數(shù)學(xué)建模概述課件

1、Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 數(shù)學(xué)建模概述數(shù)學(xué)建模概述Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 1.1 1.1 數(shù)學(xué)的應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)的應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如: :傳統(tǒng)的物傳統(tǒng)的物理學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)，及現(xiàn)代的工程技術(shù)、理學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)，及現(xiàn)代的工程技術(shù)、社會(huì)生活、信息技術(shù)

2、等。社會(huì)生活、信息技術(shù)等。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用創(chuàng)造計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用創(chuàng)造了條件，尤其是一些數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)使用，了條件，尤其是一些數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)使用，使得很多數(shù)學(xué)思想、方法得以實(shí)現(xiàn)。使得很多數(shù)學(xué)思想、方法得以實(shí)現(xiàn)。Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)1.1 1.1 數(shù)學(xué)的應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)的應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模Department of Mathematics HUST Ma

3、thematical Modeling 2008 對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)，為了一個(gè)特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，做出必要的，做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具, 得到的一個(gè)得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 數(shù)學(xué)模型是實(shí)際對(duì)象的一種數(shù)學(xué)模型是實(shí)際對(duì)象的一種抽象模擬，它用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)抽象模擬，它用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、圖表、算法或程序描述現(xiàn)公式、圖表、算法或程序描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象中的數(shù)量關(guān)系。實(shí)對(duì)象中的數(shù)量關(guān)系。Department of Mathematics HUST Mathem

4、atical Modeling 2008 數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、驗(yàn)證等）（包括表述、求解、解釋、驗(yàn)證等）Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)

5、證驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)問成數(shù)學(xué)問題題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯翻譯”回實(shí)際對(duì)象回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界理論實(shí)踐Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 1.2 1.2 數(shù)學(xué)建模的基本問題數(shù)學(xué)建模的基本問題數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的基本

6、過程數(shù)學(xué)建模的基本過程數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 測(cè)試分析的方法：測(cè)試分析的方法：對(duì)客觀事物的特性不能對(duì)客觀事物的特性不能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)，只能通過對(duì)問題的觀測(cè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)，只能通過對(duì)問題的觀測(cè)數(shù)據(jù)的測(cè)量和分析，找到與數(shù)據(jù)吻合最好的模型。測(cè)量和分析，找到與數(shù)據(jù)吻合最好的模型。如：如：回歸分析方法，方差分析方法等?；貧w分析方法，方差分析方法等。數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的方法機(jī)理分析的方法：機(jī)理分析的方法：根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)根據(jù)對(duì)客

7、觀事物特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，通過推理分析得到的識(shí)，分析其因果關(guān)系，通過推理分析得到的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型。如：如：微分方程方法，最優(yōu)化方法等。微分方程方法，最優(yōu)化方法等。Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 數(shù)學(xué)建模的基本過程數(shù)學(xué)建模的基本過程1.模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備 了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的， 收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.模型假設(shè)模型假設(shè) 在明確建模目的在明確建模目的, 掌握必要資料的基礎(chǔ)上掌握必要資料的基礎(chǔ)上, 通過對(duì)資料的分析計(jì)算通過對(duì)資料的分析

8、計(jì)算, 找出起主要作用的因素找出起主要作用的因素, 經(jīng)經(jīng) 必要的精煉、簡(jiǎn)化必要的精煉、簡(jiǎn)化, 提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。 3.模型建立模型建立 在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工 具去刻劃各變量之間的關(guān)系具去刻劃各變量之間的關(guān)系, 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)構(gòu)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)構(gòu) 即建立數(shù)學(xué)模型。即建立數(shù)學(xué)模型。 4.模型求解模型求解 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇?、?shù)值法、畫圖選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇?、?shù)值法、畫圖法等）求解數(shù)學(xué)模型。法等）求解數(shù)學(xué)模型。 5.模型的分析與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆治雠c檢驗(yàn) 對(duì)模型進(jìn)行理論或計(jì)算分析，并對(duì)模型進(jìn)行理論或計(jì)算分析，并用

9、實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)是否符合實(shí)際。用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)是否符合實(shí)際。 在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助借助 計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī) 求出數(shù)值解。求出數(shù)值解。 實(shí)體信實(shí)體信息息(數(shù)據(jù)數(shù)據(jù))假設(shè)假設(shè)建模建模求解求解驗(yàn)證驗(yàn)證應(yīng)用應(yīng)用Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類建模目的建模目的描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策 對(duì)某個(gè)實(shí)際問題對(duì)某個(gè)實(shí)際問題了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特模型中變量的特征征連續(xù)型模型、離散型模型連

10、續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等或確定性模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)建模中所用的數(shù)學(xué)方法學(xué)方法初等模型、微分方程模型、初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際研究課題的實(shí)際范疇范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型 、交通、交通流模型、經(jīng)流模型、經(jīng) 濟(jì)模型、基因模型等濟(jì)模型、基因模型等Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致

