保險精算之利息理論第二章

1、第二章年金年金的定義n年金的定義：年金就是按照相等時間間年金的定義：年金就是按照相等時間間隔支付的款項。隔支付的款項。n年金的標(biāo)準(zhǔn)形：我們將付款時間間隔相年金的標(biāo)準(zhǔn)形：我們將付款時間間隔相等、每次付款額度相等、整個付款期利等、每次付款額度相等、整個付款期利率不變且計息頻率與付款頻率相等的年率不變且計息頻率與付款頻率相等的年金稱為年金的標(biāo)準(zhǔn)型。金稱為年金的標(biāo)準(zhǔn)型。n年金的各種變化形式稱為年金的一般型。年金的各種變化形式稱為年金的一般型。2.1年金的標(biāo)準(zhǔn)型n2.11 期末付年金。n定義：在每個付款期間末付款的年金為期末付年金。（延付年金）101123n-1n111付款額時間| nna期期期期末末付

2、付年年金金所所有有現(xiàn)現(xiàn)值值之之和和記記為為211,1nvvnv在在第第 個個時時期期末末付付款款 的的現(xiàn)現(xiàn)實實值值為為在在第第2 2個個時時期期末末付付款款1 1的的現(xiàn)現(xiàn)實實值值為為 ，繼繼續(xù)續(xù)下下去去，在在第第 個個時時期期末末付付款款 的的現(xiàn)現(xiàn)實實值值為為 。| nan 期期期期末末付付年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值之之和和。2 nnavvv (1) 1nvvv 11nnvvvivi | nsnn 期期期期末末付付年年金金在在 時時的的積積累累值值|nnns期期期期末末付付年年金金在在時時間間 時時的的積積累累值值記記為為 1211,1nniin 在在第第 個個時時期期末末付付款款 的的積積累累值值為為

3、 1 1在在第第2 2個個時時期期末末付付款款1 1的的積積累累值值為為 1 1，繼繼續(xù)續(xù)下下去去，在在第第 個個時時期期末末付付款款 的的積積累累值值為為1 1。 12|2111nnnnnsiiiiii 則則1 11 11 11 11 11 1 |111nnisi 1 1 1nii 1 1常用公式(1)1nniav |21nniis 1 1 |(3)nnnsai 1 111(4)nnias1(1)1 nniiisi 11nniav (1)(1)1nniiiii n例例: 一項年金在20年內(nèi)每半年末付500元，利率為半年計息的年名義利率9，求此年金的現(xiàn)值。0.04540500500(18.40

4、16)9200.80a 解解：（元元）0.045408.4016a 例n計算年利率為6的條件下，每年年末投資1000元，投資10年的現(xiàn)值及積累值。 0.061010001000 7.360097360.09a解解：年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值為為：（元元） 0.061010001000 13.18080s年年金金積積累累值值為為：1 13 31 18 80 0. .8 80 0（元元） 100.060.06101010001.061000as 可可以以證證明明0.06107.36009a0.061013.18080s例n甲在銀行存入20000元，計劃分4年支取完，每半年支取一次，每半年計息的年名義利率為7

5、，計算每次的支取額度。80.0356.8740a 80.0353.520000RRa半半年年的的實實際際利利率率，設(shè)設(shè) 為為每每次次支支取取額額度度，80.03520000Ra 200002909.51(6.87402909.51 元元）甲甲每每次次支支取取額額度度為為。2.1.2期初付年金 定義：在每個付款期間開始時付款的年定義：在每個付款期間開始時付款的年金為期初付年金。金為期初付年金。101123n110箭頭箭頭1表示第一次付款的時刻，箭頭表示第一次付款的時刻，箭頭2表示最后一次付款以后的一個時期。表示最后一次付款以后的一個時期。n-1| na 期期初初付付年年金金的的現(xiàn)現(xiàn)值值之之和和2

6、21| 11111nnnnnnavvvvvvvivvd | ns 初初付付年年金金的的積積累累值值之之和和(1)(1)nnsii 1(1)1(1)nii (1)1 (1)(1)1(1)1 nniiiid 比較期末付年金和期初付年金1nnvai (1)1nnisi 1ai 1nnvad (1)1nnisd 1ad 年金年金有限年金有限年金永久年金永久年金現(xiàn)時值現(xiàn)時值積累值積累值延付延付初付初付n對于延付年金，i是期末支付利息的度量；n對于初付年金，d是期初支付利息的度量。常用公式|(1)1nndav |11nnids （2 2） |31nnnsai |114nndas期末付年金與期初付年金的關(guān)系

