七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽二合一講練教程(共15講,含答案)

1、數(shù)的整除（一）【知識(shí)精讀】如果整數(shù) A 除以整數(shù) B(B 0)所得的商 A/B 是整數(shù) ,那么叫做 A 被 B 整除 . 0 能被所有非零的整數(shù)整除 .一些數(shù)的整除特征除 數(shù)能被整除的數(shù)的特征2或 5末位數(shù)能被 2 或 5 整除4或 25末兩位數(shù)能被4 或 25整除8或 125末三位數(shù)能被8或 125整除3或 9各位上的數(shù)字和被 3 或 9 整除 ( 如 771， 54324)奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被11 整除11(如 143,1859,1287,908270 等 )7,11,13從右向左每三位為一段 ,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減,其差能被 7 或 11 或 13

2、 整除 .(如 1001， 22743，17567，21281等 )能被 7 整除的數(shù)的特征：抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)的2 倍其差能被7 整除。如 1001100 2 98（能被 7 整除）又如 7007700 14686，68 1256（能被 7 整除）能被 11 整除的數(shù)的特征：抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)其差能被11 整除如 1001100 199（能 11 整除）又如 102851028 51023102 399（能 11 整除）【分類(lèi)解析】例 1 已知兩個(gè)三位數(shù)328和 2x9 的和仍是三位數(shù)5y7 且能被 9 整除。求 x,y解： x,y 都是 0 到 9 的整數(shù)，5y7 能被 9 整除，

3、 y=6. 328 2x9 567， x=3例 2 己知五位數(shù)1234x 能被12 整除，求X 。解：五位數(shù)能被12 整除，必然同時(shí)能被3 和4 整除，當(dāng) 1 2 3 4 X 能被 3 整除時(shí)， x=2， 5，8當(dāng)末兩位 4X 能被 4 整除時(shí)， X 0， 4， 8 X 8例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)。解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234，但（ 1 2 4）（ 0 3） 4，不能被 11 整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為 30， 41， 52， 63，均可，五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1 分解質(zhì)因數(shù)：（寫(xiě)成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積

4、） 5931859 1287 327610101 102962若四位數(shù) 987a 能被 3 整除，那么 a=_3若五位數(shù) 12X 34 能被 11 整除，那么X _-4當(dāng)m=_ 時(shí)， 35m5 能被 25 整除5當(dāng)n=_時(shí)， 9610n 能被 7 整除6能被 11 整除的最小五位數(shù)是_,最大五位數(shù)是 _7能被 4 整除的最大四位數(shù)是_ ，能被 8 整除的最小四位數(shù)是 _8 8 個(gè)數(shù)： 125， 756， 1011， 2457， 7855， 8104， 9152， 70972 中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號(hào)） ：6_,8_,9_,11_9從 1 到 100 這 100 個(gè)自然數(shù)中，能同時(shí)被2

5、 和 3 整除的共 _個(gè)，能被 3 整除但不是 5 的倍數(shù)的共 _ 個(gè)。10由 1，2，3，4， 5 這五個(gè)自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3 整除的數(shù)共有幾個(gè)？為什么？11 己知五位數(shù) 1234A 能被 15 整除，試求 A 的值。12 求能被 9 整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13 在十進(jìn)制中，各位數(shù)碼是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整數(shù)是參考答案1.223×7×13×37 32×132×3 ×7×32×3 ×112.0，3，6，93.04.2，75.36.10010，

6、99907.9996， 99928.6： B8： F，G9： B， D11： G，H9. 16； 2710. 沒(méi)有一個(gè)， 1 2 3 4 5 15 是 3 的倍數(shù)，與數(shù)字的位置無(wú)關(guān)11. 仿例 2， a512. 10269（由最小五位數(shù) 10234 調(diào)換末兩位數(shù)）13.（2）倍數(shù) 約數(shù)【知識(shí)精讀】1、兩個(gè)整數(shù)A 和 B（ B 0），如果 B 能整除 A （記作 B A ），那么 A 叫做 B 的倍數(shù)，B 叫做 A 的約數(shù)。例如3 15，15 是 3 的倍數(shù)， 3 是 15 的約數(shù)。2、因?yàn)?0 除以非 0 的任何數(shù)都得0，所以 0 被非 0 整數(shù)整除。 0 是任何非 0 整數(shù)的倍數(shù)，非 0 整

