H-inf_H無窮控制

1、H設(shè)計的設(shè)計的m函數(shù)函數(shù)目目 錄錄 廣義對象的求取廣義對象的求取 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)H設(shè)計的設(shè)計的m函數(shù)函數(shù) 離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)H設(shè)計的設(shè)計的m函數(shù)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的H問題的框圖如圖所示，圖中G為系統(tǒng)的廣義對象，K為控制器。G(s)K(s)wzyu圖1求解圖中對象G的方法有兩種：1. m函數(shù)調(diào)用法2. 直接求取法一廣義對象的求取一廣義對象的求取圖2 加權(quán)靈敏度問題下面通過圖2所示的加權(quán)靈敏度問題的例子來看一下如何通過m函數(shù)調(diào)用來求取系統(tǒng)的廣義對象G。KyuPWwzyp1. m函數(shù)調(diào)用法函數(shù)調(diào)用法系統(tǒng)除去控制器K以外的部分就是廣義對象G，它是兩入兩出的，輸入信號是w和u，輸出信號是z和y?？捎脗鬟f函數(shù)表示為

2、11122122GGW WPGGGIPzwGyz 20( ),(20)(1)sP sss100( )1W ss設(shè)圖2中的對象P和靈敏度權(quán)函數(shù)W分別為將參數(shù)代入，可以得到廣義對象G為2100100(20)(1)(20)(1)(20)1(20)(1)sWWPsssGIPsssG送進(jìn)去以后，調(diào)用下面的三個m函數(shù)，就可以得到廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn)A,B,C,D=ssdata(sys)sys=minreal(ss(G)yuwzKPWyp圖2 加權(quán)靈敏度問題G通過下面的函數(shù)送進(jìn)去G=tf(0 100,1 1)，tf(-100 2000,1 22 41 20)；1，tf(-1 20,1 21 20)G=l

3、tisys(A,B,C,D)這個這個G就是我們求解問題時所用的就是我們求解問題時所用的G，它是這樣送進(jìn)去的。它是這樣送進(jìn)去的。用上面的函數(shù)調(diào)用法來求取G的狀態(tài)實現(xiàn)，是非常簡單的。但是從上面的結(jié)果可以看出，用這種方法得到的狀態(tài)變量純粹是數(shù)值上的運(yùn)算，脫離了物理概念。本例中得到的廣義對象G0.8813.44356.63164.42590.63683.792418.92965.69782.70292.64452.87472.25872.19055.55940.77545.65364.652711.2247000.50590.32770.243410ABGCD圖2 加權(quán)靈敏度問題KyuPWwzyp根據(jù)

4、結(jié)果只能知道這個廣義對象的輸入輸出之間的關(guān)系，這幾個狀態(tài)變量之間的關(guān)系與實際的物理系統(tǒng)之間的狀態(tài)沒有直接聯(lián)系，沒有物理意義。下面我們?nèi)杂蒙厦娴睦?，用直接建立狀態(tài)變量的方法來求取廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn)(A,B,C,D)。首先來求對象P的狀態(tài)空間實現(xiàn)。設(shè)被控對象P的狀態(tài)變量為x1和x2，根據(jù)P的傳遞函數(shù)可以得到如下的狀態(tài)方程：1122122040pppxxuxxxuyxppppppppppxA xB uyC xD u2. 直接求取法直接求取法20401( )1(20)(1)(20)(1)sP sssss20040111010ppppABCD設(shè)權(quán)函數(shù)W的狀態(tài)變量為x3，根據(jù)W的傳遞函數(shù)，可以得到

5、權(quán)函數(shù)W的狀態(tài)空間實現(xiàn)1 10010WWWWABCD100( )1W ss根據(jù)圖2中各信號的關(guān)系，進(jìn)一步可以得到廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn)為圖2 加權(quán)靈敏度問題KyuPWwzyp20000400011001001001 10000000010001001010ppWpWWWpABB CABABGCCDC前面講的這部分內(nèi)容是關(guān)于廣義對象G如何送進(jìn)去，這里我們講了兩種方法：1. m函數(shù)調(diào)用法；2. 直接求取法。接下來要講的是第二部分的內(nèi)容：連續(xù)系統(tǒng)H設(shè)計的m函數(shù)。1. 函數(shù)函數(shù) hinfsyn該函數(shù)用來計算系統(tǒng)的 H控制器k，函數(shù)的調(diào)用形式為： k,g,gfin = hinfsyn(G,nmeas,

