六年下冊(cè)奧數(shù)試題-數(shù)的整除特征一全國(guó)通用含答案

1、又因 *1，所以 3| (5+6+8+a+b+0),所以:第1講 數(shù)的整除特征(一)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)的整除性質(zhì)主要有：(1) 若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。(2) 若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除， 那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。(3) 幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被這個(gè) 數(shù)整除。(4) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù) 的積整除。(5) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。(6) 若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù) 中的一個(gè)。

2、(7) 個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除。(8) 個(gè)位上是0或者5的數(shù)都能被5整除。(9) 若一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字之和能被(10) 若一個(gè)整數(shù)末尾兩位數(shù)能被(11) 若一個(gè)整數(shù)末尾三位數(shù)能被 (12 )若一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字之和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被 3整除。4整除，則這個(gè)數(shù)能被 4整除。8整除，則這個(gè)數(shù)能被 8整除。9整除，則這個(gè)整數(shù)能被 9整除。重點(diǎn)難點(diǎn)數(shù)的整除概念、性質(zhì)及整除特征為解決一些整除問(wèn)題帶來(lái)了很大方便，在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛。要學(xué)好數(shù)的整除問(wèn)題，就必須找到規(guī)律，牢記上面的整除性質(zhì)，不可似是而非。學(xué)法指導(dǎo)能被2和5, 4和25, 8和125整除的數(shù)的特征是分別看這個(gè)數(shù)的末一位

3、、末兩位、末三位。我們可以綜合推廣成一條：末n位數(shù)能被一 (或)整除的數(shù)，本身必能被二(或)整除；反過(guò)來(lái)，末 n位數(shù)不能被-八(或-)整除的數(shù)，本身必不能被 -(或 )整除。例如，判斷 253200、371601能否被16整除，因?yàn)? ?,所以只要看各 數(shù)的末四位數(shù)能否被 16整除。學(xué)習(xí)這一講知識(shí)要學(xué)會(huì)舉一反三。經(jīng)典例題例1在568后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被 3、4、5整除，且 使這個(gè)數(shù)盡可能小。思路剖析這個(gè)六位數(shù)分別被 3、4、5整除，故它應(yīng)滿足如下三個(gè)條件：(1) 各位數(shù)字和是3的奇數(shù)；(2) 末兩位數(shù)組成的兩位數(shù)是 4的倍數(shù)；(3) 末位數(shù)為0或5。按此條件很容易找到

4、這個(gè)六位數(shù)。解答不妨設(shè)補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字后的位數(shù)為-，由于這個(gè)六位數(shù)被 4、5整除，因?yàn)椋哄脖?整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。當(dāng)b=2時(shí)，3| 當(dāng)b=4時(shí)，3| 當(dāng)b=6時(shí)，3| 當(dāng)b=8時(shí)，3| 當(dāng)b=0時(shí)，3|(5+6+8+a+2),(5+6+8+a+4), (5+6+8+a+6), (5+6+8+a+8), (5+6+8+a+0),a可為0、3、a可為1、4、a可為2、5、a可為0、3、a可為2、5、為了使六位數(shù)二.一盡可能地小，則6、9;7；8；6、9;a應(yīng)取0、b應(yīng)取2、c應(yīng)取0。故能被3、4、5整除的最小六位數(shù)- -應(yīng)為568020。例2四位數(shù)亠丄能同時(shí)

5、被2、3、5整除，問(wèn)這個(gè)四位數(shù)是多少?思路剖析能同時(shí)被2、3、5整除，所以滿足以下三個(gè)條件：個(gè)位數(shù)字B在0、2、4、6、8之中，各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，個(gè)位數(shù) B在0、5之中。第一個(gè)和第三個(gè)條件都是針對(duì)個(gè)位數(shù)字的，所以先根據(jù)第二個(gè)條件確定百位數(shù)字A。解答要使. 能同時(shí)被2和5整除，個(gè)位數(shù)字只能是 B=0;又要使-能被3整除， 所以各位數(shù)字之和 8+A+1+0=9+A應(yīng)能被3整除?？梢钥闯?，當(dāng) A取0、3、6、9時(shí)，各位 數(shù)字之和9+A可以被3整除。所求的四位數(shù)是 8010、8310、8610、8910。例3有兩堆糖果，第一堆有 513塊，第二堆有633塊，哪一堆可以平均分給 9個(gè)小 朋友而無(wú)剩

