第二章數(shù)學(xué)方法化的發(fā)展和演進(jìn)

1、第二章 數(shù)學(xué)方法論的發(fā)展 第一節(jié) 數(shù)學(xué)發(fā)展歷史 數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期 從遠(yuǎn)古到公元前六世紀(jì) 常量數(shù)學(xué)或初等數(shù)學(xué)時(shí)期常量數(shù)學(xué)或初等數(shù)學(xué)時(shí)期 從公元前六世紀(jì)到公元十七世紀(jì)初 變量數(shù)學(xué)時(shí)期變量數(shù)學(xué)時(shí)期 從十七世紀(jì)初到十九世紀(jì)20年代。 這個(gè)時(shí)期的起點(diǎn)是笛卡爾的著作。 近代數(shù)學(xué)時(shí)期近代數(shù)學(xué)時(shí)期 十九世紀(jì)20年代到20世紀(jì)40年代。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期 從20世紀(jì)40年代至現(xiàn)在 數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期 1.數(shù)學(xué)的對(duì)象 天文歷法的計(jì)算， 土地丈量的長(zhǎng)度、面積、體積的計(jì)算， 商業(yè)交往中運(yùn)輸、交換的計(jì)算等 2.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn) （1）數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是初步的算術(shù)和幾何的計(jì)算知識(shí)； 算術(shù)和幾何結(jié)合在一起研究 （

2、2）數(shù)學(xué)概念的形成比較緩慢，數(shù)學(xué)知識(shí)是片斷的、 零碎的，缺乏邏輯因素，沒有形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系 （3）已經(jīng)逐步出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)概念和一些抽象的數(shù)學(xué) 符號(hào)， 產(chǎn)生了具有一定關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)系統(tǒng) 算 術(shù) （4）為建立抽象的數(shù)學(xué)理論科學(xué)，從思想和方法上 積累了豐富的素材 常量數(shù)學(xué)或初等數(shù)學(xué)時(shí)期 1.數(shù)學(xué)的對(duì)象 研究對(duì)象是客觀事物在相對(duì)靜止的狀 態(tài)下保持不變的數(shù)量和圖形，即常量。研 究方法采用了邏輯方法（主要是演繹法） 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 希臘在幾何發(fā)展方面有突出貢獻(xiàn)。歐幾 里得的幾何原本是這個(gè)時(shí)期的重大貢 獻(xiàn)，它是從經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)到理論數(shù)學(xué)的標(biāo)志。 中國(guó)的九章算術(shù)是這個(gè)時(shí)期杰出的 數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 九章算術(shù)是

3、中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著， 是算經(jīng)十書中最重要的一種。該書內(nèi)容十分 豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué) 成就。同時(shí)，九章算術(shù)在數(shù)學(xué)上還有其 獨(dú)到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首 先記錄了盈不足等問題，“方程”章還在世界 數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。 要注意的是九章算術(shù)沒有作者，它是一 本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn) 的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形 成了完整的體系。 九章算術(shù)亦有其不容忽視的缺點(diǎn)： 沒有任何數(shù)學(xué)概念的定義，也沒有給出 任何推導(dǎo)和證明。魏景元四年(263年)， 劉徽給九章算術(shù)作注，才大大彌補(bǔ) 了這個(gè)缺陷。 九章算術(shù)是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié) 晶，它的出現(xiàn)標(biāo)

4、志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系 的形成后世的數(shù)學(xué)家，大都是從九 章算術(shù)開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的。 唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書。 1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這 是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書。 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn) （1）數(shù)學(xué)的研究對(duì)象從實(shí)際事物的性質(zhì)中抽 象出來(lái)，把它理想化成純粹的研究對(duì)象相 對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)下的數(shù)量和圖形。 （2）由具體的實(shí)驗(yàn)階段過渡到抽象的理論階 段，建立了更多的抽象的數(shù)字概念、符號(hào)和圖 形，逐步脫離實(shí)際問題而成為獨(dú)立的學(xué)科。 （3）研究方法運(yùn)用邏輯方法（主要為演繹法） （4）依據(jù)研究對(duì)象的不同，建立起了算術(shù)、 代數(shù)、幾何、三角等分支，并有專門的符號(hào)體 系、陳述方法和推理證明方法

5、。 變量數(shù)學(xué)時(shí)期 1.數(shù)學(xué)的對(duì)象：變量 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 法國(guó)笛卡爾解析幾何 英國(guó)牛頓和德國(guó)的萊布尼茲微積分 萊布尼茲最早引入微分符號(hào)dx和積分符號(hào)。 解析幾何和微積分是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù) 學(xué)的標(biāo)志。 級(jí)數(shù)論、微分方程論、實(shí)變函數(shù)論、復(fù) 變函數(shù)論等，微分幾何、數(shù)論、組合論、畫 法幾何學(xué) 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn) （1）研究對(duì)象從常量到變量，離散量到 連續(xù)量，有限量到無(wú)限量，必然量到或然量。 （2）由幾何方法向解析方法轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué) 思想、觀點(diǎn)出現(xiàn)了許多混亂并導(dǎo)致劇烈爭(zhēng)論。 （3）建立解析幾何和微積分兩個(gè)新學(xué)科 （4）數(shù)學(xué)分析在數(shù)學(xué)發(fā)展中占主導(dǎo)地位 （5）數(shù)學(xué)與自然科學(xué)相互促進(jìn) 近代數(shù)學(xué)時(shí)期 1.數(shù)學(xué)的對(duì)象

