求數(shù)列通項公式的十一種方法(2)

1、遞推數(shù)列的通項公式的十一種求法、累加法：an=ai + (a2 ai) +(anan1)。型如 an+i=an+f ( n)的遞推數(shù)列例1已知an+i = an + 2n+1, ai= 1,求數(shù)列an的通項公式an(anan 1 )(a n 1a n 2 )L(a3a2 )(a 2 a1 )2( n1)12( n 2)1 L(2 21) (2 1解：2(n1)(n 2) L21(n 1)1(n2 -1) n2(n 1)1(n1)( n1) 12 nai1) 1通項公式為an例2已知an+1=an+2x3n+1, a1=3,求數(shù)列an的通項公式解：已知得an+1-an=2x 3n+1an(ana

2、n1)(an1 an2)L(a3a2)(a2a1 )a1n 1n 221(2 31)(231) L (231)(2 31)3n 1n 2212(33 L 33)(n J 3. an 3n n 1o3(13n 1)(n 1) 31 33n 3 n 133 n 1例3已知an+1=3an+2x 3n+1, a1=3，求數(shù)列a n的通項公式。解:已知兩邊除以3n，得罷anz anan 1 /an 1an 2 )(an 2n(c n丿(n 2丿(n 233an 1an 133212121(33n)(33n J(33n 2)2(n1)(11113(3n3n3n13n2則an2 n 3n13n1322關(guān)鍵

3、是把an 1 3an 2 3n 1轉(zhuǎn)化為2313n1，則?1an213n3 3n 1an3n3)L (亜L(32a、213L(332) 31L評1鄴影3缶，求得數(shù)列務(wù)的通項公式例 4 已知 an= n (an+1an),n N*, a1=1 ,求數(shù)列an的通項公式。解：已知得an 1n 1ana2 a3 a1旦12 3n (a.0,n 2)anna a2an 11 2n-1當n=1時a1=1,滿足an= n，an=n.亞(an、累乘法：an印玉西a a?0,n 2)型如:a n=g (n) an-1的遞推數(shù)列例5已知an+i=2 (n+1) 5nxan, ai=3,求數(shù)列an的通項公式 解：已

4、知得 anM0, an+i/an= 2 (n+1) 5nn(n 1)二通項公式為an 3 2n 1 5" n!.關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an i 2(n 1)5n an轉(zhuǎn)化為屯2 2(n 1)5nan例6已知a11, an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1(n2)，求an的通項公式。解：因為ana1 2a2 3a3 L (n 1)an 1( n 2)所以ama1 2 a2 3a3 L (n 1)an 1 nana一得 an 1 anna.則 a. 1 (n 1)an(n 2)故 口 n 1(n 2)anan = an/a n 1X an 1/ an 2XX a3/ a2X a2=

5、nX( n 1)XX 4X 3X a2= n!/2 X a2n=2由可得a2= a1 = 1,代入得通項公式:13 4 5n!n 2關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 (n1)an(n 2)轉(zhuǎn)化為乩 n 1(nan2)。三、構(gòu)造新數(shù)列：將遞推公式an+1qand ( q,d為常數(shù)，q 0和1, d設(shè)為(an 1 x) q(an x)變成 aq(an q 1冷的方法叫構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列a n的通項公式。例 7 已知 an=2an-+1, n2, a1 =1,nan 2 1解：設(shè)(an x) 2(an1 x),求得 an 1 2(an1 1),an 1是首項為a1 1 2,公比為2的等比數(shù)列，即an 1 2

6、n四、常用公式an SnSn 1 ( n2)，等差通項 an=a1+ (n 1) d,等比通項 an=a1qn 1例8已知無窮數(shù)列解：Q an 1Sn 1an的前n項和為Sn，并且an Sn 1(n N*)，求an的通項公式。nG1T711Snanan 1 ,an 1an , 又 a1,an2 2 2例9已知數(shù)列an滿足an+1=2an+3X 2n, a1=2，求數(shù)列an的通項公式。 解：兩邊除以2n1，得驢爭2，則閃爭2,i)i，數(shù)列銅是以2 1為首項，以擻列an的通項公式為an(|n3為公差的等差數(shù)列，得 冷1 (n22n】)2n。2五、倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列an 1空(can d10, d

