1.5解直角三角形的應(yīng)用教案(河沙鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)下)

1、備課時(shí)間：9.6 上課時(shí)間：9.10課型：新授課 課時(shí)：1課時(shí)1.5 解直角三角形的應(yīng)用課時(shí)安排 1課時(shí)沉著說(shuō)課 本節(jié)在前兩節(jié)的根底上進(jìn)一步學(xué)習(xí)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.因此本節(jié)選取了現(xiàn)實(shí)生活中的幾個(gè)題材：船右觸礁的危險(xiǎn)嗎，小明測(cè)塔的高度，改變商場(chǎng)樓梯的平安性能等，使學(xué)生真正體會(huì)到三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中必不可少的重要地位.提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 因此，本節(jié)的重點(diǎn)是讓學(xué)生親歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠借助計(jì)算器進(jìn)行三角函數(shù)的計(jì)算，并能進(jìn)一步

2、對(duì)結(jié)果的意義進(jìn)行說(shuō)明，開(kāi)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力.教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生在審清題意的根底上，自己畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).同時(shí)，讓學(xué)生對(duì)“三角學(xué)的開(kāi)展史有所了解.第六課時(shí)課 題 1.5 解直角三角學(xué)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的應(yīng)用. 2.能夠把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能對(duì)結(jié)果的意義進(jìn)行說(shuō)明. (二)能力訓(xùn)練要求 開(kāi)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力. (三)情感與價(jià)值觀要求 1.在經(jīng)歷弄清實(shí)際問(wèn)題題意的過(guò)程中，畫(huà)出示意圖，培養(yǎng)獨(dú)立

3、思考問(wèn)題的習(xí)慣和克服困難的勇氣. 2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.教具重點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用. 2.開(kāi)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力.教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語(yǔ)，準(zhǔn)確地畫(huà)出示意圖.教學(xué)方法 探索發(fā)現(xiàn)法教具準(zhǔn)備 多媒體演示教學(xué)過(guò)程 .創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 師直角三角形就像一個(gè)萬(wàn)花筒，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界.我們?cè)谛蕾p了它神秘的“勾股、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，都可迎刃而解.它在航海、工程

4、等測(cè)量問(wèn)題中有著廣泛應(yīng)用，例如測(cè)旗桿的高度、樹(shù)的高度、塔高等. 下面我們就來(lái)看一個(gè)問(wèn)題(多媒體演示).海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開(kāi)始在A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流. 下面就請(qǐng)同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決此問(wèn)題.(板書(shū)：船有觸礁的危險(xiǎn)嗎) .講授新課 師我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的? 生應(yīng)該是“上北下南，左西右東. 師請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫(huà)出示意圖，然后說(shuō)明你是怎樣畫(huà)出來(lái)的.生首先我們可

5、將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25處.示意圖如下. 師貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，由誰(shuí)來(lái)決定? 生根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，那么無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，如果小于10海里那么有觸礁的危險(xiǎn).A到BC所在直線的最短距離為過(guò)A作ADBC，D為垂足，即AD的長(zhǎng)度.我們需根據(jù)題意，計(jì)算出AD的長(zhǎng)度，然后與10海里比擬. 師這位同學(xué)分析得很好，能將實(shí)際問(wèn)題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.下面我們就來(lái)看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些條件呢? 生BC20海里，BAD55，CAD25. 師在示意圖中，有

6、兩個(gè)直角三角形RtABD和RtACD.你能在哪一個(gè)三角形中求出AD呢? 生在RtACD中，只知道CAD=25，不能求AD. 生在RtABD中，知道BAD=55，雖然知道BC20海里，但它不是RtABD的邊，也不能求出AD. 師那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來(lái)，站在一個(gè)更高的角度考慮? 生我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個(gè)直角三角形BD與CD的差，即BCBD-CD.BD、CD的對(duì)角是的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系. 師有何聯(lián)系呢? 生在RtABD中，tan55，BD=ADtan55；在RtACD中，tan25，CDADtan25. 生利用BCBD-CD就可以

7、列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan2520. 師太棒了!沒(méi)想到方程在這個(gè)地方幫了我們的忙.其實(shí)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一. 下面我們一起完整地將這個(gè)題做完. 師生共析解：過(guò)A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)D.得到RtABD和RtACD，從而B(niǎo)D=ADtan55，CDADtan25，由BD-CDBC，又BC20海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20， AD=20.79(海里). 這樣AD20.79海里10海里，所以貨輪沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn). 師接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)研究一個(gè)問(wèn)題.還記