6、ncon,gmin,gmax,tol) 該函數(shù)用的是“DGKF文獻(xiàn)”中的算法：(1) Doyle, J.C., K. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, State-space solutions to standard H2 and Hcontrol problems, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34, no. 8, pp. 831-847, August 1989.(2) Glover, K., and J.C. Doyle, State-space formulae for all

7、 stabilizing controllers that satisfy an H norm bound and relations to risk sensitivity, Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 167-172, 1988.二連續(xù)系統(tǒng)二連續(xù)系統(tǒng)H設(shè)計的設(shè)計的m函數(shù)函數(shù)該函數(shù)用來計算系統(tǒng)的 H控制器k，函數(shù)的調(diào)用形式為： k,g,gfin= hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol) 其中輸入變量中的G為如下定義的兩入兩出的廣義對象，也是我們第一部分內(nèi)容里所講的用G=ltisys(A,B,C,D)送進(jìn)去

8、的G。1. 函數(shù)函數(shù) hinfsyn12111122212220000401100101001 10000010001010ABBABGCDDCDCDDnconnmeasGwzyu G: 系統(tǒng)的廣義對象；nmeas: 連接到控制器的測量輸出的個數(shù)；ncon: 控制輸入的個數(shù)；gmin: 的下界；gmax: 的上界；tol: 的迭代精度；k: H最優(yōu)控制器；g: 閉環(huán)控制系統(tǒng)；gfin: 最終的值；k,g,gfin=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)k,g,gfin=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)算例：算例： PS/T混

9、合靈敏度問題混合靈敏度問題本例的H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化設(shè)計問題KPW1wuy+z1z2W2圖3PS/T問題220.01(1)(0.0051)( )(0.0021)ssWss21( )(0.001)P ss1( )0.001W ss圖3中參數(shù)如下：12minstabKWPSWT圖中除去K以外的部分就是廣義對象G按照我們第一部分內(nèi)容所講的方法把參數(shù)送進(jìn)去以后，得到系統(tǒng)廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn)矩陣如下：0.00100001000244.140600,010240000000.001000010.001A6610100128001100B1000 0078.027323.8228 0 0 ,

10、0000 1C0.000001 0.00000100012.5D由于調(diào)用函數(shù)hinfsyn時對象要滿足假設(shè)中秩的要求，設(shè)計中取Dp=10-6，以后第4章講DGKF法時還要提到。廣義對象G由下面的函數(shù)送進(jìn)去：G=ltisys(A,B,C,D)本例中函數(shù)的調(diào)用形式如下： hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol)k,g,gfin=hinfsyn(G,1,1,0.1,2,0.0001)函數(shù)調(diào)用中的迭代過程如下：函數(shù)調(diào)用中的迭代過程如下：gamma hamx_eig xinf_eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 2.000 6.8e+000

11、1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 1.050 6.7e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.575 6.6e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 121111222122ABBABGCDDCDCDD設(shè)計中權(quán)函數(shù)W1中的是可變的，要取盡可能的最大值，這里給出的是當(dāng)取1000時的迭代過程。1( )0.001W ss0.338 6.2e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.219 5.3e+000 -3.3e-003

12、# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.278 5.9e+000 -2.9e-002# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.308 6.1e+000 -4.4e-001# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.323 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.315 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.312 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.310

13、6.1e+000 -1.3e+000# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.311 6.1e+000 -1.6e+002# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.3e-016 1.0e-003 -1.9e-017

14、 0.0000 p Gamma value achieved: 0.3107 1逐漸增大，當(dāng)增大到100000時，這就是最終的設(shè)計結(jié)果。1.0067函數(shù)調(diào)用中的迭代過程如下：函數(shù)調(diào)用中的迭代過程如下：gamma hamx_eig xinf_eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 2.000 2.1e+001 4.6e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.050 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 0.575 1.4e+001 -9.1e-004# 1.0e-003 0.0e+000

15、0.0000 f 0.813 1.8e+001 -3.5e+000# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 0.931 1.9e+001 -1.4e+001# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 0.991 1.9e+001 -7.9e+001# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.020 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.005 1.9e+001 -1.1e+003# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.013 1.9e+001 4.7e-013 1.0e

