山東大學(xué)工科研究生數(shù)學(xué)物理方法class13第81節(jié)(齊次方程的分離變量法)

1、1 分離變數(shù)法分離變數(shù)法是定解問(wèn)題的一種基本解法，適用于大量的是定解問(wèn)題的一種基本解法，適用于大量的征值征值問(wèn)題，本章限于本征函數(shù)是三角函數(shù)的情況。問(wèn)題，本章限于本征函數(shù)是三角函數(shù)的情況。個(gè)常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件，構(gòu)成個(gè)常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件，構(gòu)成本本各種各樣的定解問(wèn)題，其基本思想是把偏微分方程各種各樣的定解問(wèn)題，其基本思想是把偏微分方程分解分解成幾成幾2222220,( , ).xxyyxyauuxyauF x yExample :cosxrsinyr22222110,0,( ),(2 )( ).r auuurarrrrufff ( ) ( )uR r

2、 ( )( )0,(2 )( ) 2( )( )( )0r R rrR rR r(0)R 2n0,1,2,n ( )cossinnnnCnDn22( )( )( )0r R rrR rn R r00ln ,0,( ),1,2,nnnnncdrnR rc rd rn(0)R 0nd ( )nnnR rc r0,1,2,n 01( , )(cossin)2nnnnau rranbn( )r auf20201( )cosd ,1( )sind ,0,1,2,.nnnnafnabfnna 20coscos()cosdnnnanfna 112cos ()nnzn012cos ()nnzn i ()01

3、2Reennnz i()112Re1ez 21cos()izsin()1 2Re1 2 cos()zzz 222 cos()11 2 cos()zzz 22112 cos()zzz7上面給出的是內(nèi)問(wèn)題上面給出的是內(nèi)問(wèn)題,如果是外問(wèn)題如果是外問(wèn)題,怎么辦怎么辦?22222110,( ),(2 )( ).r auuurarrrrufff ( , )0,0,( , )( ),u rrau af Find the solution of00(),0,( )(),TfT 0( , )0,0,0( , )()( ,0)( , )0u rrau aTu ru r 1( , )( )sinnnu rb rn代

4、入方程代入方程1sin( )nnnb anf003042()sind11 nnnnTbTnaa n 0314( , )11 sinnnnnTu rrna n 22( )( )( )0nnnr brrbrn b r( )nnnnnb ra rb r(0)0nnba 10帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)可近似看成勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為可近似看成勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E0豎直豎直 表示為定解問(wèn)題，取圓柱的軸為表示為定解問(wèn)題，取圓柱的軸為z軸，如果把導(dǎo)線看成無(wú)限軸，如果把導(dǎo)線看成無(wú)限+帶電云帶電云AByx大地大地在在xy平面的剖面是個(gè)圓：平面的剖面是個(gè)圓：x2+y2=a2,a為半徑。為

5、半徑。柱外空間沒(méi)有電荷，電勢(shì)柱外空間沒(méi)有電荷，電勢(shì)u滿(mǎn)足二維拉普拉斯方程滿(mǎn)足二維拉普拉斯方程0yyxxuu（柱外空間）（柱外空間）長(zhǎng)，則靜電場(chǎng)的強(qiáng)度電勢(shì)與長(zhǎng)，則靜電場(chǎng)的強(qiáng)度電勢(shì)與z無(wú)關(guān)，我們只在無(wú)關(guān)，我們只在xy平面研究。平面研究。體圓柱如何改變靜電場(chǎng)。體圓柱如何改變靜電場(chǎng)?！盁o(wú)限遠(yuǎn)無(wú)限遠(yuǎn)”的靜電場(chǎng)保持勻強(qiáng)，現(xiàn)在來(lái)看導(dǎo)的靜電場(chǎng)保持勻強(qiáng)，現(xiàn)在來(lái)看導(dǎo)臨近的電場(chǎng)也就不再是勻強(qiáng)電場(chǎng)，離圓柱臨近的電場(chǎng)也就不再是勻強(qiáng)電場(chǎng)，離圓柱輸電線是導(dǎo)電圓柱體，柱面產(chǎn)生感應(yīng)電荷輸電線是導(dǎo)電圓柱體，柱面產(chǎn)生感應(yīng)電荷水平架設(shè)的輸電線處在靜電場(chǎng)中，如圖：水平架設(shè)的輸電線處在靜電場(chǎng)中，如圖：11對(duì)于導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電荷不再移動(dòng)，說(shuō)明

