整理不定積分學習指導

1、第四章 不定積分1 學習指導1. 基本要求正確理解原函數(shù)與不定積分的概念， 熟悉原函數(shù)與不定積分的 關系；掌握并能推證不定積分的性質， 牢記并能熟練運用基本積分公 式；熟練掌握求簡單函數(shù)不定積分的直接方法；掌握不定積分的換元積分法與分部積分法；了解有理函數(shù)、簡單無理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的不定積分；掌握求典型初等函數(shù)不定積分的方法；掌握積分表的使用方法。2. 重點與難點重點 不定積分的概念，基本積分公式，換元積分法，分部積分法；難點 換元積分法。3. 學習方法不定積分與微分互為逆運算， “積分法”是在“微分法”的基 礎上建立起來的。 由初等函數(shù)的微分法可推出求不定積分的法則。 如 由復合函數(shù)的求

2、導法則可以得到換元積分公式， 由乘積的求導法則可 以得到分部積分公式。求不定積分的方法是， 設法將所求的積分化為基本積分表中已 有的積分形式，以便運用公式求不定積分，具體轉化時，可以利用積 分性質、換元積分法、分部積分法及代數(shù)三角恒等變形等方法。常用 的三角恒等式包括平方和（差）等于 1、倍角的正弦及余弦公式、和 差化積及積化和差公式。下面列出常用的求不定積分的方法。 直接積分法這種方法是將被積函數(shù)作代數(shù)、三角恒等變形，直接利用基本積 分公式或不定積分的線性運算性質進行求解。 第一類換元積分法（湊微分法）這類積分法主要解決被積函數(shù)為復合函數(shù)的積分。求不定積分g x dx，關鍵是將被積表達式g

3、x dx湊成復合函數(shù)的微分f ： X x dx 的形式，再由 ' X dx = dX 得 g x d f : x ' xd f u du，即將 積分g xdx轉化為f udu，若能求得f u的原函數(shù)，就得到了 gx的 不定積分，因此熟悉常見的湊微分形式非常重要。應注意，利用第一 類換元法求不定積分時，有時不必寫出換元積分變量，而將：x視為整體變量直接計算。常見的第一類換元積分類型如下：f axn b xn'dx =丄 faxn bdaxn b （ n 為自然數(shù)）；naf ex exdx = f ex dex ；1f In x dx 二 f In x d ln x ；xf

4、 sin x cosxdx 二 f sin x d sin x，用于求積分 sin m xcos2n' xdx（m, n是自然數(shù)）f cosx sin xdx 二- f cosx d cosx，用于求積分 .sin2mxcosnxdx（m, n是自然數(shù)）f tan x sec xdx 二 f tanx d tan x，用于求積分 tanm xsec2n xdx（m,n是自然數(shù)）f secx secxtan xdx 二 f secx d secx，用于求積分 tan2mJ xsec xdx（m,n是自然數(shù)） 1dx 二 f arcs in x d arcsin x ;f arcsin x

5、 21f arctanx CJi _xdx 二 f arcta n x d arcta n x ；J f （Jx dx = 2 J f G/x d 吋 x ； Vx 第二類換元積分法第二類換元積分主要處理帶根式的不定積分問題， 關鍵是作一個適當?shù)淖兞看鷵Qx =t將根號去掉，使被積函數(shù)為ftt ,整理化簡成g t，而函數(shù)g t的原函數(shù)容易求出，這里t的選擇與被積函數(shù)中根式的表達形式有關，代換時注意符號的討論，求出原函數(shù)后 則應注意回代積分變量，特別是作三角代換計算不定積分后， 應借助于輔助三角形進行變量還原，常見的第二類換元有下列類型:f x,、a2 - x2 dx f x, .a2 x2 dx

