行列式的計算方法畢業(yè)論文[]

1、行列式的計算方法摘要 行列式最早是由解線性方程而引進的，時至今日，行列式已不止如此，在許多方面都有廣泛的應用。本文，我們學習行列式的定義、性質，化為“三角形”行列式，利用行列式的性質，使行列式化簡或化為“三角形”行列式計算。利用拉普拉斯展開定理，按某一行(列)或某幾行(列)展開，使行列式降級，利用范德蒙行列式的計算公式，利用遞推關系等，在計算行列式中最常用的是利用行列式的性質，和按某行(列)展開行列式，而某些方法是針對于某些特殊類型的行列代而言，對一般的級行列式的計算，往往要利用行列式的性質和拉普拉斯展開定理，導出一個遞推公式，化為2級或3級行列式，以及化為“三角形”行列式來計算。關鍵詞 計算

2、方法 線性方程組 行列式引 言解方程是代數(shù)中一個基本問題，特別是在中學代數(shù)中，解方程占有重要地位。因此這個問題是讀者所熟悉的。譬如說，如果我們知道了一段導線的電陰r，它的兩端的電位差v，那么通過這段導線的電流強度i，就可以由關系式，求出來。這就是通常所謂解一元一次方程的問題。在中學所學代數(shù)中，我們解過一元、二元、三元以至四元一次方程組。而n元一次方程組，即線性方程組的理論，在數(shù)學中是基本的也是重要的內容。在中學代數(shù)課中學過，對于二元線性方程組：當二級行列式時，該方程組有唯一解，即，對于三元線性方程組有相仿的結論。為了把此結果推廣到n元線性方程組的情形。我們首先要掌握n級行列式的相關知識。定義

3、n級行列式等于取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和，這里是的一個排列，每一項安下列規(guī)則帶有符號，當是偶排列時，則該項帶正號，當是奇排列時，則該項帶負號。這一定義可以寫成這里表示對所有n級排列求和。一 基本理論（一）n級行列式的性質：性質1：行列互換，行列式不變。即：性質2：一個數(shù)乘以行列式的某一行，等于該這個數(shù)乘以此行列式性質3：如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這個行列式除這一行外全與原來行列式的對應的行一樣。性質4：如果行列式中有兩行相同，那么行列式為為零。所謂兩行相同就是說兩行的對應元素相等。性質5：如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零。性質6：把一行的

4、倍數(shù)加到另一行，行列式不變。性質7：對換行列式中兩行的位置，行列式反號。（二） 基本理論1其中為元素代數(shù)余式。2降階定理345非零矩陣k左乘行列式的某一行加到另一行上，則新的分塊行列式與原來相等。（三）幾種特殊行列式的結果1 三角行列式(上三角行列式)(下三角行列式)2 對角行列式3對稱與反對稱行列式滿足，D稱為對稱行列式滿足，D稱為反對稱行列式。若階數(shù)n為奇數(shù)時，則D=04二 行列式的計算（一）定義法例：計算行列式解：由行列式定義知，且， 所以D的非零項j，只能取2或3，同理由，因而只能取2或3，又因要求各不相同，故項中至少有一個必須取零，所以D=0。（二）化成三角形行列式法將行列式化為上三

5、角形行列式計算步驟，如果第一行第一個元素為零，首先將第一行(或第一列)與其它任一行(或列)交換，使第一行第一個元素不為零，然后把第一行分別乘以適當數(shù)加到其它各行，使第一列除第一個元素外其余元素全為零，再用同樣的方法處理除去第一行加第一列余下的低階行列式依次做下去，直至是它或為上三角形行列式，這時主對角線上元素的乘積就是行列式的值。例：計算行列式解：各行加到第一行中去 例：計算行列式解：從倒數(shù)第二行(-1)倍加到第n行（三）遞推法例：計算行列式解：按第一行展開得： (1)按遞推關系 (2)由(1)式又可推導出：，按逆推關系得 (3)由(2)(3)解得例：計算解：計算 由遂推公式得例：n階范德蒙