6、導(dǎo)體中各處的電勢(shì)相同，對(duì)于導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電荷不再移動(dòng)，說(shuō)明導(dǎo)體中各處的電勢(shì)相同，0|222ayxu分離變數(shù)法代入拉普拉斯方程可以分解為兩個(gè)常微分方程，但分離變數(shù)法代入拉普拉斯方程可以分解為兩個(gè)常微分方程，但邊界條件為：邊界條件為：0)()(22 xaYxX不能分解為不能分解為X（x）或）或Y（y）的邊界條件，無(wú)法進(jìn)行下去?。┑倪吔鐥l件，無(wú)法進(jìn)行下去！邊界是圓，提示我們采用平面邊界是圓，提示我們采用平面極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系。在極坐標(biāo)系中，方程可表示為：在極坐標(biāo)系中，方程可表示為：001122222 uuu其中其中為極徑，為極徑，為極角為極角 導(dǎo)體電勢(shì)為零表示為齊次的邊界：導(dǎo)體電勢(shì)為零表示為齊次的邊界：0

7、|au如下：如下：又電勢(shì)只是相對(duì)高低，可以把導(dǎo)體的電勢(shì)作為零點(diǎn)，邊界條件又電勢(shì)只是相對(duì)高低，可以把導(dǎo)體的電勢(shì)作為零點(diǎn)，邊界條件12在無(wú)限遠(yuǎn)處，電勢(shì)保持為在無(wú)限遠(yuǎn)處，電勢(shì)保持為E0，故在無(wú)限遠(yuǎn)處，故在無(wú)限遠(yuǎn)處，Ey0，ExE0即即0Exucos00ExEu隱含著非齊次邊界條件：隱含著非齊次邊界條件：cos|0Eu現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系中的定解問(wèn)題：現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系中的定解問(wèn)題：001122222uuu0|aucos|0Eu分離變數(shù)設(shè)：分離變數(shù)設(shè)：)()(),( Ru代入泛定方程可得代入泛定方程可得 11ddRddR左邊與左邊與無(wú)關(guān)，右邊與無(wú)關(guān)，右邊與無(wú)關(guān)，除非為一無(wú)關(guān)，除非為一常數(shù)常數(shù)！1

8、3把此常數(shù)記為：把此常數(shù)記為： 11ddRddR此時(shí)分解為兩個(gè)常微分方程：此時(shí)分解為兩個(gè)常微分方程： 002RRR對(duì)于第一個(gè)方程，隱含著附加條件，某點(diǎn)的極角可以相差對(duì)于第一個(gè)方程，隱含著附加條件，某點(diǎn)的極角可以相差),()2,(uu的整數(shù)倍，但電勢(shì)在某點(diǎn)是確定值，故：的整數(shù)倍，但電勢(shì)在某點(diǎn)是確定值，故：即：即：)()2(自然的周期條件自然的周期條件此條件與常微分方程構(gòu)成本征值問(wèn)題，可以求得常微方程解：此條件與常微分方程構(gòu)成本征值問(wèn)題，可以求得常微方程解：BeAeBABAsincos)()0()0()0(14從而可求得本征值和本征函數(shù)：從而可求得本征值和本征函數(shù)：)0( )0( sincos)(

9、.)2 , 1 , 0(2mAmmBmAmm把本征值代入常微分方程把本征值代入常微分方程02 RRR可得：可得：02222RmddRdRd歐拉型常微分方程歐拉型常微分方程作代換作代換ln, tet方程可化為：方程可化為：0222RmdtRdln1DCDtCDCDeCeRmmmtmt00mm由此我們可得到分離變數(shù)形式的解為：由此我們可得到分離變數(shù)形式的解為：15)sincos( )sincos(),(ln),(000mDmCmBmAuDCummmmmmm拉普拉斯方程是線性的，其一般解為所有本征解的疊加：拉普拉斯方程是線性的，其一般解為所有本征解的疊加：1100)sincos( )sincos(l

