空間向量及幾何公式教學備用

1、空間向量及幾何公式118.共面向量定理 向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使推論 空間一點p位于平面mab內的存在有序實數(shù)對,使，或對空間任一定點o，有序實數(shù)對，使.119.對空間任一點和不共線的三點a、b、c，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有p、a、b、c四點共面；當時，若平面abc，則p、a、b、c四點共面；若平面abc，則p、a、b、c四點不共面四點共面與、共面（平面abc）.120.空間向量基本定理 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使pxaybzc推論 設o、a、b、c是不共面的四點，則對空間任一點p，都存在唯

2、一的三個有序實數(shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作a點在上的射影，作b點在上的射影，則a，e=a·e122.向量的直角坐標運算設a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (r)；(4)a·b；123.設a，b，則= .124空間的線線平行或垂直設，則；.125.夾角公式 設a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.126. 四面體的對棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若

3、的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內角，則.特別地,當時,有.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內角，則.特別地,當時,有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設ac是內的任一條直線，且bcac，垂足為c，又設ao與ab所成的角為，ab與ac所成的角為，ao與ac所成的角為則.133. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當且僅當時等號成立).134.空間兩點間的距離公式 若a，b，則 =.135.點到直線距離(點在直線上，直線的方向

4、向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).137.點到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點距離公式 .（）. (兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點e、f，,). 139.三個向量和的平方公式 140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱

5、長是,側面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則.143作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.144棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比145.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點數(shù)v、棱數(shù)e和面數(shù)f).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)f與棱數(shù)e的關系：；（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)v與棱數(shù)e的關系：.146.球的半徑是r，則其體積,其表面積147.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3