6、余？思路剖析本題實(shí)際上是判斷 513與633能否被9整除。解答513各位上數(shù)字之和是 5+1+3=9，能被9整除；633各位上數(shù)字的和是 6+3+3=12，不 能被9整除。所以，第一堆可以平均分給 9個(gè)小朋友而無(wú)剩余，第二堆平均分給9個(gè)小朋友還剩余 3塊。例4有一個(gè)四位數(shù) 二是9的倍數(shù)，求 A的值。思路剖析四位數(shù)是9的倍數(shù)，即能被9整除，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，這個(gè)四位數(shù) 的各位數(shù)字之和一定是 9的倍數(shù)。解答（1）當(dāng)和是9時(shí)，3+A+A+仁9,即2A=5,所以A=2. 5 （舍）；（2）當(dāng)和是 18 時(shí)，3+A+A+1=18,即 2A=14, A=7；（3）當(dāng)和是 27 時(shí)，3+A+A+1=

7、27 即 2A=23,可見(jiàn) A=11. 510 （舍）。 所以，A的值是7。例5 一位馬虎的采購(gòu)員買了72只桶，洗衣時(shí)將購(gòu)貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到:72只桶，共口 67. 9元（內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請(qǐng)你幫他算一算，他一共用了多少錢？思路剖析2用整除性質(zhì)：一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)數(shù)和的積整除，那么這個(gè)數(shù)就能同時(shí)被這兩個(gè)數(shù)整除。 例如，整數(shù) a 能被 15 整除，那么這個(gè)數(shù)一定能同時(shí)被 3 和 5 整除。這種方法是分析整數(shù) 問(wèn)題的基本方法。解答將口 67 . 9元看做口 679分，這是72只桶的總價(jià)，因?yàn)閱蝺r(jià)X 72= 679，所以 679能被72整除。72=8X 9,所以口 679應(yīng)該能被8和9整除。如果

8、口 679能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79 ，容易算出口內(nèi)是 2。因?yàn)榭?6792能被9整除，所以其各數(shù)之和能被9整除?？?+6+7+9+2=口 +24,顯然，中的數(shù)只能是 3。所以這筆賬是 36792 元。答：一共用了 36792 元。例6在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得六位數(shù)口678 能被8、9和25整除。解答解法一：根據(jù) 8、 9 和 25 整除的數(shù)的特征很容易解出此題。這個(gè)六位數(shù)能被 25 整除, 根據(jù)能被 25 整除的數(shù)的特征知, 六位數(shù)的末兩位數(shù)可能是00、 25、 50、 75；該數(shù)又能被 8 整除,所以這個(gè)六位數(shù)的末三位數(shù)應(yīng)能被 8 整除,而在 800、 825、

9、850、 875 中只有 800 滿足條件,所以這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位、十位都是 0；又因?yàn)?這個(gè)六位數(shù)能被 9整除，所以這個(gè)六位數(shù)的各位數(shù)字之和（不妨設(shè)首位為x）為：x+6+7+8=21+x能被 9 整除,可推出 x 只能為 6,所以這個(gè)六位數(shù)為 667800。解法二： 根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì) （ 4）：如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除, 那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。因?yàn)?8X 25=200,而且 8 與 25 互質(zhì),根據(jù)整除的性質(zhì)（ 4）,所求的六位數(shù)能被 200 整除,所以個(gè)位、十位都應(yīng)該是0。然后由這六位數(shù)能被 9 整除,和解法一一樣的方法可知這個(gè)六位數(shù)為 667800。例 7有