10、n),(mmmmmmmmmDmCmBmADCu為了確定上式中的系數(shù)，先代入為了確定上式中的系數(shù)，先代入齊次齊次邊界條件：邊界條件：0)sincos( )sincos(ln1100mmmmmmmmmDmCamBmAaaDC一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)為零，所有的系數(shù)為零，即：一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)為零，所有的系數(shù)為零，即：0|au16mmmmmmBaDAaCaDC2200ln000ln00mmmmmmmmDaBaCaAaaDC再來(lái)看非齊次邊界條件：再來(lái)看非齊次邊界條件：cos|0Eu對(duì)于非常大的對(duì)于非常大的一般解中的一般解中的mDC ln00，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于m可以略去，代入非齊次邊界條件可得：可以略去，代入非齊次邊

11、界條件可得：cos)sincos(01EmBmAmmmm這里如果出現(xiàn)這里如果出現(xiàn)) 1(mm則主要部分就不是則主要部分就不是1而是而是) 1(mm主部主部故可得：故可得：) 1( , 0, 0mBAmm由第一項(xiàng)由第一項(xiàng)1可得可得0,101BEA可得：可得：) 1(0),1(0,20211mDmCaEaACmm17最后我們可得柱外的靜電勢(shì)為：最后我們可得柱外的靜電勢(shì)為：coscosln),(2000aEEaDu對(duì)于此一般解，中間一項(xiàng)，即對(duì)于此一般解，中間一項(xiàng)，即cos0E是原來(lái)靜電場(chǎng)的電勢(shì)是原來(lái)靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，最后一項(xiàng)分布，最后一項(xiàng)cos20aE當(dāng)當(dāng)充分大時(shí)，可以忽略，代表充分大時(shí)，可以忽略，

12、代表在圓柱附近對(duì)勻強(qiáng)電場(chǎng)的修正，是柱面感應(yīng)電荷的影響。在圓柱附近對(duì)勻強(qiáng)電場(chǎng)的修正，是柱面感應(yīng)電荷的影響。aDln0對(duì)于對(duì)于系數(shù)是任意常數(shù)，表明有不確定的因素！系數(shù)是任意常數(shù)，表明有不確定的因素！在物理上，此不確定因素出在原來(lái)導(dǎo)體所帶電量上，這一項(xiàng)正在物理上，此不確定因素出在原來(lái)導(dǎo)體所帶電量上，這一項(xiàng)正是圓柱原來(lái)帶的電量。是圓柱原來(lái)帶的電量。設(shè)原來(lái)圓柱體不帶電，則設(shè)原來(lái)圓柱體不帶電，則D00，此時(shí)，此時(shí)coscos),(200aEEu18若只看若只看y軸下方，則如圖，可以看成平行軸下方，則如圖，可以看成平行+帶電云帶電云AByx大地大地此時(shí)，上下兩端，即此時(shí)，上下兩端，即A和和B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

13、點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：0, 02200, 02 coscosEaEEuEaa是原來(lái)電場(chǎng)的兩倍！且與半徑無(wú)關(guān)！是原來(lái)電場(chǎng)的兩倍！且與半徑無(wú)關(guān)！此處最容積擊穿！此處最容積擊穿！Y軸上的電勢(shì)軸上的電勢(shì)0|coscos|2/22002/aEEu與導(dǎo)體圓柱相同與導(dǎo)體圓柱相同A電容器的極板必須加工的非常平滑！電容器的極板必須加工的非常平滑！兩倍！對(duì)于高壓電容器來(lái)說(shuō)，很危險(xiǎn)！容易擊穿，故高壓兩倍！對(duì)于高壓電容器來(lái)說(shuō)，很危險(xiǎn)！容易擊穿，故高壓此突起的電場(chǎng)強(qiáng)度是其他勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度的此突起的電場(chǎng)強(qiáng)度是其他勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度的板電容器之間的靜電場(chǎng)，但上面帶有突起板電容器之間的靜電場(chǎng)，但上面帶有突起19長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的理想傳輸線，一端

