第二章數(shù)學(xué)方法化的發(fā)展和演進

1、第二章 數(shù)學(xué)方法論的發(fā)展 第一節(jié) 數(shù)學(xué)發(fā)展歷史 數(shù)學(xué)的萌芽時期數(shù)學(xué)的萌芽時期 從遠古到公元前六世紀(jì) 常量數(shù)學(xué)或初等數(shù)學(xué)時期常量數(shù)學(xué)或初等數(shù)學(xué)時期 從公元前六世紀(jì)到公元十七世紀(jì)初 變量數(shù)學(xué)時期變量數(shù)學(xué)時期 從十七世紀(jì)初到十九世紀(jì)20年代。 這個時期的起點是笛卡爾的著作。 近代數(shù)學(xué)時期近代數(shù)學(xué)時期 十九世紀(jì)20年代到20世紀(jì)40年代。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期 從20世紀(jì)40年代至現(xiàn)在 數(shù)學(xué)萌芽時期 1.數(shù)學(xué)的對象 天文歷法的計算， 土地丈量的長度、面積、體積的計算， 商業(yè)交往中運輸、交換的計算等 2.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點 （1）數(shù)學(xué)研究的對象是初步的算術(shù)和幾何的計算知識； 算術(shù)和幾何結(jié)合在一起研究 （

2、2）數(shù)學(xué)概念的形成比較緩慢，數(shù)學(xué)知識是片斷的、 零碎的，缺乏邏輯因素，沒有形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系 （3）已經(jīng)逐步出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)概念和一些抽象的數(shù)學(xué) 符號， 產(chǎn)生了具有一定關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)系統(tǒng) 算 術(shù) （4）為建立抽象的數(shù)學(xué)理論科學(xué)，從思想和方法上 積累了豐富的素材 常量數(shù)學(xué)或初等數(shù)學(xué)時期 1.數(shù)學(xué)的對象 研究對象是客觀事物在相對靜止的狀 態(tài)下保持不變的數(shù)量和圖形，即常量。研 究方法采用了邏輯方法（主要是演繹法） 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 希臘在幾何發(fā)展方面有突出貢獻。歐幾 里得的幾何原本是這個時期的重大貢 獻，它是從經(jīng)驗數(shù)學(xué)到理論數(shù)學(xué)的標(biāo)志。 中國的九章算術(shù)是這個時期杰出的 數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 九章算術(shù)是

3、中國古代第一部數(shù)學(xué)專著， 是算經(jīng)十書中最重要的一種。該書內(nèi)容十分 豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué) 成就。同時，九章算術(shù)在數(shù)學(xué)上還有其 獨到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首 先記錄了盈不足等問題，“方程”章還在世界 數(shù)學(xué)史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。 要注意的是九章算術(shù)沒有作者，它是一 本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最先進 的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形 成了完整的體系。 九章算術(shù)亦有其不容忽視的缺點： 沒有任何數(shù)學(xué)概念的定義，也沒有給出 任何推導(dǎo)和證明。魏景元四年(263年)， 劉徽給九章算術(shù)作注，才大大彌補 了這個缺陷。 九章算術(shù)是幾代人共同勞動的結(jié) 晶，它的出現(xiàn)標(biāo)

4、志著中國古代數(shù)學(xué)體系 的形成后世的數(shù)學(xué)家，大都是從九 章算術(shù)開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識的。 唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。 1084年由當(dāng)時的北宋朝廷進行刊刻，這 是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書。 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點 （1）數(shù)學(xué)的研究對象從實際事物的性質(zhì)中抽 象出來，把它理想化成純粹的研究對象相 對穩(wěn)定狀態(tài)下的數(shù)量和圖形。 （2）由具體的實驗階段過渡到抽象的理論階 段，建立了更多的抽象的數(shù)字概念、符號和圖 形，逐步脫離實際問題而成為獨立的學(xué)科。 （3）研究方法運用邏輯方法（主要為演繹法） （4）依據(jù)研究對象的不同，建立起了算術(shù)、 代數(shù)、幾何、三角等分支，并有專門的符號體 系、陳述方法和推理證明方法

5、。 變量數(shù)學(xué)時期 1.數(shù)學(xué)的對象：變量 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 法國笛卡爾解析幾何 英國牛頓和德國的萊布尼茲微積分 萊布尼茲最早引入微分符號dx和積分符號。 解析幾何和微積分是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù) 學(xué)的標(biāo)志。 級數(shù)論、微分方程論、實變函數(shù)論、復(fù) 變函數(shù)論等，微分幾何、數(shù)論、組合論、畫 法幾何學(xué) 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點 （1）研究對象從常量到變量，離散量到 連續(xù)量，有限量到無限量，必然量到或然量。 （2）由幾何方法向解析方法轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué) 思想、觀點出現(xiàn)了許多混亂并導(dǎo)致劇烈爭論。 （3）建立解析幾何和微積分兩個新學(xué)科 （4）數(shù)學(xué)分析在數(shù)學(xué)發(fā)展中占主導(dǎo)地位 （5）數(shù)學(xué)與自然科學(xué)相互促進 近代數(shù)學(xué)時期 1.數(shù)學(xué)的對象