6、(Vandermonde)行列就是采用遂推來求解。它利用初等變換把轉化為遞推關系式：從而得出。（四）降階法：將行列式的展開定理與行列式性質結合使用，即先利用性質將行列式的某一行(或某一列)化成僅含一個非零元素，然后按此行(列)展開，化成低一階的行列式，如此繼續(xù)下云去，直到化為三階或二階行列式直接計算出結果。左邊例：計算行列式，其中，解： （五）升階法：此法多采用的形式為加邊法。例：計算行列式，其中In是單位陣，為n維實列向量，且解：將行列式升為(n+1)階行列式。 (由)（六）分解之和法例：解：左邊=右邊例：解：第2行乘(-1)加到第1行，第3行乘(-1)加到2行，依次行乘(-1)加行最后一行

7、拆成2行 例：計算行列式解：將左上角的改寫成，于是可以寫成兩個行列式的和 因關于與是對稱的，所以又有由此兩式即可得例：計算行列式解：將表成兩個行列式之和 在第二個行列式中，于第行和第列都提出公因子，再用乘第行加到第行上去，易得得例：計算行列式：解： 其中例：計算行列式：解： （七）分解之積法：計算行列式：解： 例：計算行列式：證明：例：證明：證明：（八）換元法例：計算行列式解：把視為中每個元素加上x所得，因此（九）數(shù)學歸納法例：證明：當時，命題成立。假設對于階行列式命題成立，即則按第1列展開：所以對于階行列式命題成立。例：計算行列式解： 猜想：證明：(1)當時驗證成立(2)假設時成立，即有當時

8、，有 當時成立 猜想成立（十）線性因子法計算行列式(1) (2)解：(1)由各列加于第一列可見，行列式D可被整除。由第二列加到第一列，并減去第三、四列可見，可被整除，由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見，被整除。最后由第四列加于第一列，并減去第二、三列可見，可被整除。我們把視為獨立未知量，于是上述四個線性因子式是兩兩互素的，因此，可被它們的乘積整除。此乘積中含有一項：，而中含有一項：所以(2)將行列式的前兩行和兩列分別對換，得如果以代替，又得原來形式的行列式。因此，如果含有因式，必含有因式，由于當時，有兩列相同，故確有因式，從而含有因式。同理又含有因式，而的展開式中有一項：，從而計算行列式

9、：解：由階行列式定義知，的展開式是關于的首項系數(shù)為的次多項式當時，因此有個互異根0，1、2由因式定理得 故 （十一）輔助行列式法計算行列式 其中為次數(shù)的數(shù)域F上多項式為F中任意個數(shù)。解：若中有兩個數(shù)相等，則若互異，則每個階行列式 是的線性組合，據(jù)題的次數(shù)因而的次數(shù)但 這說明至少有個不同的根，故所以即（十二）應用范得蒙行列式進行計算例：解：第列提出公因子得再將第1行加于第2行，將新的第2行加于第3行，將新的第行加于第行，得例：解，第行提出公因子得例： 解： 例：計算行列式解：最后一行依次與前行調換位置經(jīng)過次,再將第行依次與前行調換位置共次共經(jīng)過次變換。原式（十三）階循環(huán)行列式算法例：計算行列式其

10、中解：設且令的個根為則由有 利用關系式 得例:設都是的可微函數(shù)證明：證明： （十四）有關矩陣的行列式計算例：設A與B為同階方陣：證明：證明：例：設A為階可逆方陣，、為兩個維列向量，則證明：例：若階方陣A與B且第列不同。證明：證明：(十五)用構造法解行列式例：設證明：證明：構造出多項式： （十六）用加邊法計算行列式計算行列式解：將原行列式加邊如下：各列減去第一列，并提出。再在所得的行列式中各行都加到第一行上去，得例：計算行例式：解：(十七)利用拉普拉斯展開：證明：級行列式證明：利用拉普拉斯展開定理，按第行展開有： 以上等式右端的級行列式均為“三角形行列式”。以上主要羅列了行列式的計算方法，大家要

