初二因式分解競賽例題精選及練習(xí)題

1、初二因式分解競賽例題精選及練習(xí)題一、提公因式法 .二、運用公式法.三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有 a，后兩項都含有 b，因此可以考慮將前兩項分為一組， 后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式 = (aman )(bmbn)=a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！= (m n)(a b)思考：此題還可以怎樣分組？此類型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。例 2、分解因

2、式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二項為一組；第三、四項為一組。解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組。解：原式 = (2ax10ay)(5bybx )原式 =( 2axbx)(10ay5by )=2a(x5 y)b(x5 y)=x(2ab)5 y(2ab)=( x5y)(2ab)=(2ab)( x5 y)練習(xí)：分解因式1、 a 2abacbc2、xyxy1（二）分組后能直接運用公式例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式 = ( x2y 2 )( ax

3、ay)=( xy)( xy)a( xy)=( xy)( xya)例 4、分解因式： a 22abb2c2解：原式 = (a22abb 2 )c 2=(ab) 2c2=(abc)( abc)注意這兩個例題的區(qū)別！練習(xí)：分解因式3、 x 2x9 y 23y4、 x2y 2z22 yz綜合練習(xí)：（1） x3x 2 yxy 2y3（2） ax 2bx 2bxaxab（3）x26xy9y21628 1（ ）a26ab12b9b24aaa4（5）42329（ ）2222aa a6 4a x 4a y b x b y（7）x22 xyxzyzy2（ ）a22ab22b2ab18（9） y( y2)(m1)(

4、 m1)（10） ( a c)(a c) b(b 2a)（11） a 2 (bc)b2 ( ac)c 2 (ab)2abc （）a3b3c33abc12四、十字相乘法 .（一）二次項系數(shù)為1 的二次三項式直接利用公式x2(p)pq(xp)()進行分解。q xx q特點：（ 1）二次項系數(shù)是1；（ 2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。例 5、分解因式： x 25x6分析：將 6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2×3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) ×(-6) ，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2× 3

5、 的分解適合，即 2+3=5。12解： x25x6 = x2( 2 3) x 2 313=( x2)( x3)1× 2+1×3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例 6、分解因式： x 27 x6解：原式 = x 2(1)(6) x(1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7練習(xí) 5、分解因式 (1)x 214x24(2) a 215a 36(3)x 24 x5練習(xí) 6、分解因式 (1)x 2x2(2)y 22y15(3)x210 x24（二）二次項系數(shù)不為1 的二次三項式 ax

6、2bx c條件：（ 1） aa1a2a1c1（2） c c1c2a2c2（3） b a1 c2a2c1b a1c2 a2 c1分解結(jié)果： ax 2bxc =( a1 x c1 )( a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1 -23-5（-6 ）+（-5 ）= -11解： 3x211x 10 =( x2)(3x5)練習(xí) 7、分解因式：（1）5x27x6（ ）27x223x（3）10x217x3（ ）211y1046 y（三）二次項系數(shù)為1 的齊次多項式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b2分析：將 b 看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a 的二次三項式，利用十字相乘法

7、進行分解。18b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab128b 2 = a2 8b(16b)a8b(16b)=(a 8b)(a16b)練習(xí) 8、分解因式 (1)x 23xy2 y 2 (2) m26mn8n 2 (3)a 2ab6b2（四）二次項系數(shù)不為1 的齊次多項式例 9、 2 x27 xy6 y 2例 10、 x 2 y 23xy21-2y把 xy 看作一個整體 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2y)( 2x3y)解：原式 =( xy1)( xy2)練習(xí) 9、分解因式：（1）15x27xy4 y2（

8、）2x26ax82a綜合練習(xí) 10、（1） 8x67 x31（2） 12x211xy 15y 2（3） (xy) 23(xy) 10（ ）(ab)24a4b34（5） x2 y 25x 2 y 6x 2（6） m 24mn 4n23m 6n 2（7）x24xy4y22 4y3 （ ）5(ab)223( a22)10(a b)2x8b（9） 4x24xy6x3y210（ ）12( xy)211( x2y2) 2(xy)2y10思考：分解因式： abcx2( a2 b2c2 ) xabc五、主元法 .例 11、分解因式： x23xy10y2x9y25-2解法一：以 x 為主元2-1解：原式 = x

9、 2x(3 y1)(10y 29 y2)(-5)+(-4)= -9=x 2x(3y1)(5 y2)( 2 y1)1-(5y-2)= x(5 y2) x(2 y1)1(2y-1)=( x 5y 2)( x2 y1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以 y 為主元1-1解：原式 = 10y2(3x9)(x2x2)12y=10y2(39)y(x2x2)-1+2=1x=10y2(39)y(x1)(x2)2(x-1)x= 2 y( x1) 5 y( x2)5-(x+2)=(2 yx1)(5 yx2)5(x-1)-2( x+2)=(3 x-9)練習(xí) 11、分解因式 (1)x 2y 24

