第64講_極限與導數(shù)

1、極限和導數(shù)相關(guān)知識1.導數(shù)的有關(guān)概念。(1)定義：函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f/(x)，就是當時，函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限，即。(2)實際背景：瞬時速度，加速度，角速度，電流等。(3)幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率。2 求導的方法：(1)常用的導數(shù)公式：C/=0（C為常數(shù)）；(xm)/=mxm-1(mQ);(sinx)/=cosx;(cosx)/= -sinx ;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.(2)兩個函數(shù)的四則運算的導數(shù)：(3)復合函數(shù)的導數(shù)：3.導數(shù)的運用：(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性。當函數(shù)y

2、=f(x)在某個區(qū)域內(nèi)可導時，如果f/(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f/(x)0，則f(x)為減函數(shù)。(2)極大值和極小值。設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近所有的點，都有f(x)f(x0)）,我們就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值（或極小值）。(3)函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的求法。A類例題例1求函數(shù)的導數(shù) (2)解 y=3,=axbsin2x,=avbyv=x,y=sin =xy=(3)=32=32(avby)=32(avby)=32(avby)=3(axbsin2x)2(absin2x)(3)解法一 設y=f(),=,v=x2+1,則yx=yvvx=f

3、()v2x=f()2x=解法二 y=f()=f()()=f()(x2+1)(x2+1)=f()(x2+1) 2x=f()說明 本題3個小題分別涉及了導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導的方法，以及抽象函數(shù)求導的思想方法 這是導數(shù)中比較典型的求導類型 解答本題的關(guān)鍵點是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導數(shù) 本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯 例2觀察，是否可判斷，可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。解：若為偶函數(shù) 令 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù) 另證： 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)例3已知曲線C y=x33x

4、2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x00)，求直線l的方程及切點坐標 解 由l過原點，知k=(x00),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+22x023x0=0,x0=0或x0=由x0,知x0=y0=()33()2+2=k=l方程y=x 切點(，)情景再現(xiàn)1 在處可導，則 2已知f(x)在x=a處可導，且f(a)=b，求下列極限： （1）； （2）3設f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求f(1)。B類例題例4 (1)試述函數(shù)y=f(x)

5、在x=0處的導數(shù)的定義；(2)若f(x)在R上可導，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。(1)解：如果函數(shù)y=f(x)在x=0處的改變量y與自變量的改變量x之比，當時有極限，這極限就稱為y=f(x)在x=0處的導數(shù)。記作。(2)解法一：f(x)= f(-x)，則f(x)= f(-x) 當時，有 。 解法二：f(x)= f(-x)，兩邊對x求導，得 。鏈接說明 本題涉及對函數(shù)在某一點處導數(shù)的定義。題（2）可對其幾何意義加以解釋：由于f(x)=f(-x),所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱，因此它在x=x0處的切線關(guān)于y軸對稱，斜率為互為相反數(shù)，點(0,f(0)位于y軸上，且f

6、/(0)存在，故在該點的切線必須平行x軸（當f(0)=0時，與x軸重合），于是有f/(0)=0。在題（2）的解二中可指出：可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)，讓學生進一步思考：可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)嗎？例5 利用導數(shù)求和(1)Sn=1+2x+3x2+nxn1(x0,nN*)(2)Sn=C+2C+3C+nC,(nN*) 解 (1)當x=1時Sn=1+2+3+n=n(n+1);當x1時，x+x2+x3+xn=,兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導得(x+x2+x3+xn)=()即Sn=1+2x+3x2+nxn1=(2)(1+x)n=1+Cx+Cx2+Cxn,兩邊都是關(guān)于x的可導函數(shù)，求導得n(1+x)n1=C

7、+2Cx+3Cx2+nCxn1,令x=1得，n2n1=C+2C+3C+nC,即Sn=C+2C+nC=n2n1 說明要注意思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力 通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維 由求導公式(xn)=nxn1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù) 關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu) 本題難點是學生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想 第(1)題要分x=1和x1討論，等式兩邊都求導例6（1）求證（2） 求證 （1）證：令 原不等式 令 令 （2）令 上式也成立將各式相加 即 例7 已知為正整數(shù). （）設； （）設證明：（）因為，所以（）對函數(shù)求導數(shù): 即對任意情景

