2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)課時(shí)學(xué)案第2章《2.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程》(含解析)

1、22.2直線的兩點(diǎn)式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線方程兩點(diǎn)式的形式、特點(diǎn)及適用范圍.2.了解直線方程截距式的形式、特點(diǎn)及適用范圍.3.會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程名稱兩點(diǎn)式截距式條件兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2，y1y2)在x，y軸上的截距分別為a，b( a0，b0)示意圖方程1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過(guò)原點(diǎn)思考1過(guò)點(diǎn)(x0，y0)且斜率為0的直線有兩點(diǎn)式方程嗎？答案沒(méi)有其方程為yy0.思考2方程1是直線的截距式方程嗎？答案不是截距式方程的特點(diǎn)有兩個(gè)，一是中間必須用“”號(hào)連接，二是等號(hào)右邊為1.1不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可

2、以用方程1表示()2能用截距式方程表示的直線都能用兩點(diǎn)式表示()3直線yx在x軸和y軸上的截距均為0.()4經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()一、直線的兩點(diǎn)式方程例1已知A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC邊所在的直線方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程解(1)BC邊過(guò)兩點(diǎn)B(5，4)，C(0，2)，由兩點(diǎn)式，得，即2x5y100，故BC邊所在的直線方程為2x5y100.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(a，b)，則a，b3，所以M，又BC邊的中線過(guò)點(diǎn)A(3,2)，所以，即1

3、0x11y80，所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x11y80.延伸探究若本例條件不變，試求BC邊的垂直平分線所在的直線方程解kBC，則BC邊的垂直平分線的斜率為，又BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)斜式方程可得y3，即10x4y370.反思感悟利用兩點(diǎn)式求直線的方程(1)首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件，然后代入兩點(diǎn)式(2) 若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程跟蹤訓(xùn)練1(1)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，B(3，3)的直線方程為_(kāi)答案4x5y30解析因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(2,1)和(3，3)，所以，所以，化簡(jiǎn)得4x5y30.(2)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0

4、)，B(m，1)，求這條直線的方程解由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在(1)當(dāng)直線斜率不存在，即m1時(shí)，直線方程為x1；(2)當(dāng)直線斜率存在，即m1時(shí)，利用兩點(diǎn)式，可得直線方程為，即x(m1)y10.綜上可得，當(dāng)m1時(shí)，直線方程為x1；當(dāng)m1時(shí)，直線方程為x(m1)y10.二、直線的截距式方程例2求過(guò)點(diǎn)A(5,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程解(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為yx，即2x5y0.(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)方程為1，即xya，又l過(guò)點(diǎn)A(5,2)，52a，解得a3，l的方程為xy3

5、0.綜上所述，直線l的方程是2x5y0或xy30.延伸探究(變條件)若將本例中的條件“在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椋骸霸趚軸上的截距是在y軸上截距的2倍”，其它條件不變，如何求解？解(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為yx，即2x5y0，符合題意(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)方程為1，又l過(guò)點(diǎn)(5,2)，1，解得a.l的方程為x2y90.綜上所述，直線l的方程是2x5y0或x2y90.反思感悟截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問(wèn)題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可(2)選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過(guò)原點(diǎn)

6、以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練2(多選)過(guò)點(diǎn)(2,3)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為()Ayx Bxy5Cyx Dxy50答案AB解析設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為a，b.當(dāng)ab0時(shí)，直線方程為1，1，a5，xy5，當(dāng)ab0時(shí)，k，yx，綜上所述，yx和xy5.直線方程的靈活應(yīng)用典例已知ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3，1)，ABC，ACB的平分線方程分別為x0，yx.(1)求直線BC的方程；(2)求直線AB的方程解如圖(1)因?yàn)锳BC，ACB的平分線方程分別是x0，yx，所以AB與BC關(guān)于x0對(duì)稱，AC與BC關(guān)于yx對(duì)稱A(3，1)關(guān)于x0的對(duì)稱點(diǎn)A(3

7、，1)在直線BC上，A關(guān)于yx的對(duì)稱點(diǎn)A(1,3)也在直線BC上由兩點(diǎn)式求得直線BC的方程為y2x5.(2)因?yàn)橹本€AB與直線BC關(guān)于x0對(duì)稱，所以直線AB與BC的斜率互為相反數(shù)，由(1)知直線BC的斜率為2，所以直線AB的斜率為2，又因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，所以直線AB的方程為y(1)2(x3)，即2xy50.素養(yǎng)提升(1)理解題目條件，角的兩邊關(guān)于角平分線對(duì)稱(2)畫(huà)出圖形，借助圖形分析A關(guān)于直線x0的對(duì)稱點(diǎn)A在BC上，A關(guān)于yx的對(duì)稱點(diǎn)A也在BC上，體現(xiàn)了直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(3)分別求出A，A兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出BC邊所在直線方程，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)1在x軸