7、數(shù)都是0 的約數(shù)。如0 是7 的倍數(shù)，7 是0 的約數(shù)。3、整數(shù)A（ A 0）的倍數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)， 并且以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，0，±A ，±2A ，都是A 的倍數(shù)，例如5 的倍數(shù)有±5，± 10，。4、整數(shù) A （A 0）的約數(shù)是有限個(gè)的，并且也是以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)的，其中必包括± 1 和± A 。例如 6 的約數(shù)是± 1，± 2，± 3，± 6。5、通常我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最犬的公約數(shù)。6、公約數(shù)只有1 的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（例如15 與 28 互質(zhì)

8、）。7、在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)除數(shù)×商數(shù)余數(shù)若用字母表示可記作：A BQR，當(dāng) A，B，Q，R 都是整數(shù)且 B0 時(shí)， A R 能被 B 整除例如 23 3× 7 2則 232能被 3 整除。【分類(lèi)解析】例 1 寫(xiě)出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計(jì)其個(gè)數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應(yīng)用：2， 22，23， 24，3， 32， 33， 34， 2× 3， 22× 3，22 ×32 。解：列表如下正個(gè)正個(gè)正個(gè)整 正約數(shù)數(shù)整 正約數(shù)數(shù)整正約數(shù)數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)計(jì)1， 21， 31， 2，422322× 33， 61，2，41， 3，321，2，3，6223

9、32322× 34， 6， 121， 2，1， 3，1，2，3，9234， 843332， 33422× 324， 6， 9，12， 18， 361，2，4，1， 3，32，248， 1653433， 345mn是質(zhì)數(shù) ,m， n 是正整數(shù) )其規(guī)律是：設(shè) A a b(a， b那么合數(shù) A 的正約數(shù)的個(gè)是（m+1） (n+1)例如求360 的正約數(shù)的個(gè)數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：360 23× 32× 5，360 的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（3 1）×（ 21）×（ 1 1） 24（個(gè)）例 2 用分解質(zhì)因數(shù)的方法求 24， 90 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解

10、： 24 23×3， 90 2× 32× 5最大公約數(shù)是2× 3， 記作（ 24， 90） 6最小公倍數(shù)是23× 32× 5360， 記作 24,90=360例 3 己知 32，44 除以正整數(shù) N 有相同的余數(shù)2，求 N解： 32 2， 44 2 都能被 N 整除， N 是 30， 42 的公約數(shù)（ 30， 42） 6，而 6 的正約數(shù)有 1，2， 3， 6經(jīng)檢驗(yàn) 1 和 2 不合題意， N 6， 3例 4 一個(gè)數(shù)被 10余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求適合條件的最小正整數(shù)分析： 依題意如果所求的數(shù)加上1，則能同時(shí)被1

11、0，9，8 整除 ,所以所求的數(shù)是10，9，8 的最小公倍數(shù)減去 1。解： 10,9,8=360,所以所求的數(shù)是359【實(shí)戰(zhàn)模擬】1、 12 的正約數(shù)有 _,16 的所有約數(shù)是 _2、分解質(zhì)因數(shù)300 _,300 的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是_3、用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20 和 250 的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4、一個(gè)三位數(shù)能被7， 9， 11 整除，這個(gè)三位數(shù)是_5、能同時(shí)被3， 5， 11 整除的最小四位數(shù)是_最大三位數(shù)是 _6、己知 14 和 23 各除以正整數(shù)A 有相同的余數(shù)2，則 A _7、寫(xiě)出能被2 整除，且有約數(shù)5，又是 3 的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。答_8、一個(gè)長(zhǎng)方形的房間長(zhǎng)1.35 丈，寬 1