11、有章可循技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力想像力洞察力洞察力判斷力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人做過的模型學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人做過的模型 親自動(dòng)手，認(rèn)真做幾個(gè)實(shí)際題目親自動(dòng)手，認(rèn)真做幾個(gè)實(shí)際題目Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：1985年至今，每年一年至今，每年一次，時(shí)間在次，時(shí)間在2月初的第一個(gè)周五至下周二，共月初的第一個(gè)周五至下周二，共96小時(shí)。三名學(xué)生組成一隊(duì)參賽，要完成以包括數(shù)小時(shí)

12、。三名學(xué)生組成一隊(duì)參賽，要完成以包括數(shù)學(xué)建模全過程為素材撰寫的論文（學(xué)建模全過程為素材撰寫的論文（英文英文）。）。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：1992年至今，每年一年至今，每年一次，時(shí)間在次，時(shí)間在9月下旬第一個(gè)周五至下周一，共月下旬第一個(gè)周五至下周一，共72小時(shí)。三名學(xué)生組成一隊(duì)參賽，要完成以包括數(shù)小時(shí)。三名學(xué)生組成一隊(duì)參賽，要完成以包括數(shù)學(xué)建模全過程為素材撰寫的論文。學(xué)建模全過程為素材撰寫的論文。Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 1.3 1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 穩(wěn)定的椅

13、子穩(wěn)定的椅子1.3.2 商人安全過河商人安全過河1.3.4 人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 1.3.1 穩(wěn)定的椅子穩(wěn)定的椅子問題分析問題分析模型假設(shè)模型假設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地 放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只

14、腳同時(shí)著地。椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問問 題題Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對(duì)稱性的對(duì)稱性用用 (對(duì)角線與對(duì)角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函

15、數(shù)的函數(shù)四個(gè)距離四個(gè)距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性正方形對(duì)稱性兩個(gè)兩個(gè) 距離距離xBADCOD C B A Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g(

16、 )至少一個(gè)為至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意對(duì)任意 ， f( ) g( )=0 ;且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：證明：存在存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來模型構(gòu)成模型構(gòu)成Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 模型求解模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的

17、證明方法給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線，對(duì)角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因?yàn)橐驗(yàn)閒( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 :假設(shè)條件的本質(zhì)與非本假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)質(zhì) 考察四腳連線呈長(zhǎng)

18、方形的椅子考察四腳連線呈長(zhǎng)方形的椅子 和和 f( ), g( )的確定的確定評(píng)注和評(píng)注和思考思考: :Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 問題問題( (智力游戲智力游戲) ) 3名商人名商人 3名隨從名隨從隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦隨從的人數(shù)比商一旦隨從的人數(shù)比商人多人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定.

19、.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析問題分析多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多),), 經(jīng)有限步使全體人員過河經(jīng)有限步使全體人員過河. .河河小船小船(至多至多2人人)1.3.2 商人安全過河商人安全過河Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical

20、 Modeling 2008 模型構(gòu)成模型構(gòu)成yk第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合允許狀態(tài)集合uk第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)vk第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許允許決策決策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D

21、(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按狀按狀態(tài)態(tài)轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由 s1=(3,3)到達(dá)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題多步?jīng)Q策問題xk第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù)設(shè)設(shè)Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 模型求解模型求解xy3322110 窮舉法窮舉法 編程上機(jī)編程上機(jī) 圖解法圖解法狀態(tài)狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn)個(gè)格點(diǎn) 10個(gè)個(gè) 點(diǎn)點(diǎn)允許決策允許決策 移動(dòng)移動(dòng)1或或

22、2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案規(guī)格化方法規(guī)格化方法, ,易于推廣易于推廣考慮考慮4 4名商人各帶一名隨從的情況名商人各帶一名隨從的情況d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2評(píng)注和評(píng)注和思考思考: :Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008

23、 背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60中國(guó)人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)控制人口過快增長(zhǎng)1.3.4 人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)目的目的Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of

24、Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式常用的計(jì)算公式 N(t) 時(shí)刻時(shí)刻t的的人口人口基本假設(shè)基本假設(shè): : 人口人口(相對(duì)相對(duì))增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)是常數(shù),()( )( )N ttN tr tN t 今年人口今年人口 N0 , 年增長(zhǎng)率年增長(zhǎng)率 r=b-d， k 年后人口年后人口0,(0)dNrNdtNN0( )()rtN tNe0(1)tNr隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)0limt0(1)kkNNr0( )rtN tN e

25、Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程不能預(yù)測(cè)較

26、長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因原因：1. 資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用2. 阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變

27、大阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)r固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率 (N很小時(shí)很小時(shí))Nm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是是N的減函數(shù)的減函數(shù)mrsN()0mr N()(1)mNr NrN() ( ,0)r NrsNr sDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 dNrNdt()(1)mdNNr N NrNdtN0dN/dtNNmNm/2NmtN0N(t)S形曲線形曲線, N增加先快后慢增加先快后慢N0Nm/2阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )0( )1(1)mrtmNN tNeNDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 Department of Mathematics HUST Mathematical Modeling 2008 阻滯增長(zhǎng)模型有一個(gè)穩(wěn)