8、再現(xiàn)4 設f(x)在點x0處可導，a為常數(shù)，則 等于( )A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.05求證下列不等式（1） （2） （3） 6 已知，函數(shù)設，記曲線在點處的切線為。 （）求的方程；（）設與軸的交點為，證明：若，則C類例題例8 設函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)當x-1,1時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；(3)若x1,x2-1,1時，求證：|f(x1)-f(x2)|。解(1) 函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點對稱，

9、對任意實數(shù)x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. f(x)=3ax2+c.x=1時,f(x)取極小值-. f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.(2)證明：當x-1,1時，圖象上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立，假設圖象上存在兩點A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得過這兩點的切線互相垂直，則由f(x)=x2-1，知兩點處的切線斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)x1、x2-

10、1,1, x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，這與(*)相矛盾，故假設不成立.(3)證明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.當x(-，-1)或（1，+）時，f(x)0; 當 x(-1，1)時，f(x)0.f(x)在-1,1上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1時，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1,1時,|f(x1)-f(x2)|.說明 若x0點是y=f(x)的極值點，則f(x0)=0,反之不一定成立；在討論存在性問題時常用反證

11、法；利用導數(shù)得到y(tǒng)=f(x)在-1,1上遞減是解第(3)問的關(guān)鍵.例9 已知平面向量=(,-1).=(,).(1)證明；(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；(3)據(jù)(2)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.分析 通過向量的運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解(1)=+(-1)=0 .(2)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0=0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(3)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(

12、t2-3)與直線y=k的交點個數(shù).于是f(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當t=-1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當t=-1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=-.函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當k或k-時,方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)當k=或k=-時,方程f(t)-k=0有兩解；(3) 當-k時,方程f(t)-k=0有三解.說明 導數(shù)的應用為函數(shù)

13、的作圖提供了新途徑。例10 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設0ab,證明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-1，+)，f(x)=-1. 令f(x)=0，解得x=0.當-1x0時，f(x)0; 當x0時， f(x)0.又f(0)=0，故當且僅當x=0時，f(x)取得最大值,最大值為0.（2）證法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=aln由（1）結(jié)論知ln(1+x)-x-1，且x0)由題設0ab，得因此，.又，.綜上 .證法二：.設，則.當0xa時，因

14、此F(x)在上為增函數(shù).從而，當x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a). 即.設，則當x0時，因此上為減函數(shù)。即，綜上，原不等式得證。鏈接1證明：當x0時，有2已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若2ntSn對于任意的nN*成立，求實數(shù)t的最大值。分析：利用Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，從而Sn=n2則問（2）轉(zhuǎn)化為t恒成立，故只需求出數(shù)列的最小項，有以下求法：法一：研究數(shù)列bn的單調(diào)性。法二：數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，欲求的最小項可先研究連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性，求導得，易得為函數(shù)的極小值也是最小值點，

15、又，所以而，故注意：導數(shù)的引進為不等式的證明，甚至為研究數(shù)列的性質(zhì)提供了新途徑，充分地體現(xiàn)了數(shù)列作為一類特殊函數(shù)其本質(zhì)所在。特別提示：上幾例充分體現(xiàn)了導數(shù)作為工具分析和解決一些如函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式、數(shù)列等問題的方法，這類問題用傳統(tǒng)教材無法解決；此外，例10還說明了一點：欲用導數(shù)，得先構(gòu)造函數(shù)。 例11 已知雙曲線與點M（1，1），如圖所示.（1）求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切；（2）設（1）中的兩切點分別為A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切點坐標。（1）證明：設，要證命題成立只需要證明關(guān)于t的方程有兩個符號相反的實根。 ，且t0，t1。設方程的兩根分別為t1與t2，