10、x6 y5(2)x 2xy2 y2x7 y6(3)x2xy6y 2x13y6(4)a 2ab6b 25a35b36六、雙十字相乘法。定義：雙十字相乘法用于對Ax 2BxyCy2DxEyF 型多項式的分解因式。條件：（ 1） Aa1a2 ， Cc1c2 ， Ff1 f 2（2） a1c2 a2c1B ， c1 f 2c2 f 1E ， a1 f 2 a2 f1 D即：a1c1f 1a2c2f 2a1c2a2c1B ， c1 f 2c2 f1E ， a1 f 2a2 f1D則 Ax2BxyCy 2DxEyF(a1 xc1 yf1 )( a2 x c2 f 2 )例 12、分解因式（ 1）x23xy

11、10y2x9y2（2）x2xy6y2x136y解：（1） x23xy10 y2x9 y2應(yīng)用雙十字相乘法：x5y2x2 y12xy 5xy3xy ，5 y4y9 y ， x 2xx原式 = (x5 y2)(x2 y1)（ 2）x2xy6y2x13 6y應(yīng)用雙十字相乘法：x2y3x3 y23xy 2xyxy ， 4y9 y13y，2x3xx原式 = (x2 y 3)( x3y2)練習(xí) 12、分解因式（ 1） x 2xy2 y 2x7y 6（2） 6x 27xy3 y 2xz7 yz 2z2七、換元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x2(200521)x2005（ 2） (x 1)(x2)(

12、 x3)( x6) x2解：（1）設(shè) 2005=a ，則原式 =ax 2(a 21) xa=(ax1)( xa)=(2005x 1)( x 2005)（2）型如 abcde 的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式 = (x 27x6)( x25x6)x2設(shè) x25x6 A ，則 x27x 6 A 2x原式 =(A2x) A x 2 = A 22Axx 2=( A x) 2 = ( x26x 6) 2練習(xí) 13、分解因式（ 1） ( x 2xyy 2 ) 24xy(x 2y 2 )（2） (x232)(4 28x3) 90（）(a21)2(a25)24(a23)2xx3例 14、分

13、解因式（ 1） 2 x4x36 x2x2觀察：此多項式的特點是關(guān)于 x 的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少 1，并且系數(shù)成“軸對稱” 。這種多項式屬于“等距離多項式” 。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式 =x2( 2x2x611)= x22( x21( x16xx2x2 )11x設(shè) xt ，則 x2t 22xx2原式 = x 2 2（ t 22)t6= x 2 2t 2t10=x225t2= x22x25x12txx=·2··12= 2x25x 2 x22x 1x 2 xx5 x xx=(x1) 2 (2x1)( x2)（2） x44

14、x 3x 24x 1解：原式 =x2x24x141= x2x214 x11xx 2x2x設(shè) x1y ，則 x 21y 22xx2原式 = x 2y 24y3 = x2y1y3=x2 ( x11)( x13) = x 2x 1 x 23x 1xx練習(xí) 14、（1）647336276（）4322xxxx2xx 1 2( x x )2 x八、添項、拆項、配方法。例 15、分解因式（ 1） x 33x 24解法 1拆項。解法 2添項。原式 = x31 3x 23原式 = x33x24x 4 x 4= (x1)( x2x1)3(x1)( x1)=x( x23x4)(4x4)= (x1)( x 2x1 3

15、x3)=x( x 1)( x 4) 4( x 1)= (x1)( x24x4)=( x 1)( x 24x 4)=(x1)( x2) 2=(x1)( x2) 2（2） x9x 6x33解：原式 = ( x91)( x61)( x31)= (x31)( x 6x31) ( x31)( x31) ( x31)= (x31)( x6x31x 31 1)= (x1)( x2x1)(x 62x33)練習(xí) 15、分解因式（ 1）398（ ）4224xx2(x1)( x 1)( x1)（3） x47 x21（4） x4x22ax1a 2（5） x4y 4( xy)4（6） 2a 2b22a2 c22b2 c

16、 2a 4b 4c 4九、待定系數(shù)法。例16、分解因式 x 2xy 6y 2x13y6分析：原式的前 3項 x 2xy6y 2可 以 分 為 (x3y)( x 2 y)，則原多項式必定可分為( x3y m)( x2 yn)解：設(shè) x2xy6y 2x13y6=( x3ym)( x2 yn) (x 3ym)( x2 yn)= x 2xy 6 y 2(mn) x(3n2m) ymnx2xy6y2x136= x2xy6 y2(mn)x(3n2m) ymnymn113 ，解得 m2對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得3n 2mmn6n3原式 = (x3y 2)( x2 y3)例 17、（1）當(dāng) m 為何值時，多

17、項式 x2y 2mx5y 6 能分解因式，并分解此多項式。（2）如果 x3ax 2bx8 有兩個因式為 x1和 x2，求 ab 的值。（1）分析：前兩項可以分解為(xy)( xy) ，故此多項式分解的形式必為 ( x y a)( x y b)解：設(shè) x2y 2mx5 y6=( xya)( xy b)則 x2y 2mx5 y6 = x2y 2(a b) x (b a) y ababma2a2比較對應(yīng)的系數(shù)可得：ba5 ，解得： b3 或 b3ab6m1m1當(dāng) m1時，原多項式可以分解；當(dāng) m1時，原式 =( xy2)( xy3) ；當(dāng) m1時，原式 =( xy2)( x y3)（2）分析： x3 ax 2bx8 是一個三次式，所以它應(yīng)該