6、f x,、x2 -a2 dx（令 x = a si nt）；（令 x 二 ata nt）；（令 x = a sect）；f x, ax2 bx c dx，將被積函數(shù)配方，化成上述三種形式之一，再作變量代換;f f (x,對ax +b dx(令 Max + b =t)；f x, ； ax b, m ax b dx (令：ax b 二 t，p是m，n的最小公倍數(shù)）；.fn |ax +b.cx d當被積函數(shù)含有 丄時，常用變換X化簡被積表達式xt 分部積分法當被積函數(shù)可視為UX和v' x的乘積，即fxpuxv'x時，常用 分部積分公式IIJuv dx = nv - Ju vdx計算不

7、定積分。使用分部積分公式求不定積分，關鍵是正確選擇u及v',選擇u,v'應遵循如下原則：10由v'或dv容易求出v ；2° u'vdx要比.uv'dx容易積分（即u求導后形式更簡單）。選擇u,v的一般方法是，將被積函數(shù)看成兩函數(shù)之積，按反三角 函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)順序，排在前面的取 為u，后面的取為v'. 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分，可歸結為多項式和真分式的積分， 而真分式可 分解為部分分式之和，因此求有理函數(shù)不定積分的步驟是： 將被積函 數(shù)進行分解，使被積函數(shù)二多項式+部分分式（其中部分分式的分母為 一次或二次

8、不可約因式，分解部分分式所用的方法是待定系數(shù)法） ，然后分別求各部分的不定積分。理論上，任何有理函數(shù)都可以求出其 不定積分，但將真分式化成部分分式有時十分困難， 因此在解有理函 數(shù)的積分時，應全面分析被積函數(shù)的特點，尋求其他簡便方法。 三角有理式與簡單無理式的積分某些無理根式及三角有理式的不定積分，經(jīng)過變量代換?？苫捎欣砗瘮?shù)的不定積分，無理根式的常見換元類型見本目.對三角有理式Rsinx,cosx，經(jīng)萬能代換u二tan仝，有22u1 -u2, 2dusin x2， cosx 二2， dx虧，1+u21+u21+u2從而R sin x,cosxdx 二 R+ u 丿 1+u2 2dux是有理函

9、數(shù)的積分，原則上應用萬能代換可計算任意一個三角有理式 的積分，但計算往往繁雜，因此，僅當沒有更簡便方法時才用此方法 求解許多不定積分的計算需要綜合運用上述各種方法，一般從被積 表達式的形式可以決定先用哪種方法， 后用哪種方法。求不定積分往 往不止一種方法，用多種方法求解，可以培養(yǎng)靈活的思維能力，也可 以比較解法之聯(lián)系，從中選取最簡解法。應注意，對不定積分用不同 的方法求的結果，形式可能不完全相同，但它們的導數(shù)都等于被積函 數(shù)。注意，并非所有的連續(xù)函數(shù)都能求出其不定積分，原因是它們的原函數(shù)不是初等函數(shù)。如ex2 ,si nx2，沁，丄，-X3 ， 1-k2si n2xIn x0 . k 1 等。

10、2解題指導1基本積分法例1求下列不定積分:cos2x dx ；cosx sin x423x 3x 1,2 dx ；x +1 secx(secx - tan x)dx .（1 _丄）、x xdx ；x解題思路 此類積分形式比較簡單，只需經(jīng)過三角恒等變形或代數(shù)運算，就可利用基本公式求解。cos2x cos2 x-sin2xdxdx 二(cosx-sinx)dx =sinx cosx CIlJ 'cosx sin xcosx sin x423x4 3x21x21dx2=3 x dxx2dxx3arcta nx C1 ,尸34 -(1亍)、x xdx = x4dx - x 4dxx4 4x 4

11、 Cx7 secx(secx -tan x)dx 二 sec xdx - secxtan xdx 二 tanx -secx C 例2計算J x -2dx .解題思路 被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，求其不定積分，應先分別求函數(shù)在各段上相應區(qū)間內的不定積分，然后利用原函數(shù)的連續(xù)性，確定各任意常數(shù)間的關系,最后用一個任意常數(shù)表示其不定積分。解因為f (x) = x _22-x,"2,x 2,x -2.于是' 1 22xx +C2, x<2,F(x)=x2dx=仃 2-x2 -2x+C1, x>2.2由被積函數(shù)的連續(xù)性，有F(2 0) = F(2 一0) = F(2)，

