數(shù)列極限的幾種求法

1、數(shù)列極限的幾種求法 數(shù)學(xué)組 周 彬摘 要:數(shù)列極限理論是微積分的基礎(chǔ),它貫穿于微積分學(xué)的始終,是微積分學(xué)的重要研究方法。數(shù)列極限是極限理論的重要組成部分,而數(shù)列極限的求法可以通過定義法,兩邊夾方法,單調(diào)有界法,施篤茲公式法,等方法進(jìn)行求解.本文就著重介紹數(shù)列極限的一些求法。關(guān)鍵詞:數(shù)列,極限，收斂several kinds of laws of asking of several lines of limit shuxuezu zhou binabstract: several limit theory foundation of calculus, it run through on inf

2、initesimal calculus all the time, it is a infinitesimal calculus important research approach. several lines of limit are important components of the limit theory, and several lines of limit one asks the law to adopt the law of defining, insert the method on both sides , have circle laws dully , cons

3、truct the sincere formula law now , ,etc. this text recommends some of several lines of limit to ask the law emphatically.keyword: several, limit, disappear 以下介紹數(shù)列極限的求法:一、定義法:數(shù)列極限的定義如下:設(shè)是一個(gè)數(shù)列,若存在確定的數(shù)a,對(duì)>0 n>0使當(dāng)n>n時(shí),都有<則稱數(shù)列收斂于a，記為=a，否則稱數(shù)列不收斂（或稱數(shù)列發(fā)散）。故可從最原始的定義出發(fā)計(jì)算數(shù)列極限。例1、 用-n方法求 解：令 =t+1 則

4、 t>0n+1=>0 取 則當(dāng)時(shí)，有 =1二、單調(diào)有界法：首先我們介紹單調(diào)有界定理，其內(nèi)容如下：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。證明：不妨設(shè)為有上界的遞增數(shù)列。由確界原理，數(shù)列有上界，記為。以下證明a就是的極限。事實(shí)上，>0，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項(xiàng)，使得 又由的遞增性，當(dāng)時(shí)有 ，這就證得 。同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界。例2、證明數(shù)列收斂，并求其極限。證：，易見數(shù)列是遞增的?，F(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明有上界。顯然 。假設(shè),則有，從而對(duì)一切n 有,即有上界。由單調(diào)有界定理，數(shù)列有極限，記為a 。由于 ，對(duì)上式兩邊取極限得 ，即有 （a+1）（

5、a-2）=0，解得 a=-1或a=2由數(shù)列極限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 三、運(yùn)用兩邊夾法：迫斂法：（兩邊夾法）設(shè)收斂數(shù)列，都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)當(dāng)時(shí)有 （1） 則數(shù)列收斂且證： 由 分別存在正數(shù)與使得 當(dāng)時(shí)有 （2） 當(dāng)時(shí)有 （3）取 則當(dāng)時(shí)不等式（1），（2），（3）同時(shí)成立即有 從而有 即證所得結(jié)果。 例3、求解： （1）=1由（1）式及兩邊夾法則 =1 。四、先求和再求極限：例4、求極限解: 五、先用放縮法再求極限：例5、求極限 解：記 則又由兩邊夾法則 =六、用施篤茲公式：首先我們介紹并證明施篤茲公式：施篤茲公式（stolz）：設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增趨向于， （1）（可

6、以為無窮）則例6、設(shè) 求： 解：由施篤茲公式以上介紹了數(shù)列極限的一般求法，本文的目的不在于只列舉幾個(gè)例題，而在于尋求一些常見的數(shù)列極限的求法，可能方法不夠全面，在此只希望能起拋磚引玉的作用，以供大家探討。 參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上，下），高等教育出版社，20012 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上，下），高等教育出版社，19853 錢吉林等主編，數(shù)學(xué)分析題解精粹，崇文書局，20034 b.吉米多維奇，數(shù)學(xué)習(xí)題集,李榮凍譯，人民教育出版社，1978 警告：此類已序列化的對(duì)象將不再與以后的 swing 版本兼容。當(dāng)前的序列化支持適合在運(yùn)行相同 swing 版本的應(yīng)用程序之間短

7、期存儲(chǔ)或 rmi。從 1.4 版開始，已在 java.beans 包中加入對(duì)所有 javabeanstm 的長(zhǎng)期存儲(chǔ)支持。請(qǐng)參見 xmlencoder。引用類型和原始類型的行為完全不同，并且它們具有不同的語義。引用類型和原始類型具有不同的特征和用法，它們包括：大小和速度問題，這種類型以哪種類型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，當(dāng)引用類型和原始類型用作某個(gè)類的實(shí)例數(shù)據(jù)時(shí)所指定的缺省值。對(duì)象引用實(shí)例變量的缺省值為 null，而原始類型實(shí)例變量的缺省值與它們的類型有關(guān)。當(dāng)java程序違反了java的語義規(guī)則時(shí)，java虛擬機(jī)就會(huì)將發(fā)生的錯(cuò)誤表示為一個(gè)異常。違反語義規(guī)則包括2種情況。一種是java類庫(kù)內(nèi)置的語義檢查。例如數(shù)組下標(biāo)越界,會(huì)引發(fā)indexoutofboundsexceptio