16、則由t1t2=m0，知t1，t2是符號相反的實數(shù)，且t1，t2均不等于0與1，命題獲證。（2）設，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而，即線段AB的中點在直線上。又，AB與直線垂直。故A與B關(guān)于對稱， 設，則有t2-2mt+m=0 由及夾角公式知，即 由得 從而由知，代入知因此，。鏈接求切線方程的常見方法有：1、數(shù)刑結(jié)合。2、將直線方程代入曲線方程利用判別式。3、利用導數(shù)的幾何意義。小結(jié)：深刻理解導數(shù)作為一類特殊函數(shù)，其幾何意義所在，熟練掌握利用導數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基本方法；導數(shù)的應用為研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象開辟了新的途徑，成為勾通函數(shù)與數(shù)列、圓錐曲線

17、等問題的一座橋梁；此外，導數(shù)還具有方法程序化，易掌握的顯著特點。情景再現(xiàn)7設，點P（，0）是函數(shù)的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.（）用表示a，b，c；（）若函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，求的取值范圍.8 已知函數(shù) （）求的單調(diào)減區(qū)間；（）若在區(qū)間2，2.上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.9（2005山東）已知是函數(shù)的一個極值點，其中，（I）求與的關(guān)系式；（II）求的單調(diào)區(qū)間；（III）當時，函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3，求的取值范圍.情景再現(xiàn)答案1解 在處可導，必連續(xù) 2 解：（1） （2） 3解： 令x=1得 4答案C5 證：（1） 為上 恒成立 在上

18、恒成立（2）原式 令 （3）令 6 解：（1）的導數(shù)，由此得切線的方程，（2）依題得，切線方程中令，得，其中，（）由，有，及，當且僅當時，。（）當時，因此，且由（），所以。7 解：（I）因為函數(shù)，的圖象都過點（，0），所以， 即.因為所以.又因為，在點（，0）處有相同的切線，所以而將代入上式得 因此故，（II）解法一.當時，函數(shù)單調(diào)遞減.由，若；若由題意，函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，則所以又當時，函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減.所以的取值范圍為8 解：（I）令,解得或所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（II）因為所以因為在上,所以在單調(diào)遞增,又由于在上單調(diào)遞減,因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值.于是有,

19、解得故因此即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為9解：(I)是函數(shù)的一個極值點,即（II）由（I）知，=當時，有，當變化時，與的變化如下表：100單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故有上表知，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（III）由已知得，即即設，其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立，解之得又所以即的取值范圍為本節(jié)習題x2 x01.已知函數(shù)y=f(x)= 那么y/|x=0的值為（ ） x x0）為增函數(shù)，則( )A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c0 D.b2-3ac0 7 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，導函數(shù)是減函數(shù)，且設，是曲線在點處的切線方程，并設函數(shù) （）用、表示m；（）證明：當，；

20、（）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系8 已知函數(shù)的圖象過點P（0，2），且在點M（1，f（1）處的切線方程為. （）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.9 已知是定義在R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A，B，C三點，若點B的坐標為（2，0），且在和4，5上有相同的單調(diào)性，在0，2和4，5上有相反的單調(diào)性 （1）求c的值； （2）在函數(shù)的圖象上是否存在一點M（x0，y0），使得在點M的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由； （3）求的取值范圍 10已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0. （）若b2，且h(x)f(x)g

21、(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； （）設函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.11設函數(shù)（）證明其中為k為整數(shù)（）設為的一個極值點，證明（）設在（0,+）內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排列為，證明：習題參考答案1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(A) 6.(D) 7 （）解： （）證明：令 因為遞減，所以遞增，因此，當；當.所以是唯一的極值點，且是極小值點，可的最小值為0，因此即 （）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.對任

22、意成立的充要條件是另一方面，由于滿足前述題設中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為于是的充要條件是 綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系 （）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立. 對任意成立的充要條件是 令，于是對任意成立的充要條件是 由當時當時，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即 綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等

23、式得因此，式即為b的取值范圍，式即為實數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系. 8 解：()由的圖象過點P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)處的切線方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,即解得b=c=-3.故所求的解析式為f(x)=x3-3x-3+2,() (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,當x1+時, (x)0;當1-x1+時, (x)0f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+,+)內(nèi)是增函數(shù),在(-, 1-)內(nèi)是增函數(shù),在(1-,1+)內(nèi)是減函數(shù).9 解： 在和上有相反單調(diào)性， x=0是的一個極值點，故，