12、即C?二C-一 4，所以1 22x x+G -4, x c 2, 妝-2dx = t 2-x 一2x + G,x A 2. 22. 第一類換元積分法例3求下列不定積分: tan3 xsecxdx ；x +(arctan x)3/2dx ；2 dx ；1 x2cos xdx ；cosx sin3 xcos4 xdx ；dx ；x(x34)1 In x *2dx.(xl nx)解題思路使用第一類換元法的關鍵是“湊”出函數(shù)的微分，方 法是利用一些常見函數(shù)的微分形式。但如果不易直接得到，則可應用拆項、加項、減項、同乘除因子、三角恒等變形等方法將被積函數(shù)變 形，化簡成簡單函數(shù)后再求不定積分；也可以從被積

13、函數(shù)中取出部分表達式，求其導數(shù)后尋找規(guī)律，再確定如何湊微分。解 注意到 tanxsecxdx = dsecx，且 tan2sec21，所以tan3 xsecxdx 二 tan2 xd secx 二(sec2 x - 1)d secx 二-sec3x - secx C3降幕法與化同名三角函數(shù)是求解形如sinm xcosn xdx形式不定積分的基本方法。一般地，若兩個函數(shù)都是偶次幕，則通過半角公式降幕；若至少有一個函數(shù)為奇次幕，則將奇次幕分為一次幕與偶次幕的乘積，化為同名三角函數(shù)求解。對本題，由于sin1-x(x34)x是奇次幕，且sin2x"-cos2x，故原積分可以化成f(cosx)

14、d(cosx)形式，所以sin3 x cos4 xdx - - (1 - cos'將被積函數(shù)分成兩部分,、41517 廠x) cos xd cos x c o s<cosx C.57第一項湊微分得xdx =d(x2 1)，第二2項湊微分得 七dx'ar如x，3,(arcta nx),dx2 dx1 +x251 2 2 -ln(1 x ) (arctan x)2 C .這是一個有理函數(shù)的積分，但將被積函數(shù)分解為部分分式很麻 煩，若將分子的1寫成-，再加一個因式，同時減去該因式，可與分4母的兩項聯(lián)系起來；若注意到分母次數(shù)高于分子次數(shù)，作倒代換t也可簡化被積表達式。x方法1.1

15、,1 ,4 + x3 -x3x(x3 4) x _ 二 x(4 x3)1 13) dx(匚 dx2"dx)=ln x -丄 In4124 + x3方法2令x，則t ft / dt、dx 二-(-尹)4 t t3-I n1 +12t2dt 1d(1 4t3)1 4t3 一 121 4t313I n1+4t +C12本題分母有兩項，對分子分母同乘一個因子，可將分母化成單項；也可以用倍角公式將分母化為單項。COSX方法1'1 -cosxcosx(1 cosx)dx =dx(1 -cosx)(1 cosx)cosx cos2 xcosx dxsin2x dxsi n2x2cos x

16、2 dx sin xd sin x(22(csc x -1)dxsin x1,小.xcot x - x C = - cot x C .sin x2方法2cosx dx 二1 - cosx2 x . 2 x cos sin22si n2?21x-dx (cot2 1)dx2'22 xxx=(csc 2)d cot x C .' 222因為(xln x) = 1 In x，即 d (xln x) = (1 ln x)dx，所以11 n xI2dx =(xl nx)2d(xln x)(xl nx)2C . xln x3. 第二類換元積分法例4求下列不定積分:x （"0）；,