12、.05 丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問(wèn)正方形最大邊長(zhǎng)可以是幾寸？若用整數(shù)寸作國(guó)邊長(zhǎng)，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9、 一條長(zhǎng)階梯，如果每步跨2 階，那么最后剩1 階，如果每步跨3 階，那么最后剩2階，如果每步跨4 階，那么最后剩3 階，如果每步跨5 階，那么最后剩4 階，如果每步跨 6 階，那么最后剩5 階，只有每步跨7 階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？答案：1. 1， 2， 3， 4， 6，12；± 1，± 2，± 3，± 6，± 9，± 182.22× 3× 52；183.2× 5；

13、22× 534.6935. 3， 5， 11 165， 1155； 9906. A 3即求 142 與 23 2 的公約數(shù)7. 30， 60，908. （ 135， 105） 15，正約數(shù)有 1， 3， 5， 159.119。 2， 3，4， 5， 6 60， 60× 2 1119（ 3）質(zhì)數(shù)合數(shù)【知識(shí)精讀】1、正整數(shù)的一種分類(lèi)：質(zhì)數(shù)的定義 ：如果一個(gè)大于 1 的正整數(shù)，只能被 1 和它本身整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素?cái)?shù)） 。合數(shù)的定義 ：一個(gè)正整數(shù)除了能被 1 和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。2、根椐質(zhì)數(shù)定義可知質(zhì)數(shù)只有 1 和本身

14、兩個(gè)正約數(shù)，質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個(gè)是2，如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個(gè)是2，3、任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。能寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)?！痉诸?lèi)解析】例 1 兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a (a 5)。求這兩個(gè)數(shù)解：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)必有一個(gè)是2所求的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2 和 a2。例 2 己知兩個(gè)整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m,求這兩個(gè)數(shù)解：質(zhì)數(shù)m 只含兩個(gè)正約數(shù)1 和 m,又（ 1）（ m） =m所求的兩個(gè)整數(shù)是1 和 m 或者 1 和 m.例 3 己知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c 它們的積等于30求適合條件的a,b,c 的值解：分解質(zhì)因數(shù)：30 2×3

15、×5a 2 a 2a 3a 3a 5a 5適合條件的值共有：b 3 b5b 2b 5b 2b 3c 5 c3c 5 c 2c 3 c 2應(yīng)注意上述六組值的書(shū)寫(xiě)排列順序，本題如果改為4 個(gè)質(zhì)數(shù) a,b,c,d 它們的積等于 210,即 abcd=2×3×5×7 那么適合條件的 a， b， c，d 值共有 24 組，試把它寫(xiě)出來(lái)。例 4 試寫(xiě)出 4 個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設(shè) N 是不大于5 的所有質(zhì)數(shù)的積，即N 2×3×5那么 N 2， N 3， N 4，N 5 就是適合條件的四個(gè)合數(shù)即 32， 33

16、， 34， 35 就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到 n 個(gè)。令 N 等于不大于 n+1 的所有質(zhì)數(shù)的積，那么 N 3， N 4， N（ n+1 ）就是所求的合數(shù)。N2，【實(shí)戰(zhàn)模擬】 ，1、小于 100 的質(zhì)數(shù)共 _個(gè)，它們是 _2、己知質(zhì)數(shù) P 與奇數(shù) Q 的和是 11，則 P， Q3、己知兩個(gè)素?cái)?shù)的差是41，那么它們分別是4、 如果兩個(gè)自然數(shù)的積等于19，那么這兩個(gè)數(shù)是如果兩個(gè)整數(shù)的積等于73，那么它們是如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于15，則它們是5、兩個(gè)質(zhì)數(shù) x 和 y，己知xy=91, 那么 x=_,y=_, 或 x=_,y=_.a6、三個(gè)質(zhì)數(shù) a、b、 c 它們的積等于 1990，那么bc1113