10、一水果攤一天進(jìn)貨 6筐,分別裝著香蕉和蘋(píng)果,重量為 8千克、 9千克、 16 千克、 19 千克、 23千克和 27 千克。頭一天賣出一筐蘋(píng)果,在剩下的5筐中,香蕉的重量是蘋(píng)果重量的 2 倍。問(wèn)賣掉的那筐重多少千克？剩下的 5筐,哪幾筐是蘋(píng)果, 哪幾筐是香 蕉？八、思路剖析根據(jù)已知條件： 剩下的 5筐中香蕉的重量是蘋(píng)果的 2倍?？赏瞥觯?剩下的 5筐中香蕉 重量與蘋(píng)果重量之和是 3 的倍數(shù),即能被 3整除。解答因?yàn)?6筐水果的總重量： 8+9+16+19+23+27=102（千克）,根據(jù)題意,剩下的 5 筐中 香蕉與蘋(píng)果總重量之和是 3的倍數(shù), 那么賣出的一筐蘋(píng)果也必須是 3的倍數(shù)。 從 6筐

11、水果 數(shù)中可知有兩種情況,賣出一筐蘋(píng)果可能是 9 千克或是 27千克。如果賣出的一筐蘋(píng)果是 9千克, 那么 102 9=93（千克） 。根據(jù)剩下的 5筐中香蕉的重 量與蘋(píng)果總重量的 2倍，則蘋(píng)果為93+（ 1+2） =31 （千克）。從剩下的 8、16、19、23 和 27 中可知 8千克和 23 千克為蘋(píng)果（ 8+23=31）。最后剩下 16千克、 19千克和 27千克 這三筐為香蕉。如果賣出的一筐蘋(píng)果是27千克，同理，102- 27=75（千克），蘋(píng)果為75十（1+2）=25（千克），即16千克與 9千克這兩筐。香蕉便是最后剩下的 8千克、19千克和 23千克這三筐。所以本題有兩種答案：如

12、果賣出的那筐是 9 千克蘋(píng)果，則剩下的 5 筐中 8 千克、23 千克兩筐為蘋(píng)果， 16千克、 19千克和 27 千克三筐為香蕉。如果賣出的那筐是 27 千克蘋(píng) 果， 則剩下的 5 筐中 9 千克、16 千克兩筐為蘋(píng)果， 8 千克、 19 千克、23 千克三筐為香蕉。例8把1至1997這1997個(gè)自然數(shù)依次寫(xiě)下來(lái)， 得一個(gè)多位數(shù)12345678910111213 1994199519961997，試求這個(gè)多位數(shù)除以 9的余數(shù)。思路剖析根據(jù)一個(gè)數(shù)能被 9整除的特征可以知道： 一個(gè)自然數(shù)除以 9的余數(shù)， 等于這個(gè)自然數(shù) 各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和除以 9 的余數(shù)。所以上面求多位數(shù)除以 9 的余數(shù)問(wèn)題，便轉(zhuǎn)化

13、為求 1 至 1997 這1997 個(gè)自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少的問(wèn)題。解答解法一：因?yàn)?至9這9個(gè)數(shù)字之和為45,所以10至19,20至29,30至39,， 80至89,90至99這十個(gè)數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：45+10,45+20,45+30,45+40，45+80，45+90。所以， 1 至 99 這 99 個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和為：45+55+65+125+135=900因?yàn)?至99這99個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和為 900,所以100至199,200至299,， 800至899, 900至999這些100個(gè)數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為： 900+100, 900+200,， 900+

14、800, 900+900。所以, 1 至999這 999個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字之和為：900+1000+1700+1800=13500因?yàn)?1 至999這 999個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字和為 13500,所以 1000至 1999這1000個(gè) 自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為 13500+1000=14500,這樣 1 至 1999 這 1999 個(gè)自然數(shù)各數(shù)位 的數(shù)字和為： 13500+14500=28000。1998、1999 這兩個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為：27、28。28000- 27- 28=27945, 9 能整除 27945,所以多位數(shù)除以 9 余 0解法二：將 0至1999這2000個(gè)自然數(shù)一頭一尾

