rv的函數(shù)的分布PPT課件

1、一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)也很感興趣.42d求截面面積 A= 的分布.比如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，第1頁/共26頁再比如 ，已知 t=t0 時刻噪聲電壓 V 的分布，求功率 W=V2/R ( R 為電阻）的分布等.t0t0第2頁/共26頁 設(shè)隨機變量 X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g 是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？下面進(jìn)行討論. 這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.第3頁/共26頁二、d.r.v.函數(shù)的分布解： 當(dāng) X 取值 1，2，5 時， Y 取對應(yīng)值 5，7，13，例1設(shè)X3 . 055 . 02 . 021求 Y= 2X

2、 + 3 的概率函數(shù). 3013502075.Y而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.故第4頁/共26頁如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項即可.一般地，若X是d.r.v. X 的分布律為Xnnpppxxx2121則 Y=g(X)nnpppxgxgxg2121)()()(第5頁/共26頁如：X1 . 016 . 03 . 001則 Y=X2 的分布律為：406010.Y第6頁/共26頁三、c.r.v.函數(shù)的分布解 設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY(y)，例2設(shè) X 其它, 040, 8/)(xxxfX求 Y=2X+8 的概率密度.FY(y)=P Y y

3、= P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是Y 的密度函數(shù)21)28()()(yfdyydFyfXYY第7頁/共26頁故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到 0 x 4 時， 0)(xfX即 8 y 0 時,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到 Y=X2 0 ，故當(dāng) y 0 時， .0)(yFY)(xFX)(yFY解 設(shè)Y 和 X 的分布函數(shù)分別為 和 ，)()(yFyFXX YFyP Yy第9頁/共26頁若exxfX2221 )(則 Y=X2 的概率密度為： 0, 00,21)(221yyyfeyyY0, 00,

4、)()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY求導(dǎo)可得,x 第10頁/共26頁 從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X, 從而得到與 g(X) y 等價的X 的不等式 .例如，用 代替 2X+8 y X 28y用 代替 X2 y yXy 這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.第11頁/共26頁例4 設(shè)隨機變量X的概率密度為其它002)(2xxxf求 Y = sinX 的概率密度., 0)(yFY當(dāng) y 0 時, 當(dāng) y 1時, 1)(yFY10 y x0當(dāng)時故解 YFyP Yy

5、01Y注意到,第12頁/共26頁)()(yYPyFY)(sinyXP當(dāng) 0 y 1 時, =P(0 1 , G (y) = 1;對 y 0,反函數(shù) x = h(y) = lny,所以當(dāng) y 0 時,( ) ( ) |( )|YXfyfh yh y ,1)(yyh1ln Xfyy21(1 ln)yy由此得21,0(1ln)( )0,Yyyyfy其它解：第19頁/共26頁例7：已知2. .( ,),r v XN 求(0)YaXb a的p.d.f.解：22()21( ),(.)2xXXfxex ( )g xaxb上嚴(yán)格單調(diào)，上嚴(yán)格單調(diào)，在在),(其反函數(shù)( ),ybh ya 1( ),h ya (,

6、),y ( )Yfy 22()2112y baea 222()212yabaea 22(,)YN ab a此性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性不變性。特別地，若取1,ab XY (0,1)N得：第20頁/共26頁四、小結(jié) 對于連續(xù)型隨機變量，在求 Y= g (X) 的分布時，關(guān)鍵的一步是把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用 X 的分布來求 P g(X) y .這一節(jié)我們介紹了隨機變量函數(shù)的分布.第21頁/共26頁一一、 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 X 的的 分分布布律律為為：X21013P1/51/61/51/15 11/30求求 Y=X 2的的分分布布律律二、設(shè)二、設(shè) XN（0，

7、1）（1）求）求 Y=eX的概率密度的概率密度（2）求求 Y=2X2+1 的概率密度。的概率密度。（3）求）求 Y=| X |的概率密度。的概率密度。練習(xí)題第22頁/共26頁三三、設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 X 在在（0，1）上上服服從從均均勻勻分分布布（1）求求 Y=eX的的分分布布密密度度（2）求求 Y=2lnX 的的概概率率密密度度。第23頁/共26頁一一、 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 X 的的 分分布布律律為為：X21013P1/51/61/51/15 11/30求求 Y=X 2的的分分布布律律解：解：9 , 4 , 1 , 02 YXY的所有可能取值為：的所有可能取值為：0 YP02 XP0 XP5/1 1 YP12 XP11 XXP或或11 XPXP307 4 YP42 XP22 XXP或或22 XPXP5/1 第24頁/共26頁4 YP42 XP22 XXP或或22 X