7、 0)取倒數(shù)變成an 1d 1 1 c an c例10已知數(shù)列an (nN )中，a11, a1話,求數(shù)列an的通項公式.解：已知取倒數(shù)：-1 12 -,Q -an 1anan 1an2(n 1), an12n 1-是以1 1為首項，公差為2的等差數(shù)列.丄1an31an注意:新數(shù)列的首項取倒數(shù)，公差或公比變化了 .六、待定系數(shù)法例11已知an+1=2an+3X5n, a=6，求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè) an+i+xX 5 =2 (an+xX 5)將 an+i=2an+3x 5n 代入得 2an+3x 5n+xX 5n+1=2an+2xX 5n得 3+5x=2x. x= 1代入得 an+1 5

8、n+1=2 (an5n)n 1由 a1-5=6- 5-0 及得 an 5n 0，則2數(shù)列an 5n是首項為a1 5=1、公比為2的等比數(shù)列，二an= 2n1+ 5n關(guān)鍵是把an+1=2a+3X5n轉(zhuǎn)化為an+1 5n+1 = 2 (a 5n)，數(shù)列a 5n是等比數(shù)列。例12已知數(shù)列a n滿足an+1= 3an+5X 2n+4, a1=1，求數(shù)列a n的通項公式。解：設(shè) an+1+xX 2 +y= 3 (an+xX 2+y)將 an+1 = 3an+5 X 2+4 代入得 3an+5 X 2+4+x X 2 +y = 3 (an+x X 2+y)整理得(5+2x) 2n+4+y= 3xX 2n+

9、3y令 5 2x 3x，則 x 5，代入式得 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)4 y 3yy 2由 ai 5 2121 12 130 及式，得務(wù) 5 2n 20，則可 15 2n -3 ,an 5 22故數(shù)列an 5 2n 2是以a1 5 21 2 1 12 13為首項，以3為公比的等比數(shù)列， 因此 an 5 2n 2 13 3n 1，貝卩 an 13 3n 1 5 2n 2。關(guān)鍵是化遞推關(guān)系式 an+1 = 3an+5X 2n+4 為 an+1+5X 2網(wǎng)+2= 3 (an+5X 2n+2) 可知數(shù)列 an+5X 2n+2是等比數(shù)列。例13已知數(shù)列 an滿足an+1= 2

10、an+3n2+4n+5, a1=1，求數(shù)列 an的通項公式。解軍：設(shè) an+1+x (n+1) 2+y (n+1) +z= 2 (an+xn2+yn+z)將an+1= 2an+3+4n+5代入式，得2an 3n2 4n 5 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z)，貝卩等式兩邊消去 2an，得(3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) 2xn2 2yn 2z,3 x 2xx 3解方程組2x y 4 2y，則y 10，代入式，得x y z 5 2zz 18an+1+3 (n+1)+10 (n+1) +18= 2 (an+3n+10n+18)由 a1 3 12 1

11、0 1 18 1 31 32 0 及式，得 an 3n2 10n 18 0 則歸 3(n 1)2 10(n 1) 18 2、 an 3n2 10n 18，數(shù)列an 3n2 10n 18以印3 12 10 1 18 1 31 32為首項，以2為公比的等比數(shù) 列，因此 an3n210n 18 322n 1，貝卩an2n43n210n 18。關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化 an+1= 2an+3n2+4n+5為 an+1+3 (n+1) 2+10 (n +1) +18= 2 (an+3n2+10n+18)數(shù)列an+3n2+10n+18是等比數(shù)列。1 1 n1.已知a1丄，需 an1 (n N*),求數(shù)列a.通項公式.2

12、 22.已知 a1 = 1, an = a1+2a2+3a3 +(n 1) an-1, n>2, n2,求數(shù)列 an的通項公式3. 已知ai = 1, an= 3n一1 + an-1, n2,求數(shù)列an的通項公式.4. 已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Ig (Sn+1)二n, n N*,試證數(shù)列an是等比數(shù)5.已知ai = 1， an+i=2an/ (an+2)，求數(shù)列an的通項公式.6.設(shè)正數(shù)組成的數(shù)列an的前n項和為Sn，對所有自然數(shù)n： an與1的等差中項等于Sn與1的等比中項,求數(shù)列an的通項公式.an a1 (a2aj (a3a2)1(an an 1)=2n 2 時，ana1 2

13、a23a3(n 1)an1 , ana12a2(n1)an 1 nan作差得：an 1an nan ,an1ana3a23,主 4,a3anan 1an =( 3 1)/2證明：由已知得:Sn 10n 1，2時anSn 19 10，a1S19滿足上式.an的通項公式an9 10an2時 -10為常數(shù)，所以an為等比數(shù)列. an 1an= 2/ (n+1) 6、由已知可求a1七、對數(shù)變換法例14已知數(shù)列an滿足an+1= 2x 3nxan5,1, a?3, a35 ,猜測an 2 n 1.(用數(shù)學歸納法證明).a1=7，求數(shù)列an的通項公式。解：顯然 an>0, an+1>0,取常用

