2020高中數(shù)學直線的傾斜角與斜率導學案北師大版必修2通用

1、第1課時直線的傾斜角與斜率1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,了解直線的傾斜角的范圍.2.理解直線的傾斜角和斜率之間的關系以及斜率公式,并能利用過兩點的直線斜率的計算公式求直線的傾斜角.意大利比薩斜塔修建于1173年,由著名建筑師那諾·皮薩諾主持修建.它是比薩城的標志.開始時,塔高設計為100 m左右,但動工五六年后,塔身從三層開始傾斜,直到1372年完工還在持續(xù)傾斜,經(jīng)過600年的風雨滄桑,塔身傾斜度達到了5.3°,偏離中心達4.4 m,岌岌可危,但經(jīng)過1972年當?shù)氐牡卣?塔體還是傾而不倒,巍然屹立,因此斜塔更加聞名遐邇.問題1:根據(jù)材料和圖片,我們建立如圖所示的平面直角

2、坐標系,比薩斜塔的傾斜角是84.7°. 問題2:(1)直線的傾斜角的定義當直線l與x軸相交時,我們?nèi)軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的最小正角叫作直線l的傾斜角.當直線和x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0°,因此,直線傾斜角的取值范圍是0°<180°. (2)斜率的定義傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率,常用k表示,即k=tan .當直線的傾斜角為90°時,其斜率k不存在. (3)斜率公式當直線l經(jīng)過兩點p1(x1,y1)、p2(x2,y2)時,l的斜率

3、k=. 問題3:當傾斜角=0°時,k=0,此時直線l與x軸平行或重合;當0°<<90°時,k>0,并且隨著的增大而增大; 當=90°時,k不存在,此時直線l與x軸垂直; 當90°<<180°時,k<0,并且隨著的增大而增大. 特別地,當=45°時,其斜率k=1. 總之,傾斜角與斜率k之間的關系可用下圖來表示:問題4:用表格的形式直觀表述直線的傾斜角與斜率k之間的關系:直線情況平行于x軸由左向右上升垂直于x軸由右向左上升的大小=0°

4、0°<<90°=90°90°<<180°k的范圍k=0 k>0不存在 k<0 k的增減性不增不減單調(diào)遞增 不存在單調(diào)遞增 1.若經(jīng)過p(-2,m)和q(m,4)的直線的斜率為1,則m等于().a.1b.4c.1或3d.1或42.若三點a(-2,3),b(3,-2),c(12,m)共線,則m等于().a.1 b.2 c.12d.2或123.已知直線斜率的絕對值等于1,則直線的傾斜角是. 4.設直線的斜率是k,且-1<k<3,求直線傾斜角的取

5、值范圍.求直線的斜率和傾斜角已知a(3,2)、b(-4,1)、c(0,-1),求直線ab、bc、ca的斜率,并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角,并求直線ca的傾斜角.直線的斜率的取值范圍已知直線l過點p(-1,2),且與以a(-2,-3),b(3,0)為端點的線段相交,求直線l的斜率的取值范圍.求直線傾斜角的取值范圍已知直線l的斜率k1,求傾斜角的取值范圍.(1)已知點a(-3,2)、c(0,-1),求直線ac的斜率.(2)已知直線ca的傾斜角為135°,c(0,-1),a(-3,n),求n的值.已知線段pq兩端點的坐標分別為(-1,1)、(2,2),若直線l經(jīng)過定點a(0,-1)且與

6、線段pq有交點,求直線l的斜率k的取值范圍.已知直線l經(jīng)過a(2,1),b(1,m2)(mr)兩點,求直線l的傾斜角的取值范圍.1.下列說法中,正確的是().a.直線的傾斜角為,則此直線的斜率為tan b.有傾斜角的直線都有斜率c.若直線的傾斜角為,則sin >0d.任一直線都有傾斜角,但它不一定有斜率2.如圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則成立的是().a.k1<k2<k3b.k3<k1<k2c.k1<k3<k2d.k3<k2<k13.已知直線l經(jīng)過兩點a(3,3),b(6,23),而直線l1的傾斜角是直線l的傾斜角