17、的最小質(zhì)數(shù)是7、能整除 3 58、己知兩個(gè)質(zhì)數(shù)A 和 B 適合等式 A B99，AB M。求 M 及AB的值。B A9、試寫(xiě)出6 個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。10、具備什么條件的最簡(jiǎn)正分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)？11、求適合下列三個(gè)條件的最小整數(shù)： 大于 1沒(méi)有小于10 的質(zhì)因數(shù)不是質(zhì)數(shù)12、某質(zhì)數(shù)加上6 或減去 6 都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個(gè)質(zhì)數(shù)均在30 到 50 之間，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是13、一個(gè)質(zhì)數(shù)加上10 或減去 14 都仍是質(zhì)數(shù)，這個(gè)質(zhì)數(shù)是。參考答案1.25 個(gè)2.2，93.2，434. 1， 19； 1，73 或 1， 7356.1900 2×5×199有 6 組7.28.

18、9.令 N 2×3×5×7 210，所求合數(shù)為N 2，N 3， 10. 分母只含 2 和 5 的質(zhì)因數(shù)11.11×1112.3713.3（ 4）零的特性【知識(shí)精讀】一、零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)。二、零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。1、零是表示具有相反意義的量的基準(zhǔn)數(shù)。例如：海拔0 米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高收支衡可記作結(jié)存0 元。2、零是判定正、負(fù)數(shù)的界限。若 a 0 則 a 是正數(shù)，反過(guò)來(lái)也成立，若a 是正數(shù)，則 a 0記作 a 0a 是正數(shù)讀作 a 0 等價(jià)于 a 是正數(shù)b<0b 是負(fù)數(shù)c 0c 是非負(fù)數(shù)（即

19、 c 不是負(fù)數(shù)，而是正數(shù)或0）d0d 是非正數(shù)(即 d 不是正數(shù)，而是負(fù)數(shù)或0)e0e 不是 0（即 e 不是 0，而是負(fù)數(shù)或正數(shù)）3、在一切非負(fù)數(shù)中有一個(gè)最小值是0。例如絕對(duì)值、平方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的最小值都是0。記作： |a| 0，當(dāng) a=0 時(shí)， a的值最小，是 0，a2 0， a2 有最小值 0（當(dāng) a=0 時(shí)）。4、在一切非正數(shù)中有一個(gè)最大值是0。例如 |X| 0，當(dāng)X 0 時(shí)，|X|值最大，是0，（ X 0 時(shí)都是負(fù)數(shù)） ，（ X 2）20，當(dāng)X2時(shí)，（X 2） 2 的值最大，是0。三、零具有獨(dú)特的運(yùn)算性質(zhì)1、乘方：零的正整數(shù)次冪都是零。2、除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；零

20、不能作除數(shù)。從而推出，0 沒(méi)有倒數(shù)，分?jǐn)?shù)的分母不能是0。3、乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即 a× 0 0，反過(guò)來(lái)如果ab=0,那么a、 b 中至少有一個(gè)是0。要使等式xy=0成立 ,必須且只需x=0或y=0。4、加法互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零。反過(guò)來(lái)也成立。即 a、 b 互為相反數(shù)a+b=05、減法兩個(gè)數(shù) a 和 b 的大小關(guān)系可以用它們的差的正負(fù)來(lái)判定，若 a-b=0,則 a=b;若 a-b0,則 a b;若 a-b 0,則 a b。反過(guò)來(lái)也成立，當(dāng)a=b 時(shí)， a-b=0；當(dāng) a>b 時(shí) ,a-b>0；當(dāng) a<b 時(shí) ,a-b<0.四、在近似數(shù)中，當(dāng)0 作為

