本-環(huán)境流體力學(xué)-No4(1)

1、流體動(dòng)力學(xué)續(xù)4.1 矢量知識(shí)回顧cossinA+B = CA-B = DA B = A BAB =A BeG直角坐標(biāo)系下的矢量xyzr = ijkxyzAAAA =ijk直角坐標(biāo)系中給定矢量直角坐標(biāo)系中給定矢量 ，則可以表示為，則可以表示為A標(biāo)量積、矢量積 直角坐標(biāo)系中任意兩矢量直角坐標(biāo)系中任意兩矢量 則有則有xyzBBBB =ijkxxyyzzA BA BA BA B =()()()xyzxyzyzzyzxxzxyyxAAABBBA BA BA BA BA BA BijkAB =ijkxyzAAAA =ijk梯度 標(biāo)量標(biāo)量p p沿沿s s方向的變化率方向的變化率, ,即方向?qū)?shù)為即方向?qū)?shù)為

2、標(biāo)量場(chǎng)梯度為標(biāo)量場(chǎng)梯度為1( , , )pp x y z=dppds nppppxyz ijk散度、旋度 矢量矢量 則矢量的散度：則矢量的散度： 矢量的旋度：矢量的旋度：( ,)xyzx y zVVVV = VijkyxzVVVxyzV()()()xyzxyzyyxxzzAAABBBVVVVVVyzzxxyijkVijk散度與流函數(shù) 散度：各速度分量在其分量方向上的方向?qū)?shù)之和散度：各速度分量在其分量方向上的方向?qū)?shù)之和 標(biāo)定流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相對(duì)體積變標(biāo)定流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相對(duì)體積變化率化率yxzvvvVxyz111rrrvvvvDrvrrrrrrr散度與流函數(shù) 流函數(shù)流函數(shù)： =

3、常數(shù)表示流線(xiàn)常數(shù)表示流線(xiàn)流函數(shù)存在的充要條件：滿(mǎn)足連續(xù)方程（不一定無(wú)旋）流函數(shù)存在的充要條件：滿(mǎn)足連續(xù)方程（不一定無(wú)旋）0yxvvxyyxvvxy xydv dyv dxxvyyvx 例 已知二維定常不可壓流動(dòng)的速度分布已知二維定常不可壓流動(dòng)的速度分布 ，a為常數(shù)。求勢(shì)函數(shù)為常數(shù)。求勢(shì)函數(shù)。yvxvyx)(21)(211212xfayyfax212121)(21)(axxfayyf)(2122yxaxyvax vay；n旋度旋度為旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍：為旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍：n無(wú)旋運(yùn)動(dòng)無(wú)旋運(yùn)動(dòng)n有旋運(yùn)動(dòng)有旋運(yùn)動(dòng)n無(wú)旋時(shí)：無(wú)旋時(shí)：為速度勢(shì)或速度勢(shì)函數(shù)（位函數(shù)）為速度勢(shì)或速度勢(shì)函數(shù)（位函數(shù)）2()()()

4、yyxxzzvvvvvvvyzzxxy ijk00,yyxxzzvvvvvvyzzxxyxyzdv dxv dyv dzdxdydzxyz( , , )x y z旋度與速度勢(shì)線(xiàn)積分 曲線(xiàn)曲線(xiàn)C C的兩個(gè)端點(diǎn)分別為的兩個(gè)端點(diǎn)分別為a,ba,b，矢量矢量 沿曲線(xiàn)沿曲線(xiàn)C C的積分為的積分為其中其中 如果曲線(xiàn)如果曲線(xiàn)C C為封閉曲線(xiàn)，則線(xiàn)積分為為封閉曲線(xiàn)，則線(xiàn)積分為( ,)x y zA = AbaA dsdsdsnCA ds曲面積分 曲面曲面S S積分方式有三種積分方式有三種 如果曲面如果曲面S S為封閉式的，曲面積分可表示為為封閉式的，曲面積分可表示為=ssspdSA dSAdS矢 量標(biāo) 量矢 量