7、的2倍,則直線l1的斜率為. 4.若直線l沿x軸的負方向平移3個單位,再沿y軸正方向平移1個單位后,又回到原來的位置,求直線l的斜率.直線l過點a(1,2),且不過第四象限,那么直線l的斜率的取值范圍是().a.0,2b.0,1c.0,12d.(0,12)考題變式(我來改編):第二章解析幾何初步第1課時直線的傾斜角與斜率知識體系梳理問題1:84.7°問題2:(1)正向l向上方向最小正角0°0°<180°(2)正切值k=tan (3)y2-y1x2-x1(其中x1x2)問題3:增大不存在增大1問題4:k=0不存在k<0單調(diào)遞增單調(diào)遞增

8、基礎學習交流1.a由直線的斜率公式得m-4-2-m=1,所以m=1.2.ca、b、c三點共線,kab=kac,即3+2-2-3=m-312+2,解得m=12.3.45°或135°設直線的斜率為k,由|k|=1,得k=±1,當k=1時,直線的傾斜角為45°,當k=-1時,直線的傾斜角為135°.所以所求直線的傾斜角為45°或135°.4.解:當k0,3)時,0°,60°);當k(-1,0)時,(135°,180°).所以直線傾斜角的取值范圍為0°,60°)(135&#

9、176;,180°).重點難點探究探究一:【解析】 直線ab的斜率k1=17>0,所以它的傾斜角1是銳角;直線bc的斜率k2=-12<0,所以它的傾斜角2是鈍角;直線ca的斜率k3=1>0,所以它的傾斜角3是銳角,且為45°.【小結(jié)】運用斜率公式時要注意下面三點:(1)k的值與p1、p2的順序無關;(2)當x1=x2,即直線與x軸垂直時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角=90°(3)當 y1=y2時,直線與x軸平行或重合,斜率k=0,直線的傾斜角=0°.探究二:【解析】 如圖所示,直線pa的斜率kpa=2-(-3)-1-(-2)

10、=5,直線pb的斜率kpb=0-23-(-1)=-12.當直線l繞著點p由pa旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置pc時,它的斜率變化范圍是5,+);當直線l繞著點p由pc旋轉(zhuǎn)到pb的位置時,它的斜率的變化范圍是(-,-12.直線l的斜率的取值范圍是(-,-125,+).【小結(jié)】本題運用了數(shù)形結(jié)合思想.當直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時,需根據(jù)正切函數(shù)y=tan 的單調(diào)性求k的取值范圍,數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法.解題時,借助圖形及圖形性質(zhì)直觀判斷,明確解題思路,可以達到快捷解題的目的.探究三:【解析】tan 45°=1,k1時,45°. 又傾斜角須滿足0°&l

11、t;180°, 0°45°,即傾斜角的取值范圍是0°45°.問題直線l的斜率k1,除了k0外,k<0滿足嗎?結(jié)論本題做錯的根本原因是沒有搞清斜率k與傾斜角的對應關系,當k0時,對應0°<90°,當k<0時,對應90°<<180°,故解決本題要分k0和k<0兩類情況討論. 于是,正確解答如下:當0k1時,tan 45°=1,0°45°當k<0時,90°<<180°,tan <0成立.傾斜角的取值范圍

12、是0°,45°(90°,180°).【小結(jié)】 (1)斜率k=tan ,為直線傾斜角(90°),知其一的范圍可求另一個的范圍.(2)當=90°時,斜率k不存在;當=0°時,k=0;當0°<<90°時,k>0;當90°<<180°時,k<0.思維拓展應用應用一:(1)直線ac的斜率kac=-1-20-(-3)=-1.(2)因為直線ca的傾斜角為135°,所以直線ca的斜率kca=n+1-3=-1,所以n=2.應用二:如圖,由題知kap=-1-1

13、0+1=-2,kaq=-1-20-2=32,又由斜率與傾斜角之間的關系知k-2或k32.應用三:k=m2-11-2=1-m21,又k=tan ,0°<180°,所以l的傾斜角的取值范圍為0°,45°(90°,180°).基礎智能檢測1.d對于a和b,當=90°時,直線的斜率不存在,a和b錯;對于c,當直線平行于x軸時,=0°,而sin 0°=0,c錯;應選d.2.al3,l2的傾斜角3,2為銳角,且3>2.k3>k2>0,l1的傾斜角1為鈍角,k1<0.故k1<k2<k3.3.3直線l經(jīng)過點a(3,3),b(6,23),kl=23-36-3=33,直線l1的傾斜角為60°,直線l1的斜率為tan