6、 數(shù)學(xué)對(duì)象是定義在任意性質(zhì)的元素集上的運(yùn)算和關(guān)系，它們由于遵 循的公理系統(tǒng)不同而形成不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 公理方法和公理化集合論得到很大發(fā)展 三大轉(zhuǎn)折：微積分發(fā)展為數(shù)學(xué)分析；解析幾何發(fā)展為高等幾何；方 程發(fā)展為高等代數(shù)。 三大突破：分析學(xué)產(chǎn)生了傅立葉級(jí)數(shù)，函數(shù)概念上產(chǎn)生重大突破； 幾何學(xué)產(chǎn)生了非歐幾何，空間概念上有重大突破；代數(shù)上產(chǎn)生伽羅華理 論，代數(shù)運(yùn)算概念上有重大突破。 三大理論：實(shí)數(shù)理論、集合論和數(shù)理邏輯 出現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)新分支，如：非歐幾何、拓?fù)鋵W(xué)、級(jí)數(shù)論、函數(shù)論、 積分方程、泛函分析、積分幾何、代數(shù)幾何、邏輯代數(shù)、隨機(jī)微分方程 等 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn) （1）革命的數(shù)學(xué)思想

7、、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自 由化促使數(shù)學(xué)很大發(fā)展； （2）數(shù)學(xué)研究對(duì)象更一般化、抽象化、 多樣化 （3）數(shù)學(xué)的發(fā)展趨向于統(tǒng)分結(jié)合 （4）數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛 （5）數(shù)學(xué)新問題層出不窮 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期 1.數(shù)學(xué)對(duì)象 現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系以及在這個(gè)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的結(jié)構(gòu)和模 型。 2.主要發(fā)明創(chuàng)造 對(duì)策論、規(guī)劃論、排隊(duì)論、最優(yōu)化方法、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論、數(shù) 理經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物數(shù)學(xué)、數(shù)理心理學(xué)；計(jì)算數(shù)學(xué)、程序設(shè)計(jì)、程序語(yǔ)言、數(shù) 理邏輯、數(shù)理語(yǔ)言學(xué)、組合論、圖論、非標(biāo)準(zhǔn)分析、模糊數(shù)學(xué)、突變理論 等 3.數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn) （1）以集合論為基礎(chǔ)，數(shù)理邏輯成為數(shù)學(xué)推理的依據(jù) （2）數(shù)學(xué)抽象化的程度進(jìn)一步加強(qiáng) （3）應(yīng)

8、用數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展 （4）電子計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生和應(yīng)用 （5）基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論飛速發(fā)展 三 數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力 一、外部動(dòng)力：社會(huì)實(shí)踐及社會(huì)生產(chǎn) 的發(fā)展 二、內(nèi)部動(dòng)力：數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 斗爭(zhēng) 社會(huì)實(shí)踐及社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展 例如：以天文學(xué)需要為指南，建立了球面幾何及三角學(xué)原理；例如：以天文學(xué)需要為指南，建立了球面幾何及三角學(xué)原理； 數(shù)和形的初始概念產(chǎn)生于社會(huì)實(shí)踐；數(shù)和形的初始概念產(chǎn)生于社會(huì)實(shí)踐； 1717世紀(jì)歐洲生產(chǎn)的發(fā)展，促進(jìn)了力學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，從而世紀(jì)歐洲生產(chǎn)的發(fā)展，促進(jìn)了力學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，從而 向數(shù)學(xué)提出了從一般的形態(tài)上研究運(yùn)動(dòng)的問題。出于研究運(yùn)動(dòng)，向數(shù)學(xué)提出了從一般的形態(tài)上研究運(yùn)動(dòng)的問題。出于研究運(yùn)動(dòng)， 變量的

9、觀念產(chǎn)生了，同時(shí)也產(chǎn)生了函數(shù)的概念；變量的觀念產(chǎn)生了，同時(shí)也產(chǎn)生了函數(shù)的概念； 微積分的產(chǎn)生；微積分的產(chǎn)生； 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、場(chǎng)論引導(dǎo)了偏微分方程的發(fā)展；連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、場(chǎng)論引導(dǎo)了偏微分方程的發(fā)展； 經(jīng)濟(jì)與軍事競(jìng)爭(zhēng)的需要發(fā)展了對(duì)策論；經(jīng)濟(jì)與軍事競(jìng)爭(zhēng)的需要發(fā)展了對(duì)策論； 在工程技術(shù)、國(guó)防科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工商業(yè)貿(mào)易中提出了在工程技術(shù)、國(guó)防科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工商業(yè)貿(mào)易中提出了 大量的最優(yōu)化問題；大量的最優(yōu)化問題； 數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)、虛數(shù)的出現(xiàn) 在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問題， 如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過加、減、乘、除、 開方求出根來(lái)；古希臘幾何三大問題不能通過圓規(guī)和 直尺作圖來(lái)解決等等。 這些發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致代數(shù)學(xué)從此以后 向抽象代數(shù)的方面發(fā)展