11、學會仔細觀察行列式，靈活運用各種方法計算行列式，選擇最佳計算方法。三 用多種方法解題下面用我們運用上面的介紹的各種方法，選用多種方法解題。例1、計算：法1：將第2,3,，n行都加到第1行上去，得再將第一行通乘，然后分別加到第2,3,n行上，得法2：將2,3,n行分別減去第1行得再將第2,3,n列都加到第1列上去，便有法3：將添加一行及一列，構成階行列式再將第2,3,n+1分別減去第1行，于是有令在時，顯然，在時，則法4：令將右式中第二個行列式的第2,3,n列全加到第1列上去，再利用Laplace展開，所以得例2、求證證：若記，時，上述等式可簡記為證法一：把第2行乘以，第3行乘以，第行乘以，全部

12、加到第一行，再對第1行利用拉普拉斯定理展開，注意各項的符號應為，得證。證法二：對用歸納法當時，命題成立。假設對于時命題成立，那么，當左下角單位矩陣為階(即)時，對最后一行展開，其中，而按歸納法假設證畢。證法三：利用分塊矩陣的乘法兩邊取行列式，得在演算一個問題時，需要仔細分析已給的條件，靈活運用已經(jīng)知道的性質和已經(jīng)掌握的技巧，不要死套公式，這樣就能很快求出答案。參考文獻：1北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編.高等代數(shù).北京:高等代數(shù)出版社。2劉學生,譚欣,王麗燕主編，高等數(shù)學學習指導與解題訓練.大連:大連理工大學出版社。3考研筆記.4楊尚驗,材家壽.高等代數(shù)重要習題詳解，安徽:安徽省數(shù)學學

13、會.1982,3:3540。5石福慶,陳凱,錢輝鏡.線性代數(shù)輔導.北京:1985。The Calculate Method of DeterminamtLiu Yang(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract he ranks are earlast but solved the linear equation and introduced, even to this day. Determinant are already net only like this, the

14、re is extensive application in many aspects. We study the definition of determinant, nature, turn” triangle” determinant, in this text. Utilize nature of the determinant to be a ranks petrochemical industry or turn “triangle” determinant to calculate, utilize Laplaces expansion theorem, launch accor

15、ding to one delegation (arrange) or some several lines (arrange), it is the determinant, that is dernoted, utilize the calculation formula of the vandermoncle determinant, utilize and pass and push the relation to wait, the most frequently used one is to some determinants of special type, to general

16、 n and calculation of the determinant, will often utilize nature of the determinant and Laplaces expansion theorem, this text one recurrence formula every where, turn 2,3 determinant, turn “triangle” ranks is it calculate to come.Keywords The determinant; Computing technology; Linear equation group.

17、目 錄引言1一 基本理論1（一） n級行列式的性質1（二） 基本理論4（三） 幾種特殊結果4二 行列式的計算5（一） 定義法5（二） 化成三角形行列式法5（三） 遞推法7（四） 降階法9（五） 升降法10（六） 分解之和法11（七） 分解之積法14（八） 換元法15（九） 數(shù)學歸納法15（十） 線性因子法16（十一） 輔助行列式法18（十二） 應用范得蒙行列式法18（十三） n階循環(huán)行列式法20（十四） 有關矩陣的行列式的計算22（十五） 用構造法解行列式23（十六） 用加邊法計算行列式24（十七） 利用拉普拉斯展開25三 用多種方法解題26參考文獻2925Cr-13Ni type or a

18、welding material with high nickel content. Low temperature steels, austenitic stainless steel and heat-resistant corrosion-resistant high alloy steels and austenitic and non-austenite dissimilar steel welded joints shall comply with the following requirements: to ensure penetration and fusion under

19、good conditions, low current, short-arc, welding speed and much faster welding process and interpass temperature should be controlled. High corrosion resistance performance of double-sided welded welds, welded layer in contact with corrosive media finally welded. Low temperature steel welding, suita

20、ble for the surface of the weld bead annealing. Check 6.6.1 6.6 welding inspection before welding material and welding materials, must be carried out according to standard acceptance, unqualified persons may be used. Group before the dimensions of various parts of the main structure, Groove sizes, a

21、nd grooved surface for inspection. Welding Groove and Groove on both sides should be checked before the cleaning quality. Check the welding before welding conditions are consistent with the prescribed conditions, and welding equipment. The drying and cleaning of welding materials to confirm that it meets the requirements. 6.6.2 intermediate welding inspection tack welding after th