1.3.1函數(shù)的單調(diào)性例題

1、1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性題型一、利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 1. 作出下列函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1） y x2 1 ;（2） y x2 2x 3;（3） y x 1 （x 2） 2 ; （4） yx2 6x 9 x2 6x 9相應(yīng)作業(yè) 1：課本 P32第 3 題 .題型二、用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值作差變形定號 下結(jié)論取值，即 ；作差變形 ,作差, 變形手段有 、等；定號，即 ;下結(jié)論，即 。例 2. 用定義法證明下列函數(shù)的單調(diào)性（1）證明： f （x）x3 1 在, 上是減函數(shù) .定義法證明單調(diào)性的等價(jià)形式(x1x2) f (x1)f (x

2、2 )0f(x1)f(x2) 0f (x) 在 a,b 上是增函數(shù)；x1x2(x1x2) f (x1)f (x2 )0 f (x1 )f (x2 ) 0f (x) 在 a,b 上是減函數(shù) .x1x2(2) 證明： f (x)2x21 x 在其定義域內(nèi)是減函數(shù)；設(shè) x1、x2 a,b ， x1x2, 那么(3)證明： f (x)12 在 ,0 上是增函數(shù)； x法一： 作差法二：作商4)已知函數(shù) y f (x)在 0, 上為增函數(shù)，且 f (x) 0(x 0) ，試判斷 F(x) 1 在 f (x)0, 上的單調(diào)性，并給出證明過程； 方法技巧歸納 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：1、直接法：熟悉的函數(shù)，如一

3、次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等；如，練習(xí)冊P27( 2)P31 (上 5、 1)2、圖象法；3、定義法；4、運(yùn)算性質(zhì)法：當(dāng) a 0時(shí)，函數(shù) af (x)與 f(x)有相同的單調(diào)性；當(dāng) a 0時(shí)，函數(shù) af (x) 與 f (x) 有相反的單調(diào)性； 當(dāng)函數(shù) f (x) 恒不等于零時(shí)， f (x) 與 1 單調(diào)性相反；f (x) 若 f(x) 0，則 f(x)與 f(x) 具有相同的單調(diào)性； 若 f (x) 、g(x)的單調(diào)性相同，則 f (x) g( x)的單調(diào)性與之不變；即：增 +增 =增減+減=減若 f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則 f(x) g( x)的單調(diào)性與 f(x) 同.即：增 -

4、減 =增減 - 增=增注意：( 1)可熟記一些基本的函數(shù)的單調(diào)性， 一些較復(fù)雜的函數(shù)可化為基本函數(shù)的組合形式， 再利用上述結(jié)論判斷；2) f(x)g(x)與 f(x) 的單調(diào)性不能確定 g(x)ax相應(yīng)作業(yè) 2：(1)討論函數(shù) f(x) 2 在 1,1 上的單調(diào)性( a 0)；x2 1k( 2)務(wù)必記住“對勾”函數(shù) f(x) x (k 0)的單調(diào)區(qū)間(見練習(xí)冊 P29探究之窗 .x探究 1)知識拓展復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(難點(diǎn))一、復(fù)習(xí)回顧：復(fù)合函數(shù)的定義：如果函數(shù) y f(t)的定義域?yàn)?A，函數(shù) t g( x)的定義域?yàn)?D，值域?yàn)?C， 則當(dāng) C A時(shí)，稱函數(shù) y f ( g( x)為 f 與

5、g在D上的復(fù)合函數(shù)，其中 t叫做中間變量， t g (x)叫內(nèi)層函數(shù)， y f ( x)叫外層函數(shù)。二、引理 1 已知函數(shù) y=f g(x) .若 t=g(x) 在區(qū)間 (a,b) 上是增函數(shù)，其值域?yàn)?(c，d)， 又函數(shù) y=f(t) 在區(qū)間 (c,d) 上是增函數(shù)，那么， 原復(fù)合函數(shù) y=f g(x) 在區(qū)間 (a,b) 上是增 函數(shù).引理 2 已知函數(shù) y=f g(x) .若 t=g(x) 在區(qū)間 (a,b) 上是減函數(shù)，其值域?yàn)?(c ，d)，又 函數(shù) y=f(t) 在區(qū)間 (c,d) 上是減函數(shù)， 那么，復(fù)合函數(shù) y=f g(x) 在區(qū)間 (a,b) 上是增函數(shù) . 引理 1 的證

6、明：重要結(jié)論 1：復(fù)合法則若 t g(x)y f (t)則 y f g(x)增增增減減增增減減減增減規(guī)律可簡記為“ ”(四個(gè)字)重要結(jié)論 2：若一個(gè)函數(shù)是由多個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函 數(shù)中減函數(shù)的個(gè)數(shù)決定 :若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個(gè)，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù) .規(guī)律可簡記為“ ”（四個(gè)字）題型三、求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 3. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .（1） y7 6x x2（ 2） y1x2 2x 3小結(jié) ：1、注意：（1）求單調(diào)區(qū)間必先求定義域； （2）單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集；（3）寫多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間不能用“”并起來，應(yīng)用“， ”

