《離散傅里葉變換》ppt課件

1、 第第4章章 圖像變換圖像變換2 第第4章章 圖像變換圖像變換 為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)展處置和分析，經(jīng)常需為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)展處置和分析，經(jīng)常需求將原定義在圖像空間的圖像以某種方式轉(zhuǎn)換到其他求將原定義在圖像空間的圖像以某種方式轉(zhuǎn)換到其他空間，并且利用圖像在這個(gè)空間的特有性質(zhì)進(jìn)展處置，空間，并且利用圖像在這個(gè)空間的特有性質(zhì)進(jìn)展處置，然后經(jīng)過(guò)逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。然后經(jīng)過(guò)逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。 本章討論圖像變換重點(diǎn)引見(jiàn)圖像處置中常用的正交本章討論圖像變換重點(diǎn)引見(jiàn)圖像處置中常用的正交變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。dxexf

2、uFuxj2)()(4 從從F(u)F(u)恢復(fù)恢復(fù)f(x)f(x)稱為傅里葉反變換，定義為：稱為傅里葉反變換，定義為：dueuFxfuxj2)()(上述二式構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，記做上述二式構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，記做 ：)()(uFxf函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的傅里葉變換普通是一個(gè)復(fù)數(shù)，它可以由下式表的傅里葉變換普通是一個(gè)復(fù)數(shù)，它可以由下式表示：示： F(u)=R(u)+jI(u) F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u) R(u),I(u)分別為分別為F(u)F(u)的實(shí)部和虛部。的實(shí)部和虛部。寫成指數(shù)方式：寫成指數(shù)方式： juF uF u e5F(u)為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角：

3、為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角： 幅度：2/122)()(| )(|uIuRuF相角：)()(arctan)(uRuIu 幅度函數(shù)|F(u)|稱為f(x)的傅里葉譜或頻率譜，(u)稱為相位譜。 )()(| )(|)(222uIuRuFuE稱為f(x)的能量譜或稱為功率譜。 6 2.二維延續(xù)傅里葉變換 傅里葉變換可以推行到兩個(gè)變量延續(xù)可積的函數(shù)f(x,y)假設(shè)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，那么存在如下傅里葉變化對(duì)： ),(),(),(22vuIvuRvuE dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(二維函數(shù)的傅里葉譜、相位和能量譜分別表示為： ),(),(| ),(|22vuIvuRv

4、uF),(),(arctan),(vuRvuIvu dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(71.1.一維離散傅里葉變換一維離散傅里葉變換 對(duì)一個(gè)延續(xù)函數(shù)對(duì)一個(gè)延續(xù)函數(shù)f(x)f(x)等間隔采樣可得到一個(gè)離散序列。等間隔采樣可得到一個(gè)離散序列。設(shè)共采了設(shè)共采了N N個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)離散序列可表示為個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)離散序列可表示為f(0),f(1),f(N-1)f(0),f(1),f(N-1)。借助這種表達(dá)，并令。借助這種表達(dá)，并令x x為離散空域?yàn)殡x散空域變量，變量，u u為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為：為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為： 210( )( )uxNjNx

5、F uf x e8 傅里葉反變換定義由表示：傅里葉反變換定義由表示： 2101( )( )uxNjNuf xF u eN可以證明離散傅里葉變換對(duì)總是存在的。其傅里葉譜、相位和能量譜如下：2/122)()(| )(|uIuRuF)()(arctan)(uRuIu )()(| )(|)(222uIuRuFuE92.2.離散傅里葉變換離散傅里葉變換DFTDFT的矩陣表示法的矩陣表示法 由由DFTDFT的定義，的定義，N N4 4的原信號(hào)序列的原信號(hào)序列f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里葉變換的傅里葉變換F(u)F(u)展開(kāi)為：展開(kāi)為

6、： 00000:(0) (0)(1)(2)(3)uFfefefefe2322021:(1) (0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe46222022:(2) (0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe69223023:(3) (0)(1)(2)(3)jjjuFfefefefe10 將將e e指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)可寫成矩陣方式：指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)可寫成矩陣方式： 00003022003022(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)jjjjjjjjeeeeFfFfeeeeFfeeeeFfeeee記作：FWf 可用復(fù)平面的單位圓來(lái)求W的各元素。如圖4-1所示。當(dāng)N=4時(shí)，參看圖4.1(a)。

7、 把單位圓分為N=4份，那么正變換矩陣第u行每次挪動(dòng)u份得到該行系數(shù)。1104W14W24W34W08W18W28W38W48W58W68W78W(a)(b)圖4.1 復(fù)平面單位圓 (a)N4 (b)N8120000012302020321111111111111WWWWjjWWWWWWWWjjWWWW 同理N=8見(jiàn)圖4-1(b)的單位圓。N=8的W陣應(yīng)把單位圓分為8份，順時(shí)依次轉(zhuǎn)0份,1份、,7份，可得W陣為:1300000000012345670246024603614725040404040527416306420642076543211111111111111122221111jjjj