7、|(1)(1)nnai a 11nnavv 21()(1)nnvvvvi a1(1)1(1)nii |(2)(1)nnsi s (1)(1)nnsii (1)ni s |1|(3)1nnaa 11nnavv 211()nvvv 1|1na|1|41nnss （）1|11(1)(1)1nnsii |(1)(1)nniis 例n某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后獲得10000元，在每月利率為0.5的情況下，每月初需存入多少錢，才能達(dá)到其要求。120.00512.33556S ,D解解：由由題題意意知知，每每月月存存入入的的款款項項構(gòu)構(gòu)成成期期初初付付年年金金設(shè)設(shè)每每月月月月初初存存款款額額為為有

8、有12|0.00510000Ds 12|0.005120.00510000100001.005DsS 1000012.3972806.63( 元元）806.6310000客客戶戶每每月月月月初初需需存存入入元元，才才可可在在一一年年后后獲獲得得元元2.13任意時刻的年金值n延期年金：以當(dāng)前時刻為0時刻點，在0時刻以后若干時期后開始按期支付的年金。n一般的，有三種時刻的年金值需要計算。n（1）首期付款前某時刻的年金現(xiàn)值。n（2）最后一期付款后某時刻的年金積累值。n（3）付款期間某時刻的當(dāng)前值。例如：如圖5|a 01 2 34 5 6 7 8 91011115a15S5|s 55|55|52601

9、267aaSs 付付款款次次數(shù)數(shù)為為 ，首首次次付付款款發(fā)發(fā)生生在在時時刻刻 ，末末次次付付款款發(fā)發(fā)生生在在時時刻刻 。則則時時刻刻 時時的的年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值就就是是延延期期年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值，相相當(dāng)當(dāng)于于（ ）的的情情況況；時時刻刻1010時時的的積積累累值值相相當(dāng)當(dāng)于于（2 2）的的情情況況；時時刻刻4 4時時的的年年金金當(dāng)當(dāng)前前值值相相當(dāng)當(dāng)于于（3 3）的的情情況況。這這5 5次次付付款款在在時時刻刻1 1時時的的年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值是是一一個個5 5期期的的期期末末付付款款額額為為1 1的的年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值；在在時時刻刻的的年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值為為；在在時時刻刻 的的年年金金積積累累值值為為，在

10、在時時刻刻 的的年年金金積積累累值值為為 。n方法一、如果把第1期末看作初始時刻，則從第1期末到第6期末的現(xiàn)金流可以看作標(biāo)準(zhǔn)期末付年金。n方法二、如果把第2期末看作初始時刻，則從第2期末到第7期末的現(xiàn)金流可以看作標(biāo)準(zhǔn)期初付年金。n方法三、把該年金看作兩個延付年金的差，或初付年金的差。5|25|6|1|7|2|1(0)(0)(0)VvaVv aVaaaa 、首首期期付付款款前前某某時時刻刻的的年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值。方方法法一一：方方法法二二：方方法法三三：或或根根據(jù)據(jù)年年金金折折現(xiàn)現(xiàn)法法及及年年金金加加減減法法計計算算出出同同一一時時刻刻年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值是是相相等等的的。5|6|1|vaaa25|7

11、|2|v aaa |mnm nmv aaa 即即：|mnm nmv aaa 21010V、在在最最后后一一期期付付款款后后某某時時刻刻的的年年金金積積累累值值。在在時時的的年年金金積積累累值值記記為為 45101VSi 方方法法一一： 35|101Vsi 方方法法二二： 15|51sSi 因因為為所所以以，兩兩式式相相等等。 49947101051010SSVSS方方法法三三：假假設(shè)設(shè)在在時時刻刻 各各有有一一單單位位付付款款，則則這這幾幾個個付付款款在在時時刻刻的的年年金金積積累累值值為為，包包括括這這幾幾個個付付款款及及已已知知的的 個個付付款款在在時時刻刻時時的的年年金金積積累累值值為為