14、的理想傳輸線，一端x0接交流電，電動(dòng)勢(shì)為接交流電，電動(dòng)勢(shì)為tvsin0另一端另一端xl是開(kāi)路，求解線上的穩(wěn)恒電振蕩。是開(kāi)路，求解線上的穩(wěn)恒電振蕩。理想傳輸線理想傳輸線是一種理想化的模型，實(shí)際上總有損耗，初始條件引起的自是一種理想化的模型，實(shí)際上總有損耗，初始條件引起的自由振蕩總是逐漸衰減，經(jīng)過(guò)許多個(gè)周期之后，自由振蕩消失，此時(shí)的電由振蕩總是逐漸衰減，經(jīng)過(guò)許多個(gè)周期之后，自由振蕩消失，此時(shí)的電振蕩完全是由交流電源引起的，電源提供的能量正好補(bǔ)償了消耗，使得振蕩完全是由交流電源引起的，電源提供的能量正好補(bǔ)償了消耗，使得振蕩可以維持而不衰減，這就是現(xiàn)實(shí)中的振蕩可以維持而不衰減，這就是現(xiàn)實(shí)中的穩(wěn)恒電振蕩

15、穩(wěn)恒電振蕩。初始條件所引起的自由振蕩已經(jīng)消失，故不用考慮初始初始條件所引起的自由振蕩已經(jīng)消失，故不用考慮初始條件，這里的定解問(wèn)題是沒(méi)有初始條件的。條件，這里的定解問(wèn)題是沒(méi)有初始條件的。0|)/1( , 00022lxtixxxttjevvLCavav最后取結(jié)果的最后取結(jié)果的虛部即可虛部即可20穩(wěn)恒振蕩完全由交流電源引起，故周期相同，則：穩(wěn)恒振蕩完全由交流電源引起，故周期相同，則：tiexXtxv)(),(代入泛定方程，可得代入泛定方程，可得X的常微分方程：的常微分方程：0)(2 XLCX方程的解為：方程的解為：xLCixLCiBeAexX)(故：故：)()(),(xLCtixLCtiBeAet

16、xv第二項(xiàng)是電源發(fā)出的波，第一項(xiàng)是反射波第二項(xiàng)是電源發(fā)出的波，第一項(xiàng)是反射波系數(shù)系數(shù)A和和B由邊界條件確定，邊界中有電流，故還需要由邊界條件確定，邊界中有電流，故還需要j的表達(dá)式的表達(dá)式由物理定律可得電流：由物理定律可得電流：（具體參看相關(guān)資料）（具體參看相關(guān)資料）)()(),(xLCtixLCtiBeLCAeLCtxj把把v和和j分別代入邊界條件可得：分別代入邊界條件可得：2100lLCilLCiBeAevBAlLCilLCievBevA202011則穩(wěn)恒振蕩由則穩(wěn)恒振蕩由)()(),(xLCtixLCtiBeAetxv)()(),(xLCtixLCtiBeLCAeLCtxj給出，系數(shù)給出，

17、系數(shù)A和和B由上面的關(guān)系給出。由上面的關(guān)系給出。22輸入端電壓同電流之比叫做輸入端電壓同電流之比叫做)(|:00lLCictgCLBABACLjvZxx輸入當(dāng)當(dāng)LCal22/414141頻率波速波長(zhǎng)0)2(ictgCLZ輸入此時(shí)對(duì)電源來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于一個(gè)此時(shí)對(duì)電源來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于一個(gè)元件！元件！23Method of Separation of Variables （分離變量法）（分離變量法） for One-Dimensional Mixed Problems 2,(0, ) (0,)(0, )0,( , )0,( ,0)0,( ,0)( ).ttxxxtua ulutu l tu xu xxSol

18、ution.( , )( ) ( )u x tX x T t2( )( )( )( )XxTtX xa T t 利用駐波的特點(diǎn)，得到某時(shí)刻的波形可以用一系列駐波的疊加來(lái)表示。代入方程：( )( )kkkuXx T t（1）1.分離變量法分離變量法240,XX(0)0,( )0XX l20Ta T（2）（3）Eq.(2) is a Sturm-Liouville problem .The general solution of Eq.(2) is ee,0,( ),0,cossin,0 xxABX xABxAxBx 00( )0X x (0)0,( )0XX l2500A0B cos0Bl( )0X l (0)0Xcos0l2(21)2kkl(21)( )sin2kkxXxl0,1,2,k (21)(21)(