5、,ssspdSA dSAdS,A體積分 在體積為在體積為 中分別對(duì)中分別對(duì) 進(jìn)行體積分進(jìn)行體積分=dAd標(biāo) 量矢 量線(xiàn)、面、體積分之間的關(guān)系 StokesStokes原理原理 散度原理散度原理 梯度原理梯度原理Cs A dsAdSsA dSA dsppdSd4.2 基本原理建立控制方程的三大原則：建立控制方程的三大原則：1.1.質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒2.2.牛頓第二定律牛頓第二定律3.3.能量守恒能量守恒什么樣的模型什么樣的模型合理？合理？( , , , )pp x y z t流場(chǎng)描述 將矢量、標(biāo)量理論應(yīng)用到對(duì)流場(chǎng)描述中，可得如下表述：Vuiviwi( , , , )x y z t( , , )TT

6、 x y z t研究方法研究方法1：有限控制體：有限控制體 控制體：閉合的有限區(qū)域 控制面：控制體外邊界 以對(duì)控制體有限區(qū)域內(nèi)流體的研究代替對(duì)全局的研究，簡(jiǎn)化計(jì)算量。n宏觀(guān)無(wú)窮小、微觀(guān)無(wú)窮大n連續(xù)介質(zhì)研究方法研究方法2：流體微元法：流體微元法4.3 連續(xù)方程 連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中具體表達(dá)形式 以下針對(duì)一個(gè)微分六面體推導(dǎo)微分形式的連續(xù)方程。由于連續(xù)方程僅是運(yùn)動(dòng)的行為，與動(dòng)力無(wú)關(guān)，因此適應(yīng)于理想流體和粘性流體 流場(chǎng)中邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz的矩形六面體，其空間位置相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的，不隨時(shí)間變化，被流體所通過(guò) 假設(shè)六面體中心點(diǎn)為(x,y,z)，過(guò)中心點(diǎn)分速u(mài),v,w，密度是 T時(shí)

7、刻，dt時(shí)段內(nèi)經(jīng)過(guò)從ABCD面進(jìn)入的流體質(zhì)量為 T時(shí)刻， dt時(shí)段內(nèi)經(jīng)過(guò)從ABCD面流出流體質(zhì)量為1()()2u dxmudydzdtxdydzdtdxxuum)2)(2()udxdydzdtx ()()()()22u dxu dxudydzdtudydzdtxx12xmmm 在dt時(shí)段內(nèi)，由x面儲(chǔ)存在在微分六面體的流體質(zhì)量為（凈流入量）()()()()uvwdxdydzdtxyz xyzmmmm 同理可得，在dt時(shí)段內(nèi)，由y,z面儲(chǔ)存在微分六面體的流體質(zhì)量為 由此可得，在dt時(shí)段內(nèi)由所有側(cè)面流入到微分六面體的凈流體總質(zhì)量為()yvmdxdydzdty ()zwmdxdydzdtz dt內(nèi)，由

8、密度變化引起微分六面體質(zhì)量的增加量為 據(jù)質(zhì)量守恒定律，dt時(shí)段內(nèi)從側(cè)面凈流入微分六面體的總質(zhì)量應(yīng)等于其內(nèi)流體質(zhì)量因密度隨時(shí)間變化的引起增量tmdt dxdydzdxdydzdxdydzdtttdxdydzdtxdxdydzdtzwyvxum )()()( 上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程。即:()()()0uvwtxyz()0Vt ()0uvwuvwtxyzxyz0dVdt 對(duì)于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)?根據(jù)散度的定義，有0ddt0V 0uvwxyz0()()()limAVndAdivVV 根據(jù)高斯公式，有 這樣可以回溯為有限控制體方式的推導(dǎo) 不可壓：每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度