12、，因因此此 8|3|79110Vss假假設(shè)設(shè)在在時時刻刻 各各有有 單單位位付付款款，則則可可按按期期初初付付年年金金積積累累值值算算法法得得： 459435|8|3|11SiSSsiss 上上述述結(jié)結(jié)果果與與積積累累值值再再積積累累的的結(jié)結(jié)果果是是等等價價的的，因因此此 |11mnm nmmnm nmSiSSsiss 一一般般的的，3、付付款款期期間間某某時時刻刻的的年年金金當(dāng)當(dāng)前前值值。 44V在在時時刻刻 時時的的年年金金當(dāng)當(dāng)前前值值以以表表示示。1232方方法法一一：通通過過計計算算所所有有付付款款在在時時刻刻 或或 時時年年金金當(dāng)當(dāng)前前值值經(jīng)經(jīng)過過 期期或或 期期的的積積累累所所得得

13、的的本本利利和和獲獲得得。即即 35|41Vai ( (一一) ) 25|41Vai ( (二二) )67方方法法二二：通通過過計計算算所所有有付付款款在在時時刻刻 或或 時時的的年年金金積積累累值值經(jīng)經(jīng)過過2 2期期或或3 3期期的的積積累累值值經(jīng)經(jīng)過過2 2期期或或3 3期期折折現(xiàn)現(xiàn)的的現(xiàn)現(xiàn)值值得得： 235|544Vv SVv s 或或 2|34VSa 方方法法三三：通通過過年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值或或積積累累值值之之間間的的加加減減算算得得，該該點點的的年年金金當(dāng)當(dāng)前前值值可可以以視視作作一一個個三三期期期期末末付付年年金金積積累累值值與與一一個個二二期期期期末末付付年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值之之和和，

14、即即： 2|3|4Vsa 也也可可看看作作一一個個二二期期初初付付年年金金積積累累值值與與一一個個三三期期初初付付年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值之之和和，即即nmmn 一一般般的的，假假定定付付款款期期限限為為 ，其其中中第第 次次付付款款（）是是所所有有付付款款的的當(dāng)當(dāng)前前值值： |11mn mnnn mmmn mnnmn maivsSaaivssa 2.14永續(xù)年金定定義義：付付款款沒沒有有限限制制，永永遠(yuǎn)遠(yuǎn)持持續(xù)續(xù)的的年年金金。|a 期期末末付付現(xiàn)現(xiàn)值值記記為為，2|11vvavvvivi 則則|11limlimnnnnvaii 111iiii 經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義：在在利利率率為為 時時，首首期期期期初

15、初投投資資為為 ，且且不不收收回回本本金金，則則每每期期期期末末可可獲獲得得數(shù)數(shù)額額為為 的的利利息息，一一直直持持續(xù)續(xù)下下去去。|2|11aavvd 期期初初付付永永續(xù)續(xù)年年金金記記為為，且且有有：永永續(xù)續(xù)年年金金最最終終積積累累值值不不存存在在，因因為為沒沒有有終終點點時時刻刻，且且無無窮窮的的均均衡衡給給付付導(dǎo)導(dǎo)致致積積累累值值變變?yōu)闉闊o無窮窮大大。|11 limlimnnnnvadd 例n某人留下遺產(chǎn)10萬元。第一個10年將每年的利息付給受益人B，第二個10年將每年的利息付給受益人C，二十年后將每年的利息付給慈善機(jī)構(gòu)D。若此項財產(chǎn)的年實質(zhì)利率為7，確定三個受益者的相對受益的比例。10|

16、7.0236a 20|10.5940a n解：10萬元每年產(chǎn)生的利息是7000元。10|B70007000(7.0236)49165a 所所占占的的份份額額：（元元）20|10|C7000()7000(10.59407.0236)24993aa 所所占占的的份份額額：（元元）|201D7000()7000(10.5940)0.0725842aa 所所占占的的份份額額：（元元）從現(xiàn)值的角度看，B、C、D受益比例近似為49，25和26。2.23連續(xù)年金：付款頻率無限大（連續(xù)付款）的年金。1nna連連續(xù)續(xù)付付款款 個個計計息息期期，每每個個計計息息期期的的付付款款額額之之和和為為 的的年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值記記為為，0011lnlnntnnntnvvvav dtvv 連續(xù)年金的積累值|0