17、a x x（3x）dx ；1 Tn x解題思路有些不定積分,不能通過湊微分利用基本公式求解，但可利用變量代換轉化積分形式后利用基本積分公式求解。常用的代換方法有:三角代換與雙曲代換。這類代換針對某些特殊的無理根式，如對題作代換X rased或x二acosht可消去根式。注意作三角代換后應利用輔助三角形進行變量還原。根式代換。對某些含有根式的被積函數(shù)，通過根式代換可將其 轉化為有理函數(shù)積分，方法是取同形根式中方幕的最小公倍數(shù)作為代 換形式。如對題作代換t=6x.指數(shù)代換。當被積函數(shù)中含有指數(shù)函數(shù) eax時，用代換u=eax可 轉化積分形式，但常常需要配合其他變換。倒代換x =1 .如果m,n分別

18、表示被積式中分子分母變量的最高t次數(shù)，則當m-n ：1時，用倒代換較簡。解方法1令x=sect，則1x2：x2；,.sect tantdxsec2ttantdt 一 costdt 一sint C-亠 Cx1X2 . X2 -1dx t2方法2由被積函數(shù)的特點作倒代換x+，則dtd（1 二 t：） 2。丄.2 ,1-t2x方法1該被積表達式帶有根號，作變量代換，先去掉根號。令、a x =t，則x=仔dtt21a x4at2a臣.a - x1 t dt =2a 皿 ！ = -2a td J 筍 2a'（嚴+盯 L t2+1t2+11a x 22a2 _x2C.a -x2at=2aarcta

19、nt C = 2a arctant2 +1方法2將被積函數(shù)分子有理化，再令x=asint，則a Xdx =aXa -x, ad +si nt),dxacostdtacost二 a 1 sin t dt 二 ata cost C = a arcsin - . a a-x2 C .為去掉被積函數(shù)中的根號，令t=6x，則t22rV Xd _x .x 3 x x= tH56t5dt =6 J dtI、t2+t= 6(Cdt -占 dt ： = 6 In t In t 1 CIn66x 16C.方法1被積式中含有指數(shù)函數(shù)ex，令t=ex，則dt1x =1 e2x仁 1 t2再令t = tan，于是dx

20、=仁1 t2sec2 4tan -sec -cscd鼻=In esc 卩- cot 円 + C=InC = ln 1 e2x -1 -X C方法2第二類換元積分法主要是去掉根式，為此令一1一1e2x號如22tdt 1-1)2t1dt dt't+1 丿1ln2口 Cln匸JCt 12, 1 e2x 1二 In、1e2x1 '-x C .方法3變量代換往往不惟一，令ex二tant，則1e2xsec2 tdtdxcsctdttan tsect=lncsct cott +C = In©1 +e2x 1 )x + C .注意到分母中x的次幕高于分子中x的次幕，令1 -1 nx1

21、 1 ntdX =2 2'(xInxQ/t+lnt) I t 丿1 Intdt2 dt'1 tl nt一 d1 tln亠-1 tl nt1 t Int對第二類換元積分法，除了常用代換外，有時根據(jù)被積函數(shù)特 dtt-1 ,j+t2 町dt點采用特殊代換，也可以簡化積分。對本題，令t = tanx，則dx = j=-1 ta nx1 t 1 t22AAA=-1n t +1 -一 In(t2 +1)+ - arctant +C2421 1 2 1 =-1n 1 tan x - 一 In sec x x C 44分部積分法例5求下列不定積分:已知f x的一個原函數(shù)是sin x，求 xf

22、 x dx ；xx xe2 dx ； ex 1 j x sin xdx ； cosl n xdx .解題思路分部積分法適用于被積函數(shù)為兩種不同類型函數(shù)乘 積形式的不定積分，使用的關鍵是恰當選取 J x與V x （或vxdx） 分部積分法常與換元積分法交替使用，或者數(shù)次使用才能算出結果。注意在反復使用分部積分法的過程中，每一次都應選取同一類函數(shù)作 為及V,否則就會產生循環(huán)，致使解不出結果。另外，在用分部積分法求不定積分時，若在計算過程中出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，常?？赏ㄟ^解方程求出結果。常見積分類型有eaxsin bxdx，eax cosbxdx，對題令In x=t，即為這種形式。解由條件可知,電(x)，s