21、有效數(shù)字時(shí)，它表示不同的精確度。例如近似數(shù) 1.6 米與 1.60 米不同，前者表示精確到0.1 米（即 1 分米） ,誤差不超過(guò)厘米；后者表示精確到0.01 米（即 1 厘米），誤差不超過(guò)5 毫米。可用不等式表示其值范圍如下：51.55近似數(shù)1.6<1.651.595近似數(shù)1.60<1605【分類(lèi)解析】例 1兩個(gè)數(shù)相除，什么情況下商是1？是1？答：兩個(gè)數(shù)相等且不是0 時(shí)，相除商是1；兩數(shù)互為相反數(shù)且不是0 時(shí)，相除商是1。例 2絕對(duì)值小于3 的數(shù)有幾個(gè)？它們的和是多少？為什么？答：絕對(duì)值小于3 的數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的和是0。因?yàn)榻^對(duì)值小于3 的數(shù)包括大于3并且小于3 的所有數(shù)，它

22、們都以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零。例 3要使下列等式成立X 、 Y應(yīng)取什么值？為什么？X（Y1） 0，X3（ Y 2）20答：根據(jù)任何數(shù)乘以0 都得0，可知當(dāng)X0 時(shí)， Y可取任何數(shù)；當(dāng) Y 1 時(shí)， X 取任何數(shù)等式X （Y 1） 0 都是能成立。互為相反數(shù)相加得零，而X 3 0，（Y2） 20，它們都必須是0，即 X30 且 Y20，故當(dāng) X 3 且 Y 2 時(shí)，等式 X（ Y 2）2 0 成立?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1、 有理數(shù) a 和 b 的大小如數(shù)軸所示:bOa比較下列左邊各數(shù)與0 的大?。ㄓ?、號(hào)連接）2a0, 3b0,10,20，ab a20, b30,a+b0,a b

23、0,ab0,( 2b)30,a0,a0bb2、 a 表示有理數(shù)，下列四個(gè)式子，正確個(gè)數(shù)是幾個(gè)？答：個(gè)。 a|>a,a2> a2,a> a,a+1>a3、 x 表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：句。（ x 2） 2 有最小值0， x+3|有最大值0， 2 x2 有最大值 2， 3 x 1有最小 3。4、絕對(duì)值小于5 的有理數(shù)有幾個(gè)？它們的積等于多少？為什么？5、要使下列等式成立，字母X 、Y應(yīng)取什么值？0 0， X （X 3） 0， X1（ Y3）2 0X6、下列說(shuō)法正確嗎？為什么？ a 的倒數(shù)是 1 a方程（ a 1）x 3 的解是 x3a1 n 表示一切自

24、然數(shù)， 2n1 表示所有的正奇數(shù)22如果 a>b, 那么 m a>m b (a 、 b 、 m 都是有理數(shù))x（ x1）x（ x1）（ x2）參考答案2.只一個(gè)3.44. 無(wú)數(shù)多個(gè)， 05. x 0，0 或 3 .X=0 且 y 5（注意或與且的區(qū)別）6. 都不正確， 0 沒(méi)有倒數(shù)7. x>1 或 x<0 -2<x<-1 或 x>0（ 5） an 的個(gè)位數(shù)【知識(shí)精讀】.1、整數(shù) a 的正整數(shù)次冪n它的個(gè)位數(shù)字與a 的末位數(shù)的 n 次冪的個(gè)位數(shù)字相同。 例如3a ,2002與 23 的個(gè)位數(shù)字都是8。2、 0， 1， 5， 6，的任何正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字

25、都是它們本身。例如7的個(gè)位數(shù)是5， 6205的個(gè)位數(shù)是 6。3、 2， 3，7 的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律見(jiàn)下表：指數(shù)12345678910底2248624862433971397139數(shù)77931793179其規(guī)律是：2 的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)是按2、 4、8、 6 四個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1與 21，24K2與24K334K4與4K是正整數(shù)）。3和 7也有類(lèi)2 ， 2與2，22 的個(gè)位數(shù)是相同的（似的性質(zhì)。4、 4， 8，9 的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用4 22，8 23， 932 轉(zhuǎn)化為以2、 3 為底的冪。5、綜上所述，整數(shù)a 的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)有如下的一般規(guī)律