16、-003 0.0e+000 0.0000 p 1.009 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.006 1.9e+001 -4.2e+003# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.007 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 -1.6e+004# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.007 1.9e+001 4.7

17、e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 -5.1e+004# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 fGamma value achieved: 1.0067設(shè)計所得的H控制器：2626144143605589.224(500)(500)(47.071049)( )(1.646*10 )(231.2)(0.001)(0.0021*10 )ssssK ssssss設(shè)計所得的閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖如圖4所示，圖4閉環(huán)系統(tǒng)奇異值Bode圖10-2100102104106108-35-30-25-20-15-10-505Singu

18、lar ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)2. 函數(shù)函數(shù) hinf函數(shù)的調(diào)用形式為：sscp,sscl = hinf(G, ssu) 該函數(shù)用的是下面文獻(xiàn)中的算法，對于D11不為0的情形，可以用該函數(shù)求解。M. G. Safonov, D. J. N. Limebeer and R. Y. Chiang, Simplifying the H Theory via Loop Shifting, Matrix Pencil and Descriptor Concepts, Int. J. Contr., vol. 50, no. 6, pp.

19、 2467-2488, 1989.函數(shù)的輸入變量G為如下定義的廣義對象：121111222122ABBGCDDCDD圖5G(s)K(s)u1y1y2u2U(s)F(s)函數(shù)的輸入變量中的ssu對應(yīng)的就是圖5中的U(s)，是個可調(diào)參數(shù)。一般都取默認(rèn)值0，此時所求得的H控制器是中心控制器。sscp,sscl = hinf(Gsscp,sscl = hinf(G, , ssu)ssu) 輸出變量中的sscp表示控制器F(s)，sscl表示閉環(huán)傳遞函數(shù) 。1 1( )y uTs算例：算例：S/KS/T問題問題圖中參數(shù)如下：圖6 33.16(1/300)( )(1/10)sW ss329000( )30

20、7001000P ssss212(1/30)( )0.01(1)sW ss_uKPW2wyz2z1W1W3z32( )0.0001Ws 本例的H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化問題123minstabKWSW KSWT調(diào)用函數(shù)hinf時，其輸入變量G有自己的調(diào)用形式，要用如下的幾個函數(shù)調(diào)用來送進(jìn)去：W1= /900 /15 ;0.01 0.02 0.01;W2=0.0001;W3=0.1 1;3.16/300 3.16;P=ss(ap,bp,cp,dp);G=augtf(P,W1,W2,W3);其中ap,bp,cp,dp為對象P的狀態(tài)空間實現(xiàn)21222(1/30)( )0.01(1)/900/1

21、50.010.020.01sW sssssssscp,sscl = hinf(Gsscp,sscl = hinf(G, , ssu)ssu) 329000( )307001000P ssss3010.93750.4883 26400003200002.19730ap bpcp dp_uKPW2wyz2z1W1W3z3圖6 本例中函數(shù)hinf的調(diào)用形式為：22259551212.8629(300)(10.53)(1.523)(28.48656.6)( )(1237)(702.1)(1) (0.01)(10369.91*10 )sssssF sssssss圖7 閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖1310-

22、2100102104-10-8-6-4-20Singular ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)sscp,sscl = hinf(G)當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)的H范數(shù)為0.8916。當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)的H范數(shù)為0.9998，設(shè)計所得的H控制器為： hinf(G,ssU)該函數(shù)用的是下列文獻(xiàn)中的算法：(1) Doyle, J.C., K. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, State-space solutions to standard H2 and Hcontrol problems, IEEE Tran

23、sactions on Automatic Control, vol. 34, no. 8, pp. 831-847, August 1989.(2) P. Gahinet, A. Nemirovskii, A. J. Laub, M. Chilali. The LMI Control Toolbox. Proc. of the IEEE Conf. on Dec. and Control. 1994: 2038-2041 3. 函數(shù)函數(shù) hinfric函數(shù)的調(diào)用形式為：其中輸入變量中的G為如下定義的廣義對象：121111222122ABBGCDDCDD輸入變量中的r是2維列向量， r(1)