6、 數(shù)學(xué)對象是定義在任意性質(zhì)的元素集上的運算和關(guān)系，它們由于遵 循的公理系統(tǒng)不同而形成不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 公理方法和公理化集合論得到很大發(fā)展 三大轉(zhuǎn)折：微積分發(fā)展為數(shù)學(xué)分析；解析幾何發(fā)展為高等幾何；方 程發(fā)展為高等代數(shù)。 三大突破：分析學(xué)產(chǎn)生了傅立葉級數(shù)，函數(shù)概念上產(chǎn)生重大突破； 幾何學(xué)產(chǎn)生了非歐幾何，空間概念上有重大突破；代數(shù)上產(chǎn)生伽羅華理 論，代數(shù)運算概念上有重大突破。 三大理論：實數(shù)理論、集合論和數(shù)理邏輯 出現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)新分支，如：非歐幾何、拓撲學(xué)、級數(shù)論、函數(shù)論、 積分方程、泛函分析、積分幾何、代數(shù)幾何、邏輯代數(shù)、隨機微分方程 等 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點 （1）革命的數(shù)學(xué)思想

7、、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自 由化促使數(shù)學(xué)很大發(fā)展； （2）數(shù)學(xué)研究對象更一般化、抽象化、 多樣化 （3）數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向于統(tǒng)分結(jié)合 （4）數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛 （5）數(shù)學(xué)新問題層出不窮 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期 1.數(shù)學(xué)對象 現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系以及在這個基礎(chǔ)上發(fā)展起來的結(jié)構(gòu)和模 型。 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 對策論、規(guī)劃論、排隊論、最優(yōu)化方法、運籌學(xué)、信息論、控制論、數(shù) 理經(jīng)濟學(xué)、生物數(shù)學(xué)、數(shù)理心理學(xué)；計算數(shù)學(xué)、程序設(shè)計、程序語言、數(shù) 理邏輯、數(shù)理語言學(xué)、組合論、圖論、非標(biāo)準(zhǔn)分析、模糊數(shù)學(xué)、突變理論 等 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點 （1）以集合論為基礎(chǔ)，數(shù)理邏輯成為數(shù)學(xué)推理的依據(jù) （2）數(shù)學(xué)抽象化的程度進一步加強 （3）應(yīng)

8、用數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展 （4）電子計算機的產(chǎn)生和應(yīng)用 （5）基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論飛速發(fā)展 三 數(shù)學(xué)發(fā)展的動力 一、外部動力：社會實踐及社會生產(chǎn) 的發(fā)展 二、內(nèi)部動力：數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 斗爭 社會實踐及社會生產(chǎn)的發(fā)展 例如：以天文學(xué)需要為指南，建立了球面幾何及三角學(xué)原理；例如：以天文學(xué)需要為指南，建立了球面幾何及三角學(xué)原理； 數(shù)和形的初始概念產(chǎn)生于社會實踐；數(shù)和形的初始概念產(chǎn)生于社會實踐； 1717世紀(jì)歐洲生產(chǎn)的發(fā)展，促進了力學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，從而世紀(jì)歐洲生產(chǎn)的發(fā)展，促進了力學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，從而 向數(shù)學(xué)提出了從一般的形態(tài)上研究運動的問題。出于研究運動，向數(shù)學(xué)提出了從一般的形態(tài)上研究運動的問題。出于研究運動， 變量的

9、觀念產(chǎn)生了，同時也產(chǎn)生了函數(shù)的概念；變量的觀念產(chǎn)生了，同時也產(chǎn)生了函數(shù)的概念； 微積分的產(chǎn)生；微積分的產(chǎn)生； 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、場論引導(dǎo)了偏微分方程的發(fā)展；連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、場論引導(dǎo)了偏微分方程的發(fā)展； 經(jīng)濟與軍事競爭的需要發(fā)展了對策論；經(jīng)濟與軍事競爭的需要發(fā)展了對策論； 在工程技術(shù)、國防科學(xué)、社會科學(xué)及工商業(yè)貿(mào)易中提出了在工程技術(shù)、國防科學(xué)、社會科學(xué)及工商業(yè)貿(mào)易中提出了 大量的最優(yōu)化問題；大量的最優(yōu)化問題； 數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 負數(shù)、無理數(shù)、虛數(shù)的出現(xiàn) 在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問題， 如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過加、減、乘、除、 開方求出根來；古希臘幾何三大問題不能通過圓規(guī)和 直尺作圖來解決等等。 這些發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致代數(shù)學(xué)從此以后 向抽象代數(shù)的方面發(fā)展