26、：a4K m 與 am 的個(gè)位數(shù)相同(k,m 都是正整數(shù)。【分類(lèi)解析】例 12003 2003 的個(gè)位數(shù)是多少？解： 20032003 與 32003 的個(gè)位數(shù)是相同的， 2003 4× 500 3， 32003 與 33 的個(gè)位數(shù)是相同的，都是7， 2003 的個(gè)位數(shù)是 7。例 2 試說(shuō)明 632000 1472002 的和能被 10 整除的理由解： 2000 4× 500， 2002 4× 500 2 632000 與 34 的個(gè)位數(shù)相同都是1， 1472002 與 72 的個(gè)位數(shù)相同都是9， 632000 1472002 的和個(gè)位數(shù)是 0， 632000 1

27、472002 的和能被 10 整除。例 3K 取什么正整數(shù)值時(shí)，3k 2k 是 5 的倍數(shù)？例 4解：列表觀察個(gè)位數(shù)的規(guī)律K 12343 的個(gè)位數(shù)39712 的個(gè)位數(shù)24863k 2k 的個(gè)位數(shù)55從表中可知，當(dāng)K 1， 3 時(shí)， 3k 2k 的個(gè)位數(shù)是5，m4n+ma與 a的個(gè)位數(shù)相同（m,n 都是正整數(shù)， a 是整數(shù)）kk;當(dāng) K 為任何奇數(shù)時(shí)，3 2 是 5 的倍數(shù)?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 ，1、在括號(hào)里填寫(xiě)各冪的個(gè)位數(shù)（K 是正整數(shù)）220的個(gè)位數(shù)是（）45的個(gè)位數(shù)是（）330的個(gè)位數(shù)是（）87的個(gè)位數(shù)是（）74K+1 的個(gè)位數(shù)是（）31179的個(gè)位數(shù)是（）216× 314 的個(gè)位數(shù)是

28、（）32k-1 72k-1 的個(gè)位數(shù)是（）72k 32k的個(gè)位數(shù)是（）74k-1 64k-3 的個(gè)位數(shù)是（）7710× 3315× 2220× 5525 的個(gè)位數(shù)是（）2、目前知道的最大素?cái)?shù)是2216091 1，它的個(gè)位數(shù)是。3、說(shuō)明如下兩個(gè)數(shù)都能被10 整除的理由。5353 333319871989 199319914、正整數(shù) m 取什么值時(shí)，3m 1 是 10 的倍數(shù)？5、 設(shè) n 是正整數(shù)，試說(shuō)明2 n 7n+2 能被 5 整除的理由。6、 若 a4 的個(gè)位數(shù)是5，那么整數(shù)a 的個(gè)位數(shù)是若 a4 的個(gè)位數(shù)是 1，那么整數(shù) a 的個(gè)位數(shù)是若 a4 的個(gè)位數(shù)是

29、6，那么整數(shù) a 的個(gè)位數(shù)是若 a2k-1 的個(gè)位數(shù)是7，那么整數(shù)a 的個(gè)位數(shù)是2222的個(gè)位數(shù)是，7、 1 +2 +3 + +912+22+32+ +192 的個(gè)位數(shù)是，12+22+32+ +292 的個(gè)位數(shù)是。8、 a、 b、 c 是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，a2=14884,c 2=15376,那么 b2 是（）（ A ） 15116，（ B） 15129，（ C） 15144，（ D ）15321參考答案1.6， 4，9，2，7，4，4，0，0，7，0 要注意 3，7 為底的正奇數(shù)次冪的和為0，正偶數(shù)次冪的差為02.73.算出個(gè)位數(shù)的差為零4. 由 32 1 寫(xiě)出通解 m=2 4k (k 為非負(fù)