24、表示量測輸出的個數(shù)， r(2)表示控制輸入的個數(shù)。輸出變量gopt表示最優(yōu)的H性能，輸出變量k表示H中心控制器。gopt,k = hinfric(G,r) 該函數(shù)用的是基于該函數(shù)用的是基于Riccati方程的算法，是解析法。方程的算法，是解析法。其最優(yōu)控制器是在任意階其最優(yōu)控制器是在任意階控制器中尋優(yōu)的，所以優(yōu)控制器中尋優(yōu)的，所以優(yōu)化效果比較好。函數(shù)對對化效果比較好。函數(shù)對對象的秩的要求比較低。象的秩的要求比較低。 算例：算例：S/KS/T問題問題圖中參數(shù)如下：圖8350( )5000sW ss222100( )0.02100P sss11( )0.001W ss2( )0.01W s +uK

25、PW2wyz2z1W1W3z3本例的H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化問題123minstabKWSW KSWT函數(shù)調(diào)用時的廣義對象G由下面的函數(shù)送進(jìn)去：22479644.7322(5000)(0.0210000)( )(967.6)(0.01)(1.118*105*10 )sssK sssss hinfric(G,r)G=ltisys(A,B,C,D)gopt,k = hinfric(G,1;1)H優(yōu)化設(shè)計所得的閉環(huán)系統(tǒng)的最終值為0.1011，所得的H中心控制器為：本例中函數(shù)的調(diào)用形式如下：10-2100102104106-90-80-70-60-50-40-30-20-10Singular

26、ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)圖9 加權(quán)閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖該函數(shù)用的是下面文獻(xiàn)中的算法，是基于LMI的算法，對對象的秩的要求也比較低。(1) P. Gahinet, P. Apkarian. A Linear Matrix Inequality Approach to H Control. Int. J. of Robust and Nonlinear control. 1994, 4: 421-448 函數(shù)的調(diào)用形式為：其中輸入變量中的G為如下定義的廣義對象：121111222122ABBGCDDCDD輸入變量中的r是2維列

27、向量， r(1) 表示量測輸出的個數(shù)， r(2)表示控制輸入的個數(shù)。輸出變量gopt表示最優(yōu)的H性能，輸出變量k表示H中心控制器。gopt,k = hinflmi(G,r) 4. 函數(shù)函數(shù) hinflmi算例：算例：S/KS/T問題問題圖10+uKPW2wyz2z1W1W3z3圖中參數(shù)如下：350( )5000sW ss2100( )0.02100P sss11( )0.001W ss2( )0.01W s 本例的H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化問題123minstabKWSW KSWT函數(shù)調(diào)用時的廣義對象G由下面的函數(shù)送進(jìn)去：21122558.7657(5016)(0.02100)( )(1

28、81000)(5014)(108.5)(0.00985)sssK sssss hinflmi(G,r)G=ltisys(A,B,C,D)gopt,k = hinflmi(G,1;1)H優(yōu)化設(shè)計所得的閉環(huán)系統(tǒng)的最終值為0.1064，所得的H中心控制器為：本例中函數(shù)的調(diào)用形式如下：圖11 加權(quán)閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖10-2100102104106-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15Singular ValuesFrequency (rad/sec)Singular Values (dB)5. 函數(shù)函數(shù) hinfnorm該函數(shù)用來計算系統(tǒng)的H范數(shù) ，函數(shù)的調(diào)用形式為： o

29、ut = hinfnorm(sys,tol,iiloc)sys: 為系統(tǒng)矩陣，當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)T時，調(diào)用如下的函數(shù)可得到sys A,B,C,D=ssdata(T) sys=ltisys(A,B,C,D) out = hinfnorm(sys,tol,iiloc)tol: 為H范數(shù)的上下界之間的相對精度。iiloc: 為假定的范數(shù)值所對應(yīng)的初始頻率點。out是一個 的行向量。分別表示的下界，上界以及下界所對應(yīng)的頻率。1 3算例：算例：200.20.2A首先調(diào)用函數(shù)ltisys將系統(tǒng)矩陣sys送進(jìn)去, sys=ltisys(A,B,C,D) 如下調(diào)用函數(shù)hinfnorm hinfnorm(sys,tol,iiloc) out=hinfnorm(sys,0.000001,0)求得的out=1 1 0。40.2B01C 0D