微分方程特征值與線性代數(shù)特征值的聯(lián)系_第1頁
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-作者xxxx-日期xxxx微分方程特征值與線性代數(shù)特征值的聯(lián)系【精品文檔】微分方程特征值與線性代數(shù)特征值的聯(lián)系殷 德 京高階顯式微分方程為一階顯式微分方程組對于任一高階顯式微分方程 顯式微分方程又稱正規(guī)形微分方程,即解出了最高階導數(shù)的微分方程.都可以化成一個與之等價的一階顯式 化法:對任一高階顯式微分方程 , (1)引進新的未知函數(shù),即令,就可化為如下的一階顯式微分方程組 (2)2.化任一高階顯式線性微分方程為一階顯式線性微分方程組特別地，如果所討論的方程為高階線性微分方程 , (3)解出最高階導數(shù),則得高階顯式線性微分方程 . (4)那么由上述同樣的化法,即令,就可得一階顯式線性微分方程組如下 (5)(5)式用矢量記法，則為 ， (6)其中 ,. (7)3.線性微分方程特征值與線性代數(shù)特征值的聯(lián)系考慮常系數(shù)齊次高階線性微分方程 , (8)根據(jù)(6)式,它化為常系數(shù)齊次一階顯式線性微分方程組 , (9)其中 ,. (10)假設(shè)方程(9)解的形式是代入(9)式,得因,故可兩邊消去,得繼而有 (11)或 (12)(11)正是線性代數(shù)中矩陣的特征值和特征矢量的定義式,(12)式就是一個齊次線性代數(shù)方程組.它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即有特征方程,也即即這恰是把常系數(shù)齊次高階線性微分方程(8)中的都換成所得出的

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