選修2-3課件1.3.2二項式定理(3)

1、1.3.2 二二 項項 式式 定定 理理1 1、二項式定理：、二項式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(2 2、通項公式：、通項公式：1(0,1,2,)rn rrrnTC abrn 3 3、特例：、特例：nnnrrnnnnxCxCxCxCx 22111）（(展開式的第r +1項)溫故知新溫故知新一、建構(gòu)數(shù)學(xué)一、建構(gòu)數(shù)學(xué)(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C1 1 1 11 1 2 2 1 11 13 3 3 3 1 11

2、1 4 4 6 6 4 4 1 11 1 5 5 1010 1010 5 5 1 1(a+b)606C16C26C36C46C56C66C1 16 6 1515 20201515 6 6 1 1試計算下列各展開式中的二項式系數(shù)：試計算下列各展開式中的二項式系數(shù)：(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C(a+b)606C16C26C36C46C56C66C1 1 1 11 1 2 2 1 11 13 3 3 3 1 11 1 4 4 6 6 4 4 1 11

3、 1 5 5 1010 1010 5 5 1 11 16 6 1515 20201515 6 6 1 1 類似上面的表類似上面的表, ,早在我國早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝南宋數(shù)學(xué)家楊輝12611261年年所著的所著的詳解九章算法詳解九章算法一書里就已經(jīng)一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角楊輝三角。在書中，還說。在書中，還說明了表里明了表里“一一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，兩個數(shù)的和，楊輝楊輝指出這個方法出于指出這個方法出于釋鎖釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元1111世紀）世紀）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)

4、現(xiàn)這個表不晚于已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于1111世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學(xué)家世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學(xué)家帕帕斯卡斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662 1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做他們把這個表叫做帕斯卡三角帕斯卡三角。這就是說，。這就是說，楊楊輝三角輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右早五百年左右，由此可，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的豪的. .(1)對稱性：對稱性：與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的的 兩個二項式系數(shù)相兩個二項式系數(shù)相等等

5、.(2)增減性與最大值：增減性與最大值： 從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小大，隨后又逐漸減小.二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì)mn mnnCC1!1! ()!(1)! (1)!1knknnnknCknkkknknkCk數(shù)學(xué)結(jié)論數(shù)學(xué)結(jié)論(2)增減性與最大值：增減性與最大值： 從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小大，隨后又逐漸減小.11kknnnkCCk11.kknnnkCCk所以相對于的增減情況由決定1nkk由1k12n可知，當可知，當 時二項式系數(shù)逐漸增大，時二項式系數(shù)逐漸增大，由對

6、稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項的取值最大中間項的取值最大.k12n(2)增減性與最大值：增減性與最大值： 從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增從第一項起至中間項，二項式系數(shù)逐漸增大，隨后又逐漸減小大，隨后又逐漸減小.因此，當因此，當n n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當取得最大值；當n n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)系數(shù) 、 相等且同時取得最大值相等且同時取得最大值2nnC12nnC12nnC(3)各二項式系數(shù)的和各二項式系數(shù)的和0122rnnnnnnnCCCCCnnnnn

7、CCCC,210 當當n= 6時時,rnCrf )(令令 :其圖象是其圖象是7個孤立點個孤立點rCrf6)(10nr，定義域 r61420O63 f ( r )mnnmnCC代數(shù)意義：代數(shù)意義：幾何意義：幾何意義：2nr 直線直線 作為對稱軸作為對稱軸 將圖象分成對稱的兩部分將圖象分成對稱的兩部分. 函數(shù)思想函數(shù)思想四、例題選講：四、例題選講：例例1 1 證明：在證明：在(a(ab)b)n n展開式中展開式中, ,奇數(shù)項的二項奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和. .131202 nnnnnCCCC證明：在展開式證明：在展開式 中中 令令a=1，

8、b=1得得011nnnnnnnC aC abC b0123(1 1)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC0122rnnnnnnnCCCCC例例2 求證：求證：012123122nnnnnnCCCnCn證明：證明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01212311 2nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法例例3 設(shè)設(shè)(1-2x)5= a0 a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：求：（1） a1+a2+a3+

9、 a4 + a5的值；的值； （2） a1+a3+ a5的值；的值； （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值的值. 解解:(1)在在(1-2x)5= a0 a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5 中中 令令x=1，-1 分別得：分別得：5012345( 1)1aaaaaa 50123453243aaaaaa135(2)122aaa 01a 123452aaaaa 12345(3)242aaaaa在在 展開式中展開式中 1023xy(1)求二項式系數(shù)的和求二項式系數(shù)的和;例例4.(2)各項系數(shù)的和各項系數(shù)的和;(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和奇數(shù)項的二項

10、式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;(4)奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和;1024151210152101 52學(xué)生活動學(xué)生活動1、已知、已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值的值(2)求求a0+ a2+ a4+ + a10的值的值103)13(2110 4234012342202413(23),()()xaa xa xa xa xaaaaa 2 2、若若則則_ _ _ _ _ _ _ ( (9 99 9年年全全國國) )1nbxaxf)()( 設(shè)設(shè)2)1()1( ff其其奇奇次次項項系系數(shù)數(shù)的的和和是是2)1()1( ff其其偶偶次次項項系系數(shù)數(shù)的的和和是是結(jié)論結(jié)論:3.( 13.( 1x x ) ) 1313 的展開式中系數(shù)最小的項是的展開式中系數(shù)最小的項是 （ ）(A)(A)第六項第六項 (B)(B)第七項第七項 （C C）第八項