8、得本章開(kāi)頭小明要測(cè)塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來(lái)看他是怎樣測(cè)的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度. 多媒體演示想一想你會(huì)更聰明：如圖，小明想測(cè)量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測(cè)得仰角為60.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1 m) 師我想請(qǐng)一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個(gè)圖中，30的仰角、60的仰角分別指哪兩個(gè)角? 生當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30的仰角指DAC，60的仰角指DBC. 師很好!請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個(gè)問(wèn)題的思路，然后答復(fù). (教師留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，感覺(jué)有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo)) 生首先

9、，我們可以注意到CD是兩個(gè)直角三角形RtADC和RtBDC的公共邊，在RtADC中，tan30=， 即AC在RtBDC中，tan60=,即BC，又AB=AC-BC50 m，得 -=50. 解得CD43(m)， 即塔CD的高度約為43 m. 生我有一個(gè)問(wèn)題，小明在測(cè)角時(shí)，小明本身有一個(gè)高度，因此在測(cè)量CD的高度時(shí)應(yīng)考慮小明的身高. 師這位同學(xué)能根據(jù)實(shí)際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實(shí)際測(cè)量時(shí).確實(shí)應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)考慮小明在測(cè)量時(shí)，眼睛離地面的距離. 如果設(shè)小明測(cè)量時(shí)，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數(shù)據(jù)不變，此時(shí)塔的高度為多少?你能畫(huà)出示意圖嗎? 生示意圖如右圖所示，由前面的解

10、答過(guò)程可知CC43 m，那么CD43+1.644.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m. 師同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個(gè)樓梯改造工程問(wèn)題，想請(qǐng)同學(xué)們幫助解決一下. 多媒體演示：某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原來(lái)樓梯的平安性能，把傾角由40減至35，原樓梯長(zhǎng)為4 m，調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少？樓梯多占多長(zhǎng)一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m) 請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，(先獨(dú)立完成，然后相互交流，討論各自的想法) 生在這個(gè)問(wèn)題中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個(gè)不變量.根據(jù)題意可畫(huà)示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長(zhǎng)，BC是原樓梯的占地長(zhǎng)度

11、；AD是調(diào)整后的樓梯的長(zhǎng)度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長(zhǎng)度.ACB是原樓梯的傾角，ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題即為： 如圖，ABDB，ACB40，ADB35，AC4m.求AD-AC及DC的長(zhǎng)度. 師這位同學(xué)把這個(gè)實(shí)際樓梯調(diào)整問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題.大家從示意圖中不難看出這個(gè)問(wèn)題是前面問(wèn)題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計(jì)算器輔助很快地解決它，開(kāi)始吧! 生解：由條件可知，在RtABC中,sin40，即AB4sin40m，原樓梯占地長(zhǎng)BC4cos40m. 調(diào)整后,在RtADB中，sin35，那么ADm.樓梯占地長(zhǎng)DB=m. 調(diào)整后樓梯加長(zhǎng)AD-AC-40.48(m)，樓梯比原來(lái)多占DCDB-

12、BC= -4cos400.61(m). .隨堂練習(xí) 1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40夾角，且DB5 m，現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長(zhǎng)度為多少? 解：在RtCBD中，CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40(m). 在RtEDB中，DB=5 m， BE=BC+EC2+5sin40(m). 根據(jù)勾股定理，得DE=7.96(m). 所以鋼纜ED的長(zhǎng)度為7.96 m. 2.如圖，水庫(kù)大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD6 m，坡長(zhǎng)CD8 m.坡底BC30 m，ADC=135. (1)求ABC的大小： (2)如果壩長(zhǎng)1

13、00 m.那么建筑這個(gè)大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01 m3) 解：過(guò)A、D分別作AEBC，DFBC，E、F為垂足. (1)在梯形ABCD中.ADC135， FDC45，EFAD=6 m.在RtFDC中，DC8 m.DFFCCD.sin45=4 (m). BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m). 在RtAEB中，AEDF=4 (m). tanABC0.308. ABC17821. (2)梯形ABCD的面積S(AD+BC)AE = (6+30)4 =72 (m2). 壩長(zhǎng)為100 m，那么建筑這個(gè)大壩共需土石料10072 10182.34(m3). 綜上所述，ABC17821，建筑大壩共需10182.34 m3土石料. .課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們運(yùn)用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，提高了我們分析和 (1)問(wèn)：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由. (2)為防止受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：1.4， 1.7) 過(guò)程這是一道需借助三角知識(shí)解決的應(yīng)用問(wèn)題，需抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征.在轉(zhuǎn)化、抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題上下功夫. 結(jié)果(1)過(guò)點(diǎn)B作BDAC.垂足為D. 依題意，得BAC30，在RtABD中，BD= AB=2016=16020