14、對數(shù):lg an+1= 5lg an+ nlg3+lg2 設(shè) lg an+1+x (n+1) +y = 5 (lgan+xn+y)將代入：5lg an+ nlg3+lg2+ x (n+1) +y= 5 (lg an+x n+y)，消去 5lg an，得(lg3 x)n x ylg25xn 5y，則lg3 x 5xx y lg2 5yig34lg3 Ig2164代入得lgam型(n 1)也少5(lg an也n也厲)4 1644164由lga1宴1空W lg7也1也竺0及416441640 ,得 lg an里n里16lg24數(shù)列l(wèi)ganlg anlg3n4lg3n4里16lg316聖4乎是以lg

15、7lg3 lg3(lg7416n igam字(n 1)器晉則4迪5 ,聖為首項，以5為公比的等比數(shù)列,4lg anlg3 lg376"lg 2 n 1 )5n 14二 an5n 1755n3164n 15n1 1廠，n N*關(guān)鍵是取對數(shù)化an 12 3na5為可知數(shù)列l(wèi)g an八、迭代法lg3n4lg316竺是等比數(shù)列，再求出數(shù)列an的通項公式。4例15已知數(shù)列an滿足an3n2an ana；(；3( n 1)2 n1 an ,a11) 2n 2 3n 2n 15，求數(shù)列an的通項公式。1) n 2(n32(nan 2a翟33(n an 3L3n 1 2 3L La1n 32) 22

16、)( n2) (n 1)2(n 2) (n 1)3 (n 1) n 2(n 3) (n 2) (n 1)1)n 2(n 2)(n 1)n21 2LL (n 3) (n 2) (n 1 通項公式an53n(n 1)n 1 n! 2 2解2:a；"n (n 1)n! 22取對數(shù)得lg an 13(n 1) 2n lg an，即 lg a1lgan3(nn1)2 ,lgan 瓷lg an 1lg an 2n( n1 n! 21)2L 儀色必2 lg a1 lg53'lga2 lg a1九、由前幾項歸納猜出通項公式，再用數(shù)學歸納法證明其正確性，這種方法叫數(shù)學歸納法例16已知數(shù)列an中

17、，a1 1 , an 2am 1(n 2)，求數(shù)列a.的通項公式.解：Q 印 1， an 2an 1 1(n 2)，a2 2印 1 3， a3 2a2 1 7猜測an 2n 1 (n N*)，再用數(shù)學歸納法證明.(略)例17已知數(shù)列an滿足an 1 an2，a1 8，求數(shù)列a.的通項公式(2n 1) (2 n 3)9解：由 an i an8(2 及 ai -，得(2n 1) (2n 3)92 由此可猜測an(2n ° 2 1，往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。(2n 1)22(1) 當n=1時，ai (2 1 “ 21 8，所以等式成立。(2 1 1)292(2) 假設(shè)當n=k時等式成立

18、，即ak (2k 1) 21，則當n=k+1時，k(2 k 1)2由此可知，當n k 1時等式也成立。根據(jù)(1)，( 2)可知，等式對任何n N*都成立。關(guān)鍵是先求出數(shù)列的前幾項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學歸納法加以 證明。十、換元法 例18已知數(shù)列an滿足an1丄(1 4an -C40；), a1 1，求數(shù)列©的通項公式。16解：令 0 . 1 24an，則 an(bn 1)24故 an1 24(b：1 1)，代入 an 1 1(1 4an .1 24a.)得111(b： 1 1) 1 4 (b： 1) bn即 4b； 1 (bn 3)2241624因為 bn1 24an

19、 0，故 bn 11 24an1 0貝S 2bn 1bn3，即 bn1 bn，化為bn 13 (bn3)，2 2 2二bn 3是首項為b, 3 .1 24a1 3 .1 24 1 3 2，公比為的等比數(shù)列，因此 bn 3 2(1)n1 (1)n 2，則 bn (£)n2 3，即,1 24an (1)n 2 32 2 2 22 111an 2(1)n (1)n , n N*。3 423關(guān)鍵是將.門益換元為bn，遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化bm 1 bn 3形式，數(shù)列bn - 3為等比數(shù) 列。十、特征根法：二階遞推式 an = pan1 + qan2, n3方程X2 = pX+ q的兩根X1、X2分別是等比數(shù)列an-X1an1、an X2an1的公比 X