9、在流動(dòng)過(guò)程中保持不變，但是不同流體質(zhì)點(diǎn)的密度可以不同，即流體可以是非均值的，因此不可壓縮流體的密度并不一定處處都是常數(shù)，例如變密度平行流動(dòng)()()AVnV dA 均值流體的定義是0，即密度在空間處處均勻，但不能保證隨時(shí)間不變化 只有既為不可壓縮流體，同時(shí)又是均值時(shí)，流體的密度才處處都是同一個(gè)常數(shù)；由不可壓條件得到 均值流體條件得到0ddt0 從而有 于是=C，即流體密度既不隨時(shí)間變化，也不隨位置變化，在整個(gè)流場(chǎng)中是個(gè)常數(shù)。()duvwVdttxyzt0t4.4 動(dòng)量方程牛頓第二定律的普遍形式為牛頓第二定律的普遍形式為是理論流體力學(xué)的基礎(chǔ)，其物理原則為：是理論流體力學(xué)的基礎(chǔ)，其物理原則為：力是動(dòng)

10、量隨時(shí)間的變化率力是動(dòng)量隨時(shí)間的變化率()dFmdtV上述原則在有限控制體中應(yīng)用：力來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面(1)體積力，包括重力、電磁力等；(2)壓力及作用在控制面上的應(yīng)力 體積力= 面積力= 則其中 代表粘性流體的粘性力VfdVspdSviscousVsFfdVpdSFviscousF 通過(guò)控制面的動(dòng)量?jī)袅髁?控制體中非定常波動(dòng)引起的動(dòng)量變化()SGdSVVHdVtV 則動(dòng)量變化率為 帶入到動(dòng)量定理得()()SdmGHdSdVdttVVVV()viscousSVsdSdVfdVpdSFtVVV偏微分形式的方程推導(dǎo)SppdV ds()()viscousSdVpdVdVt VV ds VfFuvwV =

11、ijk()()()xxviscousSupdVudVf dVFtx V dsx方向上 流場(chǎng)中各點(diǎn)積分為0，故()()0 xxviscousupufFdVtx V()()xxviscousupufFtx V()()()SSVuuudVV dsVdsV考慮到有 在y、z方向上分別有()()yyviscousvpvfFty V()()zzviscouswpwfFtz V上述為守恒形式狹意N-S方程 將微分方程應(yīng)用到非定常無(wú)粘流中可得Euler方程上述為守恒形式狹意Euler方程xfxputu)V()(yfypvtv)V()(zfzpwtw)V()( 注意到前述方程一點(diǎn)分析()DVpfDt n速度增加

12、，壓力降低，反之則反n分離區(qū)壓強(qiáng)幾乎一致積分形式動(dòng)量方程應(yīng)用()()FSdVpdVdVt VV ds Vf 預(yù)測(cè)物體所受阻力應(yīng)用例1()()FSdVpdVdVt VV ds Vf11212F()xSuV VVdym VV V dsF 求發(fā)動(dòng)機(jī)推力：噴氣飛機(jī)以800km/h速度在8000m高空飛行。假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)口截面直徑為0.86m，流量系數(shù)為1。尾噴氣速度為650m/s，噴氣壓強(qiáng)與外界相同應(yīng)用例2267.8/inmVrkn s1267.8 42829xFm VVKN4.5 動(dòng)量方程的積分伯努利方程伯努利方程 結(jié)合流量連續(xù)，前述Euler方程可改寫(xiě)為不守恒形式如下：1 (1)1 (2)1 (3)

13、xyzuuuupuvwftxyzxvvvvpuvwftxyzywwwwpuvwftxyzz 動(dòng)量方程積分 (1)*dx+(2)*dy+(3)*dz，得：222()2221()()0 (4)xyzVVVudxvdywdzdxdydztxyzpppdxdydzf dxf dyf dzxyzn如果dudxvdywdz()xyzdf dxf dyf dz 速度位勢(shì)(無(wú)旋)徹體力位勢(shì)n則(4)式為20.50 (5)dtd Vdpd 用于不可壓(=c)定常( )流，則n如果再忽略徹體力，則2 (6)2pVC 0t 2 (7)2pVC2* (8)2Vppn即伯努利方程*p稱(chēng)為總壓或駐壓，有相對(duì)和絕對(duì)之分ve