23、in x-f x，注意到f x ddf x， X dx = df X，用分部積分法，有xf x dx = xdf x = xf x i f x dxsin xi'sin x (sin x、= xfx-fx C=xCI x2-x sin x - 3xcosx 3sin x C這是對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)乘積形式的不定積分，取ln 3xdx-In3 xd - - - -1n 3 xx x2 3 In2 xdxx132113121In x-3 In xdIn x-3 In x 621n xdxxx xxn3 x In2 x-6 In xdIn3 x In2 x In x C

24、 .xxxx這是幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的不定積分，取八=7，則呼1于是x xe1s 2 dx = -Jxd ex 1 2ex-1ex 1x dx ex 1+ex1e- 1dxd(e1)ex 1x這是幕函數(shù)與三角函數(shù)乘積形式的不定積分，取三角函數(shù)為v，幕函數(shù)為u，應用分部積分公式。注意到被積函數(shù)帶有根號，為去掉根號，令、x=t，則! /xsinxdx = 2 t2 sin tdt - -2 t2d cost=-2t2cost 4 tcostdt = -2t2 cost 4 td si nt2 2=-2t cost 亠 4t sin t 4 sin tdt - -2t cost 4t sin t

25、 4 cost C -2xcos、x 4xsin . x 4cos、x C .方法1這是幕函數(shù)與復合函數(shù)乘積形式的不定積分，取u =coslnx， v'=1 貝卩 dv=dx，于是1cosln xdx 二 xcosln x 亠 i xsin In x dxx1=xcosl n x xs in In x - xcosl nxdxx=xcosln x xsin In x -cosln xdx.解方程得cosl nxdxxcosl n x xsi n ln xC . 2方法2令t “nx,則cosln xdx 二 etcostd etd sin t = et sin t- dsin tdt=

26、et sin t 亠 ietd cost = et sin t et cost - et costdt.解方程得1et costdt( et si nt et cost) C ,2所以1cosln xdx xcosln x xsinlnxC .25. 特殊函數(shù)的積分例6求下列不定積分:dx(2 cosx)sin x“nxd(X 1)3d(x-£)1、2, 一 3、22 X*1 2(x*+(爭，dx'dx2、2 2 2 2 2) (x )()dx.3 (x 1)2 2(x1)4解題思路特殊函數(shù)的不定積分是指有理函數(shù)、三角有理式、簡單無理式的不定積分，求解的一般方法是通過萬能代換

27、或第二類換元先將三角有理式及無理根式轉化為有理函數(shù)，再利用有理函數(shù)求不定積分的方法求解。解因為3 1 x -23廠x 1 x 1 X -X 1于是1=In k +1l+ V3 arctan21 + C .、x2 - x 13因為x4 1 = (x2 2x 1)(x2 - 2x T)，將被積函數(shù)拆成部分分式，1 1 )，x2、2x 1 x2 - . 2x 1于是1 14 dx(. 2x412 X2 2x 1X21dx厶2-x 1dX)化尹日=2 (arctan(、. 2x 1) arctan( . 2x -1) C .本題不易用三角公式變形化簡，不得已利用萬能代換化為有理函數(shù)的積分。令tan討，

28、則"rctant，dx倉，故2dtdx1 t21 t2(2 cosx)sin x(t23)tdt _13t2 爭(t23)t dt=1 dt13 t32t1 t 1 t2I 2dt =丄1 nt(t2 + 3) +C3'+3313 x=一1 n tan + 3tan3由于33 (x 1)2(x-1)4 x-1 (x-1)(x 1)t3 16t2dtx二匸，dx八蘆，于是3,(x 1)2(x-1)4dx 一2 dtt C 一2(x_1 C.6. 綜合問題舉例例7求下列不定積分：Jdx ；(£el dx ；msinxcosx dx.(1 X2). ex_2sinx co

29、sx解題思路視被積函數(shù)特點交替使用換元法與分部積分法，也是 計算不定積分的基本方法，對某些復雜形式的不定積分，將原積分拆 項后，分項積分有時會使未積出部分抵消，從而求出不定積分，注意 用此方法求解時，不要丟掉積分常數(shù) C.解 為去掉被積函數(shù)中的根號，需設 x二tant，則dx = sec2tdt，于是t In x2、3/2(1 x )2.sec t=si ntl nta nt si nt dt =s intln ta nt sectdt tant=si nt In tant In sect + tant + Cx In x In(寸1 + x 1 (sin x cosx)dx +x)十 C .