7、隔開 .2、判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性步驟：求函數(shù)的定義域；將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)： y f （t）與 t g（x）；確定兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性； 由復(fù)合法則“同増異減”得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 相應(yīng)作業(yè) 3：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3) y1x2 4x1) y 8 2x x2單調(diào)性的應(yīng)用題型四、比較函數(shù)值的大小例 4. 已知函數(shù) y f (x) 在 0,上是減函數(shù)，試比較f(34)與 f(a2 a 1)的大小 .題型五、已知單調(diào)性，求參數(shù)范圍例 5. 已知函數(shù) f (x) x2 2(x a)x 2(1) 若 f(x) 的減區(qū)間是,4 ，求實(shí)數(shù) a的值；(2) 若 f(x) 在,4 上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值

8、范圍例 6.若函數(shù) f(x) (2b 1)x b 1,x 0在 R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù) b的取值范圍 x2 (2 b)x,x 0題型六、利用單調(diào)性，求解抽象不等式 例 7. 已知函數(shù) y f (x)是 1,1 上的減函數(shù)， 且 f (1 a) f(a2 1) ，求實(shí)數(shù) a的取值范 圍.x例 8.已知 f (x)是定義在 0, 上的增函數(shù)，且 f( ) f(x) f(y)，且 f (2) 1，解不 y等式 f (x) f ( 1 ) 2.x3相應(yīng)作業(yè) 4：已知 f (x)是定義在 0, 上的增函數(shù)，且 f(xy) f(x) f (y)，且 f(2) 1，解不等式 f (x) f (x 2) 3.題

9、型七、抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷定義法 解決此類問題有兩種方法：“湊”，湊定義或湊已知條件，從而使用定義或已知條件得出結(jié)論；賦值法，給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系，有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試 .例 9.已知函數(shù) f(x)對任意實(shí)數(shù) x、 y都有 f(x y) f (x) f(y)，且當(dāng) x 0時(shí)f(x) 0 ，求證： f (x) 在 R 上單調(diào)遞增上單調(diào)性 .例 10. 已知定義在 0, 上的函數(shù) f (x) 對任意 x 、 y 0, ，恒有 f(xy) f (x) f (y) ，且當(dāng) 0 x 1時(shí) f(x) 0，判斷 f(x) 在 0,相應(yīng)作業(yè) 5：定義在 0, 上的函數(shù) f (x) 對任意 x 、

10、 y 0, ，滿足f(mn) f (m) f(n)，且當(dāng) x 1時(shí) f (x) 0.1)求 f(1) 的值；2)求證： f (m) f (m) f (n)；n3)求證： f (x) 在 0, 上是增函數(shù)；4)若 f(2) 1，解不等式 f(x 2) f (2x) 2；函數(shù)的最大（?。┲?、函數(shù)的最大（?。┲刀x2、利用單調(diào)性求最值常用結(jié)論1）若函數(shù) yf （x） 在閉區(qū)間 a,b 上單調(diào)遞增，則 yminf (a) ， ymax f (b) ；2）若函數(shù) yf （x） 在閉區(qū)間 a,b 上單調(diào)遞減，則 yminf (b) ， ymaxf(a) ；3）若函數(shù) yf （x） 在開區(qū)間 a,b 上單

11、調(diào)遞增，則函數(shù)無最值，但值域?yàn)閒 (a), f (b) ；4）若函數(shù) yf （x） 在閉區(qū)間 a,b 上單調(diào)遞增，在閉區(qū)間 b,c 上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y f （x）， x a,c 在 x b處有最大值，即 ymax f （b） ；5）若函數(shù) y f （x） 在閉區(qū)間 a,b 上單調(diào)遞減，在閉區(qū)間 b,c 上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y f (x)， x a,c 在 x b處有最小值，即 yminf(b) .題型八、單調(diào)性法求函數(shù)最值（值域）1例 11、（ 1）函數(shù) f （x）1 在 1,5 上的最大值為 , 最小值為 2x 12）函數(shù) y 2x 1在 2,4 上的最大值為 , 最小值為x13）函數(shù)

12、y 2x 1 2x 的值域?yàn)?4）函數(shù) y x x 1 的值域?yàn)?5）函數(shù) y1x 2 的值域?yàn)閥1x6）函數(shù) yx 的值域?yàn)?二次函數(shù)的區(qū)間最值的求法二次函數(shù)在給定區(qū)間 m,n 上求最值，常見類型：（1）定軸定區(qū)間：對稱軸與區(qū)間m,n 均是確定的；（2）動(dòng)軸定區(qū)間：（3）定軸動(dòng)區(qū)間：（4）動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間：1、定軸定區(qū)間可數(shù)形結(jié)合，較易解決，注意對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系。例 12. 當(dāng) 2 x 2 時(shí)，求函數(shù) y2x2 2x 3 的最值 .相應(yīng)作業(yè) 6：求函數(shù) yx2 4x 5 在 1,5 上的最值 .2、動(dòng)軸定區(qū)間例 13.已知函數(shù) f（x） x2 2ax 2，求 f（x）在 5,5 上的最值 .動(dòng)軸定區(qū)間問題一般解法：對對稱軸在區(qū)間左側(cè)、右側(cè)、內(nèi)部三種情況進(jìn)行討論，從而確 定最值在區(qū)間端點(diǎn)處還是在頂點(diǎn)處取得 .2相應(yīng)作業(yè) 7：求函數(shù) f （x） x2 2ax 1 在 0,2 上的最值 .3、定軸動(dòng)區(qū)間例 14. 已知函