14、nturi管(變截面管中)的流動(dòng) 連續(xù)方程：連續(xù)方程： 對(duì)于定常流動(dòng)有對(duì)于定常流動(dòng)有0sdt V dS0sV dS（a） 將方程（將方程（a）運(yùn)用到準(zhǔn)一維變截面管中。）運(yùn)用到準(zhǔn)一維變截面管中。 由于在壁面處，氣流速度與壁面相切，因此由于在壁面處，氣流速度與壁面相切，因此 與壁面與壁面正交，那么正交，那么 ，也就有，也就有 對(duì)于變截面管進(jìn)口位置，氣流速度對(duì)于變截面管進(jìn)口位置，氣流速度 與與 方向相反方向相反120AAwallV dSV dSV dS（a1）0V dSdS0wallV dS1111AA V V dSVdS（a2） （a3） 同理，出口位置氣流速度同理，出口位置氣流速度 與與 方向相

15、同方向相同 將（將（3.15-3.17）代入（）代入（3.14）化簡(jiǎn)可得）化簡(jiǎn)可得 對(duì)于不可壓流體對(duì)于不可壓流體 ，則有，則有 方程（方程（a6）是準(zhǔn)一維不可壓變截面管的連續(xù)方程）是準(zhǔn)一維不可壓變截面管的連續(xù)方程2222AA VV dSVdS（a4）111222A VA V（a5）1122A VA Vconst（a6） 由（由（a6）可知，對(duì)于不可壓流體，變截面管截面積減）可知，對(duì)于不可壓流體，變截面管截面積減?。ㄊ湛s管道），氣流速度增大；反過(guò)來(lái)，截面積增?。ㄊ湛s管道），氣流速度增大；反過(guò)來(lái)，截面積增大（擴(kuò)張管道），氣流速度減小。由伯努利方程可知大（擴(kuò)張管道），氣流速度減小。由伯努利方程可知，

16、收縮管道中，氣流速度增大，壓強(qiáng)則減??；而在擴(kuò)，收縮管道中，氣流速度增大，壓強(qiáng)則減?。欢跀U(kuò)張管道中，氣流速度減小，壓強(qiáng)則增大。張管道中，氣流速度減小，壓強(qiáng)則增大。 對(duì)于對(duì)于不可壓不可壓流體流過(guò)收縮流體流過(guò)收縮-擴(kuò)張擴(kuò)張管道，氣體在收縮管道加速，管道，氣體在收縮管道加速，在管道截面積最小處速度達(dá)到在管道截面積最小處速度達(dá)到最大，壓強(qiáng)則達(dá)到最?。欢谧畲?，壓強(qiáng)則達(dá)到最??；而在擴(kuò)張管道，速度減小，而壓強(qiáng)擴(kuò)張管道，速度減小，而壓強(qiáng)則增加。如圖所示則增加。如圖所示 (venturi管管) 由伯努利方程得由伯努利方程得 由由(a6)可得可得 將（將（a7）代入到（）代入到（b），可以解得），可以解得 類(lèi)似

17、的類(lèi)似的2212122()VppV（b）1212AVVA（a7）1212122()/1ppVAA（c1）1222212()1/ppVAA（c2） 低速風(fēng)洞就是由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)風(fēng)機(jī)產(chǎn)生氣流流動(dòng)的低速風(fēng)洞就是由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)風(fēng)機(jī)產(chǎn)生氣流流動(dòng)的venturi管。管。 低速風(fēng)洞可以分為開(kāi)式和封閉式兩種低速風(fēng)洞可以分為開(kāi)式和封閉式兩種venturi管的應(yīng)用4.6 能量方程能量方程 對(duì)于不可壓流動(dòng)，連續(xù)方程和動(dòng)量方程足以描對(duì)于不可壓流動(dòng)，連續(xù)方程和動(dòng)量方程足以描述壓力和速度。對(duì)于可壓流動(dòng)，則增加了變述壓力和速度。對(duì)于可壓流動(dòng)，則增加了變量量密度，需要補(bǔ)充能量方程進(jìn)行描述密度，需要補(bǔ)充能量方程進(jìn)行描述 能量守恒：能

