 求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值例1 試求在上的平均值.解 平均值例2 試求心形線上各點極經(jīng)的平均值.解 平均值注 在解某區(qū)間上一個函數(shù)的平均值時,我們只需要在這個區(qū)間上對這個函數(shù)進行積分,然后積分結(jié)果除以區(qū)間的差值.在這里主要是應用了積分第一中值定理,所以求解其類問題時,一定要理解積分中值定理的定義.3.2 估計定積分的值例3 估計的值.解 由推廣的積分第一中值定理,得 其中因為所以即 故例 4 估計的值.解 因為在上連續(xù),且,所以由積分第一中值定理有. 在估計其類積分的值時,首先我們要確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎(chǔ)上確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后

5、再利用積分中值定理就迎刃而解了.例 5 估計的值.解 因為在上連續(xù),在內(nèi)可導,且在內(nèi)無解,即,等號僅在時成立.故在內(nèi)嚴格單調(diào)增,即,所以由積分第一中值定理有.在估計其類積分的值時,首先要確定要積分的函數(shù)在積分閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導,然后判斷函數(shù)在積分區(qū)間上的單調(diào)性,最后利用積分中值定理就可以估計積分的值了.綜上,在利用積分中值定理估計積分的值時,我們要根據(jù)不同的題型給出不同的解決方法,這也是我們在學習過程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習慣.3.3 求含有定積分的極限例6 求極限為自然數(shù).解 利用中值定理,得因為在上連續(xù),由積分中值定理得當時,而|.故=0.例7 求.解 若直接用中值定理=,因為

6、而不能嚴格斷定,其癥結(jié)在于沒有排除,故采取下列措施=+.其中為任意小的正數(shù).對第一積分中值定理使用推廣的積分第一中值定理,有.=,.而第二個積分=,由于得任意性知其課任意小.所以=+=0.注 求解其類問題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號.在應用該定理時,要注中值不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量的趨近方式.3.4 確定積分的符號例8 確定積分的符號.解 =+=+=+ =-+ =利用積分中值定理,得=0.(其中)又在上不恒等于0,故. 注 在解決其類題時,我們常常會以0作為上下限的中介點,然后把原積分寫成以0為中介點的兩個積分的和,積分化就成兩個以0為中介點且上下限一樣的積分相加,

7、最后利用積分中值定理確定積分的符號.這里主要使用了積分中值定理和函數(shù)的單調(diào)性.3.5 證明中值的存在性命題例9 設函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,證明,使,證明 由積分中值定理得,（其中）又因為在上連續(xù),在內(nèi)可導.故在上滿足羅爾定理條件,可存在一點,使. 注 在證明有關(guān)題設中含有抽象函數(shù)的定積分等式時,一般應用積分中值定理求解,掌握積分中值定理在解此類問題時至關(guān)重要,是我們必須要好好掌握的.3.6 證明不等式例10 求證 證明 其中,于是由即可獲證.例 11 證明 .證明 估計連續(xù)函數(shù)的積分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,則.因為 ,所以.例 12 證明 證明 估計積分的一般的方法是:求在的

8、最大值和最小值,又若,則.本題中令 .因為 所以.例13 證明.證明 在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值.,令,得駐點.比較,知為在上的最小值,而為在上的最大值.由積分中值定理得,即.注 由于積分具有許多特殊的運算性質(zhì),故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時,也?？紤]用積分中值定理,以便去掉積分符號,若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時,可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如11和12例題時,可以根據(jù)估計定積分的值在證明比較簡單方便.3.7 證明函數(shù)的單調(diào)性例 14 設函數(shù)在上連續(xù),試證:在內(nèi),若為非減函數(shù),則為非增函數(shù). 證明 ,對上式求導,得利用積分中值定理,得,若為非減函數(shù)

9、,則,所以,故為非減函數(shù). 綜上所述,積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,從而使問題簡單化.因此,對于證明有關(guān)題設中含有某個函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應考慮使用積分中值定理,去掉積分號.在使用該定理時,常與微分中值定理或定積分的其他一些性質(zhì)結(jié)合使用,是所求問題迎刃而解.參考文獻1華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析m.北京:高等教育出版社,2001.217-219.2張筑生.數(shù)學分析新講m.北京:北京大學出版社,1990.92-95.3 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學分析講義m.第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.

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