15、搭配成如下的 100組：（0, 1999）, （1, 1998）,（2, 1997）,（3, 1996）, （4, 1995）,（5, 1994）, （6, 1993）（7, 1992）,（8, 1991）（9, 1990）,（10, 1989）, , （994, 1005）, （995, 1004）,（ 996, 1003）, （997, 1002）,（ 998, 1001）（999, 1000）,以上 各組兩數(shù)之和為 1999,并且每一組數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位, 1至1999這1999個(gè)自然數(shù)的所有 數(shù)字之和等于：（1+9+9+9）X 1000=280001998、1999這兩個(gè)數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字

16、之和為：27、28。280002728=27945, 9能整除 27945，所以多位數(shù)除以 9余 0。解法三：因?yàn)橐来螌?xiě)出的任意連續(xù) 9 個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)，一定能被 9整除。 而從 1 至 1997 一共有 1997 個(gè)數(shù)，1997- 9=2218, 1990、1991、1992、1993、1994、 1995、 1996、 1997這8個(gè)數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字和為 19+20+21+22+23+24+25+26=180，180 能被 9 整除,所以多位數(shù)除以 9 余 0。點(diǎn)津?yàn)槭裁匆来螌?xiě)出的任意連續(xù) 9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除呢？下面解釋一下。因?yàn)槿我膺B續(xù)的9個(gè)自然數(shù)的各數(shù)位上

17、的數(shù)字和除以9的余數(shù)，必定是0,1, 2，67 8這9個(gè)數(shù)，而這9個(gè)數(shù)的和為36, 36能被9整除，所以任意依次寫(xiě)出的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)一定能被9整除。崩尿強(qiáng)比縑習(xí)發(fā)散思維訓(xùn)練1. 這個(gè)四位數(shù)，同時(shí)能被 2、3、4、5、9整除，求此四位數(shù)。2. 55塊糖分給甲、乙、丙三人，甲分到糖的塊數(shù)是乙的2倍，丙最少，但也多于 10 塊，三個(gè)人各分幾塊？3 .已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？4.老師買了 72本相同的書(shū)，當(dāng)時(shí)沒(méi)有記住每本書(shū)的價(jià)格， 只用鉛筆記下了用掉的總 錢數(shù)口 13. 7元，回校后發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)數(shù)字看不清了。 請(qǐng)你補(bǔ)上這兩個(gè)數(shù)字（其中為看不

18、清的數(shù)字）。5 已知45整除：，求所有滿足條件的六位數(shù) 八二二。參考答案1.解：因?yàn)椋翰罚?；，所以b=0或5。又因?yàn)?二，故b=0,即原四位數(shù)是I r, 只需確定a。因?yàn)閞，所以9| （4+5+a），則a=0或9。又因?yàn)椋詀=0。所以，滿足條件的四位數(shù)是 4500。2 .解：由題目條件可知，甲、乙 =人分到的糖的塊數(shù)和是3的倍數(shù)。設(shè)丙分到 x塊糖，那么x 10。當(dāng)x=11或x=12時(shí)，55-x不能被3整除，丙不可能有 11塊或12塊糖。當(dāng)x=13 時(shí)，55-13=42 , 42- 3=14。這時(shí)甲分到28塊糖，乙分到14塊糖。當(dāng)x 13時(shí)，顯然不符 合題意。答：甲、乙、丙各分到糖 28塊、14塊、13塊。3 .解：因?yàn)?018和1392分別是4205與2813的和與差，由數(shù)的整除性質(zhì)（2）：如果兩個(gè) 數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除，所以7018和1392都能被29整除。答：1392和7018都是29的倍數(shù)。4 .解：首先將口 13. 7元化為分，這樣總錢數(shù)就是口137分。由于每本書(shū)價(jià)格相同，所以72| 137口。但是72=8X 9,所以8和9都應(yīng)整除口 137。由于8整除口 137，所以8 整除37 。所以，當(dāng)37