18、量守恒：能量變化率生成熱傳熱外力能量變化率生成熱傳熱外力功率，能量既不能創(chuàng)造也不能消失，只能從一功率，能量既不能創(chuàng)造也不能消失，只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式 閉合系統(tǒng)單位質(zhì)量物質(zhì)的能量為e，外部環(huán)境對(duì)其傳熱 對(duì)其做功 則 做如下定義： B1 =外部對(duì)控制體傳熱效率 B2 =外部對(duì)控制體做功效率 B3 =控制體能量變化率qwdeqw123BBB 定義單位質(zhì)量物質(zhì)的體積增熱率為則體積增熱率對(duì)于粘性流體需考慮粘性項(xiàng)，則q Vq dV1viscousVBq dVQ 功率 則面積力功率 體積力功率 對(duì)粘性流體考慮粘性項(xiàng)，則FV()spdS V()VfdVV2()viscoussV

19、BpdSfdVW VV 對(duì)于運(yùn)動(dòng)的控制體，單位質(zhì)量的能量為內(nèi)能與動(dòng)能之和，即 則穿過(guò)控制面的能量流率為 對(duì)于非定常流，由于流場(chǎng)的波動(dòng)會(huì)引起控制體中物質(zhì)量的變化進(jìn)而導(dǎo)致能量有所變化，該能量變化率為22eV2()()2SdS eVV2()2VedVtV 從而有 將各式帶入 可得 以上就是能量方程的積分形式 223()()()22VSBedVdS etVVV123BBB()viscousviscousVsVq dVQpdSfdVWVV22()()22VSedVedStVVV 能量方程的微分形式為 對(duì)定常無(wú)粘不傳熱無(wú)體積力流體，能量方程可簡(jiǎn)化為22 () () 22()()viscousviscous

20、eetqpfQWVVVVV2()2SsedSpdS VVV2 () ()2ep VVV 連續(xù)方程、動(dòng)量方程、能量方程是流動(dòng)的基本控制方程，包含 等變量，在補(bǔ)充了氣體狀態(tài)方程 后是封閉的(針對(duì)無(wú)粘流), , ,p v epRT4.7 物質(zhì)(隨流)導(dǎo)數(shù)以及相應(yīng)方程物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 對(duì)于速度場(chǎng)對(duì)于速度場(chǎng)其中其中 密度為密度為 假定假定t1t1時(shí)刻密度為時(shí)刻密度為 假定假定t2t2時(shí)刻密度為時(shí)刻密度為uvwV = ijk( , , , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t=( , , , )x y z t=11111( , )x y z t=222

21、22(, )xyz t= 由由TaylorTaylor展開(kāi)式展開(kāi)式 整理，并忽略高階小量整理，并忽略高階小量21212111212111()()()()xxyyxyzzttzt=高階小量21212112121211211121 xxyyttxttyttzzzttt= 當(dāng)當(dāng)t t2 2趨近趨近t t1 1時(shí)，時(shí)， 由于由于 則有則有212121limttDttDt=212121212121212121lim, lim;limttttttxxyyuvttttzzwttDuvwDttxyz= 在直角坐標(biāo)系中有在直角坐標(biāo)系中有 如果如果 那么那么DuvwDttxyz=xyz ijk()DDttV物質(zhì)導(dǎo)數(shù)形式的基本方程()VVV()0tV連續(xù)方程連續(xù)方程已知已知?jiǎng)t有則有0t VV有前面物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式可知有前面物質(zhì)導(dǎo)數(shù)公式可知0DDt V 在在x方向上，動(dòng)量方程為方向上，動(dòng)量方程為 其中其中 則有則有()()()xxviscousupu