30、 .1 x2因為一二= d（2、ex -2），所以xxe dx ex - 2ex-2，則 x-In (t2 2)2 xd ex. ex2dx些dtt22-2 =2x. ex - 2 - 2 飛xI - 2dx .-JXex _2e22 C，=2t - 4 arctan t CJ2<2=2 一 ex - 2 - 2.2 arcta nx xe-,exdx =2x(x24 e -2x2 4 2arctan注意到sinsin1 2xcosx(sin x cosx) -1,2x cosx 二- 2 sin(x ),421 (sin x cosx) - 1 ,dx2 sin x cosx1 dx2

31、 sin x cosxsinxcosx dx2sinxcosx 1dxsin x cosx 2sinx cosxI zH xd(x V寺”cosx) 一 2；4=(sin x _cosx)2 2、2xln tan( + )+C .2 8JI例 8 設 f (sin1 2x)二 cos2x tan2 x (0 ： x ： 1)，求 f(x).解題思路已知f ( (x)求f(x)，一般有兩種方法：先由已知表達式求f( (x)二出f (x),再計算f (x) = f (x)dx .先求不定積分.f ( (x)d ：(x)，再求函數(shù)f(x)的表達式。方法1因為2f (sin2 x)二 cos2x ta

32、n2 x = 1 - 2sin2 x sin ：，1 - sin x所以x1f(x)e2x庁二庁任，從而方法2因為.3sin x , dx cosxf (sin2 x) = f (sin2x)dsin2x = (cos2x tan2 x)d sin2x2 1=(cos2x tan x)sin 2xdxcos2xd cos2x 2-dos% -241 - cos2 x122dcosx cos 2x -2lncosx cos x C cosx43 2424ln(1 -sin x) -sin x C - -ln(1 -sin x) -sin x C1，4以 f (x) = -1n(1 -'X

33、) -'X? C1.7. 建立遞推公式例9建立下列不定積分的遞推公式（n為整數(shù)）： Ifxnbaxdx （ aH0,b>0,且b式1）； ln = Jtannxdx.解題思路 對含有參數(shù)n的不定積分，一般由分部積分公式可導 出一個遞推公式，但要使遞推公式完整，必須給出遞推的初值公式， 注意初值公式的個數(shù)由遞推的步數(shù)決定。解這是幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘形式的不定積分n. axx bn -J. axn axI n = xnbaxdx =n x b , x b n , dxI nJ，alnb al nbal nb alnbax初值IoC.axbb dx =aln b由二角恒等公式tan2x

34、=sec2x-1與導數(shù)公式seC xdx二d tan x有l(wèi)n = tann xdx = tann(sec x -1)dx=tan n_2xdta nxtan x -n -2 -初值 h = ftanxdx = -1n cosx +C ; l0 = Jdx = x+C.8. 錯解分析例10計算不定積分ebx.盧 -xc錯解嚴；：;0,當 x _ 0 時， x|dx= exd ex C ；當 x 0時，.e*dx= erx = -eiC，所以ex C,C,x乞0,x 0.分析 該解法忽略了原函數(shù)在所論區(qū)間內的連續(xù)性，事實上，由lim_（ex C） =1 C , lim <-e C1 C ,知原函數(shù)在（：，=）上不連續(xù)。廠 _XC正解e-eJ x>0,e ,x 蘭 0.當 x _ 0 時,e_x|dx= exdx 二 ex G ；當 x 0 時，e_x|dx= e 公dx=e 公 C2因為原函數(shù)連續(xù)，所以lim （ex C）=1 G= lim（_eC2） =C2,10 j0 十故C2 C