30、整數(shù) )5. 可用列表觀察其規(guī)律n=12342n=7n+2 =2n+7n+26.5；1，3 或 7，9；2，4， 6，8；3，7。7.5；0；58.B（ 6）數(shù)學(xué)符號(hào)【知識(shí)精讀】數(shù)學(xué)符號(hào)是表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特殊文字。每一個(gè)符號(hào)都有確定的意義，即當(dāng)我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學(xué)符號(hào)一般可分為：1、元素符號(hào)：通常用小寫(xiě)字母表示數(shù)，用大寫(xiě)字母表示點(diǎn)，用和表示園和三角形等。2、關(guān)系符號(hào)：如等號(hào)，不等號(hào)，相似，全等，平行，垂直等。3、運(yùn)算符號(hào)：如加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方、絕對(duì)值等。4、邏輯符號(hào)：略5、 約定符號(hào)和輔助符號(hào)：例如我們約定正整數(shù)a 和 b 中，如果 a 除以 b 的商的整數(shù)

31、部份記作 Z （ a ），而它的余數(shù)記作R（ a ）， 那么bbZ（ 10 ） 3，R（ 10 ） 1；又如設(shè)x 表示不大于x 的最大整數(shù)， 那么 5.2 5，5.2336，20，3 3。3正確使用符號(hào)的關(guān)健是明確它所表示的意義（即定義）對(duì)題設(shè)中臨時(shí)約定的符號(hào)，一定要扣緊定義， 由簡(jiǎn)到繁， 由淺入深， 由具體到抽象，逐步加深理解。在解題過(guò)程中為了簡(jiǎn)明表述，需要臨時(shí)引用輔助符號(hào)時(shí)，必須先作出明確的定義，所用符號(hào)不要與常規(guī)符號(hào)混淆。【分類(lèi)解析】例 1 設(shè) Z 表示不大于Z 的最大整數(shù)，n>為正整數(shù)n 除以 3 的余數(shù)計(jì)算： 4.07 2 3 13; 2004734 14.7。2解：原式 4（

32、 3） 1 0 0原式 14 1 2 0 22例 2求 19871988 的個(gè)位數(shù)說(shuō)明 1987 1989 19931991 能被 10 整除的理由解：設(shè) N（ x）表示整數(shù)x 的個(gè)位數(shù)， N（ 19871988） N （74 ×497） N（ 74） 1 N（ 19871989） N（ 19931991） N（ 74× 4971 ） N （34× 497 3） N（ 71） N （ 33） 7 7 0 19871989 19931991 能被 10 整除由于引入輔助符號(hào)，解答問(wèn)題顯得簡(jiǎn)要明瞭。例 3.定義一種符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則為： a b=2a+b試計(jì)算： 5 3（

33、 1 7） 4解： 5 3 2× 53 13（ 2× 1 7） 4 9 4 2× 9 4 22例 4 設(shè) a b=a(ab+7), 求等式 3x=2 (-8)中的 x解：由題設(shè)可知：等式 3 x=2 (-8) 就是 3（ 3x7） 22×（ 8） 7 9x+21= 18 x= 4 13【實(shí)戰(zhàn)模擬】1、設(shè)Q x > 表示有理數(shù)x 的整數(shù)部分，那么Q 2.15Q 12.3>=Q< 0.03Q152、設(shè)n表示不小于n 的最小整數(shù)，那么4.3 2.3 2 0.3 0.33、設(shè)m表示不大于m 的最大整數(shù)若m=2則 m = 若n= 3.5則 n =

34、若1Y0 則 Y若7 b<8則 b若x =4則x若nC<n 1 則 C4、正整數(shù)a 和b 中，設(shè)a 除以b 的商的整數(shù)部分記作Z （ a b ）余數(shù)記作R（ a b ）， ab 的個(gè)位數(shù)記作n（ ab） ,寫(xiě)出下列各數(shù)的結(jié)果：R（33 7） R（ 2 5）Z（33 7）Z（2 5） n(19891990)=5、設(shè) n！表示自然數(shù)由1 到 n 的連乘積例如 5！ 1× 2× 3× 4× 5 120計(jì)算： 120÷ 3!5!3! (5 3)!a1b1= a1b2 a2b16、設(shè) =b2a2計(jì)算：131120417、定義一種符號(hào)的運(yùn)算法則