8、jjWWWWWWWWWWWWWWWWjjjWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW 111111222211111111111111222211111111112222jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 142.2.二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換 一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處置主要是二維數(shù)據(jù)處置。數(shù)字圖像處置主要是二維數(shù)據(jù)處置。 假設(shè)一幅二維離散圖像假設(shè)一幅二維離散圖像f(x,y)f(x,y)的大小為的大小為M M* *N N，那么，那么二維傅里

9、葉變換可用下面二式表示。二維傅里葉變換可用下面二式表示。112 ()000,1,2,1( , )( , )0,1,2,1uxvyMNjMNxyuMF u vf x y evN112 ()000,1,2,11( , )( , )0,1,2,1uxvyMNjMNuvxMf x yF u v eyNMN15 在圖像處置中，普通總是選擇方形陣列，所以通常情在圖像處置中，普通總是選擇方形陣列，所以通常情況下總是況下總是M=NM=N。正逆變換對(duì)具有以下對(duì)稱的方式：。正逆變換對(duì)具有以下對(duì)稱的方式：112 ()001( , )( , ),0,1,2,1ux vyNNjNxyF u vf x y eu vNN1

10、12 ()001( , )( , ),0,1,2,1ux vyNNjNuvf x yF u v ex yNN16 3. 3.二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 二維離散傅里葉變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為二維離散傅里葉變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為運(yùn)用提供了極大的方便。運(yùn)用提供了極大的方便。 1 1分別性分別性 二維離散傅里葉變換具有分別性二維離散傅里葉變換具有分別性 112 ()001( , )( , )ux vyNNjNxyF u vf x y eN1122001( , )uxvyNNjjNNxyef x y eN1201( , )uxNjNxF x v eN1201(

11、, )( , )vyNjNyF x vNf x y eN17 分別性質(zhì)的主要優(yōu)點(diǎn)是可借助一系列一維傅里葉變換分兩步求得F(u,v)。第1步，沿著f(x,y)的每一行取變換，將其結(jié)果乘以1/N,獲得二維函數(shù)F(x,v);第2步，沿著F(x,v)的每一列取變換，再將結(jié)果乘以1/N,就得到了F(u,v)。這種方法是先行后列。假設(shè)采用先列后行的順序，其結(jié)果一樣。 如圖4.6所示。18(0,0)f(x,y)N-1N-1xy(0,0)F(x,v)N-1N-1vx(0,0)F(u,v)N-1N-1vu行變換列變換圖4.6 把二維傅里葉變換作為一系列一維的計(jì)算方法 19 對(duì)逆變換對(duì)逆變換f(x,y)也可以類似

12、地分兩步進(jìn)展。也可以類似地分兩步進(jìn)展。112 ()00112200120( , )( , )( , )( , )uxvyMNjMNuvuxvyNNjjNNuvuxNjNuf x yF u v eeF u v ef u y e20 2 2平移性平移性 傅里葉變換和逆變換對(duì)的位移性質(zhì)是指：傅里葉變換和逆變換對(duì)的位移性質(zhì)是指： )(20000),(),(NyvxujeyxfvvuuFNvyuxjevuFyyxxf00200),(),( 由f(x,y)乘以指數(shù)項(xiàng)并取其乘積的傅立葉變換，使頻率平面的原點(diǎn)位移至(u0,v0)。同樣地，以指數(shù)項(xiàng)乘以F(u,v)并取其反變換，將空間域平面的原點(diǎn)位移至(x0,y

13、0)。當(dāng)u0=v0=N/2時(shí)，指數(shù)項(xiàng)為： 002 ()()()( 1)u x v yjjx yx yNee 21即為：即為：)2,2() 1)(,()(NvNuFyxfyx 這樣，用-l(x+y)乘以f(x,y)就可以將f(x,y)的傅里葉變換原點(diǎn)挪動(dòng)到N*N頻率方陣的中心，這樣才干看到整個(gè)譜圖。另外，對(duì)f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值。 此外，與延續(xù)二維傅里葉變換一樣，二維離散傅里葉變換也具有周期性、共軛對(duì)稱性、線性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、卷積定理、比例性等性質(zhì)。這些性質(zhì)在分析及處置圖像時(shí)有重要意義。 22 3.DFT 3.DFT運(yùn)用中的問(wèn)題運(yùn)用中的問(wèn)題 1 1頻譜的圖像顯示頻譜的圖像