8、，y軸上的截距分別是3,4的直線方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案A2經(jīng)過(guò)M(3,2)與N(6,2)兩點(diǎn)的直線方程為()Ax2 By2 Cx3 Dx6答案B解析由M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知，直線MN與x軸平行，所以直線方程為y2，故選B.3過(guò)坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P1(2,0)，P2(0,3)的直線方程是()A.1 B.0C.1 D.1答案C4過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為_(kāi)答案2xy0或xy10解析當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，得直線方程為2xy0；當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，可設(shè)直線方程為1，將x1，y2代入方程可得a1，得直線方程為xy10.直線方程為2xy0或xy10.5已知點(diǎn)A(

9、3,2)，B(1,4)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,5)且經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)的直線方程為_(kāi)答案2xy10解析AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得，即2xy10.1知識(shí)清單：(1)直線的兩點(diǎn)式方程(2)直線的截距式方程2方法歸納：分類討論法、數(shù)形結(jié)合法3常見(jiàn)誤區(qū)：利用截距式求直線方程時(shí)忽略過(guò)原點(diǎn)的情況導(dǎo)致漏解1(多選)下列說(shuō)法中不正確的是()A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)來(lái)表示B經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程ykxb來(lái)表示C不與坐標(biāo)軸重合或平行的直線其方程一定可以寫(xiě)成截距式D不與坐標(biāo)軸重合或平行的直線其方程一定可以寫(xiě)成兩點(diǎn)式答案ABC2過(guò)點(diǎn)A(3,2)

10、，B(4,3)的直線方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案D解析由直線的兩點(diǎn)式方程，得，化簡(jiǎn)得xy10.3直線1在y軸上的截距是()A|b| Bb2Cb2 Db答案B解析令x0，得yb2.4過(guò)兩點(diǎn)(1,1)和(3,9)的直線在x軸上的截距為()A B C. D2答案A解析由兩點(diǎn)式，得y2x3，令y0，得x，即為在x軸上的截距5若直線l過(guò)點(diǎn)(1，1)和(2,5)，且點(diǎn)(1 010，b)在直線l上，則b的值為()A2 021 B2 020C2 019 D2 018答案A解析由直線的兩點(diǎn)式方程得直線l的方程為，即y2x1，令x1 010，則有b21 0101，即b2 021.6過(guò)

11、點(diǎn)(1,3)且在x軸上的截距為2的直線方程是_答案3xy60解析由題意知直線過(guò)點(diǎn)(2,0)，又直線過(guò)點(diǎn)(1,3)，由兩點(diǎn)式可得，整理得3xy60.7過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線l分別與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)，則直線l的截距式方程是_答案1解析設(shè)A(m，0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中點(diǎn)可得m2，n6，即A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,6)，則l的截距式方程是1.8若點(diǎn)P(3，m)在過(guò)點(diǎn)A(2，1)，B(3,4)的直線上，則m_.答案2解析由直線方程的兩點(diǎn)式，得，即.直線AB的方程為y1x2，點(diǎn)P(3，m)在直線AB上，m132，得m2.9求過(guò)點(diǎn)P(6，2)，且在x軸

12、上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程解設(shè)直線方程的截距式為1.則1，解得a2或a1，則直線方程是1或1，即2x3y60或x2y20.10在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線MN的截距式方程解(1)設(shè)C(x0，y0)，則AC邊的中點(diǎn)為M，BC邊的中點(diǎn)為N，因?yàn)镸在y軸上，所以0，解得x05.又因?yàn)镹在x軸上，所以0，解得y03.即C(5，3)(2)由(1)可得M，N(1,0)，所以直線MN的截距式方程為1.11直線1過(guò)第一、三、四象限，則()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0)，顯然直

13、線l只能過(guò)第二、三、四象限，而不會(huì)過(guò)第一象限，且傾斜角為鈍角，故選B.13兩條直線l1：1和l2：1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可以是()答案A解析兩條直線化為截距式分別為1，1.假定l1，判斷a，b，確定l2的位置，知A符合14在y軸上的截距是3，且經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(6,1)中點(diǎn)的直線方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析A(2，1)，B(6,1)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，即可設(shè)直線的截距式方程為1，將點(diǎn)(4,0)代入方程得a4，則該直線的方程為1.15已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是_答案3解析直線AB的方程為1，設(shè)P(x，y)，則x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，xy取得最大值3.16若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，求直線l的方程解直線l與兩坐標(biāo)