35、為a2ba b=那么2ab 322 3（ 1 2） 3（ 3）（ 1 0）8、 a、 b 都是正整數(shù)，設(shè)a b 表示從 a 起 b 個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和。例如 23 2 3 4,5 45 6 7 8.己知 x5 2005，求 X9、設(shè) x表示不大于x 數(shù)的最大整數(shù)且 x x x .求10、設(shè) a表示不大于數(shù) a 的最大整數(shù) .例如2 1，2 2.那么 3x+1 2x- 1 的所有的根的和是2參考答案1.2， 2， 0， 02.5,-2,-2,13. 2 41 7 4<x<5 n4.7,4,1,85. 20,106. 2,-28.7. ， 3999.9.110.2（ 7）用字母表示數(shù)【知

36、識(shí)精讀】1、用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡(jiǎn)明而普遍地表達(dá)出來(lái)，從具體的數(shù)字計(jì)算到用抽象的字母概括運(yùn)算規(guī)律上，是一種飛躍。1， 用字母表示數(shù)時(shí)， 字母所取的值， 應(yīng)使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實(shí)際問(wèn)題有意義。例如寫(xiě)出數(shù)a 的倒數(shù)用字母表示一切偶數(shù)解：當(dāng)a 0 時(shí)，a 的倒數(shù)是1a設(shè) n 為整數(shù)，2n 可表示所有偶數(shù)。2、命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒(méi)有說(shuō)明的情況下，它表示所學(xué)過(guò)的數(shù)，并且能使題設(shè)有意義。例題化簡(jiǎn)： x 3（ x<3 ） | x+5|解： x<3, x3<0 ， x 3（ x 3） x 3當(dāng) x 5 時(shí)， x 5 x 5，當(dāng) x <

37、5 時(shí)， x 5 x5（本題 x 表示所有學(xué)過(guò)的數(shù)）例 己知十位上的數(shù)是 a,個(gè)位數(shù)是 b ,試寫(xiě)出這個(gè)兩位數(shù)解：這個(gè)兩位數(shù)是 10a+b(本題字母a、 b 的取值是默認(rèn)題設(shè)有意義,即 a 表示 1 到 9 的整數(shù)， b 表示 0 到 9的整數(shù) )3、 用字母等式表示運(yùn)算定律、性質(zhì)、法則、公式時(shí)，一般左邊作為題設(shè)，所用的字母是使左邊代數(shù)式有意義的，所以只對(duì)變形到右邊所增加的字母的取值加以說(shuō)明。例如用字母表示：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)除法法則解：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是bbmbbma(m 0)，aa(m 0)amma 作為左邊的分母不另說(shuō)明a0， bdbc (d 0) d 在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說(shuō)

38、明。acad4、用字母等式表示運(yùn)算定律、性質(zhì)、法則、公式，不僅可從左到右順用，還可從右到左逆用；公式可以變形，變形時(shí)字母取值范圍有變化時(shí)應(yīng)加說(shuō)明。例如：乘法分配律，順用 a(b+c)=ab+ac,1 (16 16248 )2224=1281717171717逆用 5a+5b=5(a+b),6.25× 3.145.25× 3.14=3.14(6.25 5.25)=3.14路程 S=速度 V×時(shí)間 T，V= S (T0)，T= S (V0)TV4、 用因果關(guān)系表示的性質(zhì)、法則，一般不能逆用。例如：加法的符號(hào)法則如果 a>0， b>0 ， 那么a+b>0，不可逆絕對(duì)值性質(zhì)如果 a>0,那么 |a|=a也不可逆 (若|a|=a 則 a 0)5、 有規(guī)律的計(jì)算，常可用字母表示其結(jié)果，或概括成公式?！痉诸?lèi)解析】例 1：正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個(gè)？不同的n 位數(shù)呢？解：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999 減去最小五位數(shù)10000 前的所有正整數(shù)，即99999-9999=90000.推廣到 n 位正整數(shù)，則要觀察其規(guī)律一位正整數(shù) ,從 1到9共9個(gè)，記作 9×1二位正整數(shù)從10到99共90個(gè)，