14、顯示 DFT DFT在計(jì)算機(jī)圖像處置中計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果要圖在計(jì)算機(jī)圖像處置中計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果要圖像化。對(duì)像化。對(duì)DFTDFT來(lái)講不但來(lái)講不但f(x,y)f(x,y)是圖像是圖像,F(u,v),F(u,v)也要用圖像來(lái)也要用圖像來(lái)顯示其結(jié)果。顯示其結(jié)果。 譜圖像就是把譜圖像就是把|F(u,v)|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在作為亮度顯示在屏幕上。但在傅里葉變換中傅里葉變換中F(u,v)F(u,v)隨隨u,vu,v的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到一兩個(gè)峰，其他皆不清楚。一兩個(gè)峰，其他皆不清楚。 由于人的視覺(jué)可分辨灰度有限，為了得到明晰的顯示由于人的視覺(jué)可分辨灰

15、度有限，為了得到明晰的顯示效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處置，設(shè)顯示信號(hào)效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處置，設(shè)顯示信號(hào)為為D(u,v), D(u,v), |D(u,v)log(1F(u,v) )23 即用顯示即用顯示D(u,v)D(u,v)來(lái)替代只顯示來(lái)替代只顯示|F(u,v)|F(u,v)|不夠清楚的補(bǔ)救不夠清楚的補(bǔ)救方法。方法。 譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺(jué)了解。如一幅遙感圖像譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺(jué)了解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立刻可指出干擾的空間頻受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立刻可指出干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。率并可方便地從頻域去除。 如圖如圖4.7

16、4.7為圖像的傅里葉頻譜圖像為圖像的傅里葉頻譜圖像24圖4.7 圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b)頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過(guò)變換后的結(jié)果(b)(c)a. a. 25 2. 2.頻譜圖像的移中顯示頻譜圖像的移中顯示 常用的傅里葉正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式，常用的傅里葉正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了察看方便，將頻譜圖像的其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了察看方便，將頻譜圖像的零點(diǎn)移到顯示的中心。零點(diǎn)移到顯示的中心。 當(dāng)周期為當(dāng)周期為N N時(shí)，應(yīng)在頻域

17、挪動(dòng)時(shí)，應(yīng)在頻域挪動(dòng)N/2N/2。利用。利用DFTDFT的平移性質(zhì)，的平移性質(zhì)，先把原圖像先把原圖像f(x,y)f(x,y)乘以乘以(-1)(x+y)(-1)(x+y)然后再進(jìn)展傅里葉變換，然后再進(jìn)展傅里葉變換，其結(jié)果譜就是移其結(jié)果譜就是移N/2N/2的的F(u,v)F(u,v)。圖。圖4-84-8所示。所示。 該當(dāng)留意，顯示是為了觀看，而實(shí)踐該當(dāng)留意，顯示是為了觀看，而實(shí)踐F(u,v)F(u,v)數(shù)據(jù)仍保管數(shù)據(jù)仍保管為原來(lái)的值。為原來(lái)的值。 26圖4.8 頻譜圖像的移中顯示 (a)未移至中心的頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像(a)(b)27 3. 3.旋轉(zhuǎn)性旋轉(zhuǎn)性 運(yùn)用中，對(duì)兩幅圖像進(jìn)展

18、傅里葉變換后，為求兩幅圖運(yùn)用中，對(duì)兩幅圖像進(jìn)展傅里葉變換后，為求兩幅圖像的類似性，常須對(duì)頻域圖進(jìn)展旋轉(zhuǎn)尋覓匹配。此時(shí)像的類似性，常須對(duì)頻域圖進(jìn)展旋轉(zhuǎn)尋覓匹配。此時(shí)FTFT公公式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對(duì)。設(shè)式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對(duì)。設(shè)f(x,y)f(x,y)為原圖中任為原圖中任一點(diǎn)的坐標(biāo)，一點(diǎn)的坐標(biāo)， ，為為(x,y)(x,y)點(diǎn)與點(diǎn)與x x軸的夾角，軸的夾角，那么傅里葉變換對(duì)為：那么傅里葉變換對(duì)為：sincosyx),(),(fRF假設(shè)空域 sincosyxsincosRvRu頻域 28那么旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為：那么旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為： ),(),(00fRF上式闡明，在空域中對(duì)圖像f(x,y)旋轉(zhuǎn)0對(duì)應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)0，類似的，對(duì)F(u,v)旋轉(zhuǎn)0也對(duì)應(yīng)于將其傅里葉反變換f(x,y)旋轉(zhuǎn)0。29(a)(b)圖4.9 傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性，對(duì)比圖4.83031圖圖4.10 4.10 二維傅里葉變換的頻譜分布二維傅里葉變換的頻譜分布 32圖4.11 頻率位移例如33 圖4.11為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對(duì)中心點(diǎn)是共軛對(duì)稱的，利用這個(gè)特性，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸時(shí)，僅存儲(chǔ)和傳輸它們中的一部分，進(jìn)展逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對(duì)稱性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可到達(dá)數(shù)