大學物理實驗(二)誤差理論

1、一一.測量測量 1.測量的含義測量的含義 2.測量的分類測量的分類 1. 測量的含義測量的含義 1. 測量的含義測量的含義 測量就是把待測物理量與作為計量單測量就是把待測物理量與作為計量單位的同類已知量相比較，找出被測量位的同類已知量相比較，找出被測量是單位的多少倍的過程是單位的多少倍的過程。 測量的要素：對象，單位，方法，準測量的要素：對象，單位，方法，準確度。確度。 倍數倍數 讀數讀數+單位單位數據數據 2. 測量的分類測量的分類 按方法分類：按方法分類： 按條件分類：按條件分類： 直接測量直接測量 直接測量直接測量 直接測量直接測量 直接測量直接測量 間接測量間接測量 間接測量間接測量

2、間接測量間接測量 間接測量間接測量 等精度測量等精度測量 等精度測量等精度測量 等精度測量等精度測量 等精度測量等精度測量 非等精度測量非等精度測量 非等精度測量非等精度測量 非等精度測量非等精度測量 非等精度測量非等精度測量 按方法分類按方法分類直接測量：指用儀器或量具，指用儀器或量具，直接測得直接測得（讀出）被測量數值的測量，該物理量稱（讀出）被測量數值的測量，該物理量稱為直接測量量。為直接測量量。 間接測量 由若干直接測量的量經過一定函數關系運算后得出的待測量。這種測量稱為間接測量，需要通過間接測量求得結果的物理量稱為間接測量量。224 2TlgglT等精度測量等精度測量若多次測量都是在

3、相同的條件下進行的，稱為等精度測量不等精度測量不等精度測量若多次測量是在測量條件發(fā)生變化的條件下進行稱為不等精度測量按條件分類：按條件分類： 二二. 誤差誤差 1. 絕對誤差與相對誤差絕對誤差與相對誤差 3誤差的分類誤差的分類 4誤差的幾個基本概念誤差的幾個基本概念 2誤差來源誤差來源 1. 絕對誤差與相對誤差絕對誤差與相對誤差 . .絕對誤差絕對誤差 任何一個物理量在一定條件下都存在任何一個物理量在一定條件下都存在著一個客觀值，這個客觀值稱為真值著一個客觀值，這個客觀值稱為真值。真值真值: :N（誤差）=Ni（測量值）N（真值）1. 絕對誤差與相對誤差絕對誤差與相對誤差 . .絕對誤差絕對誤

4、差 測量重力加速度測量重力加速度 單擺單擺: : glT22782. 9smg測量值2792. 9smg本地201. 0792. 9782. 9smg修正值修正值= =真值真值- -測量值測量值= = 誤差誤差.相對誤相對誤差差 %NNE100 Eg /g本地100% 0.01/9.792100% 0.1% 相對誤差是指某一待測物理量的絕對誤差與其測量的最佳值之比，它是沒有量綱的，通常寫成百分比的形式。 . .儀器誤差儀器誤差: :（儀器零點不準、儀器水平或鉛直未調整、砝碼未校準等） .方法誤差方法誤差: 實驗理論近似或方法不實驗理論近似或方法不完善完善 .環(huán)境誤差環(huán)境誤差:實驗環(huán)境、測量條件

5、不實驗環(huán)境、測量條件不合要求合要求 .人員誤差人員誤差:操作者生理或心理因素操作者生理或心理因素 2. 誤差來源誤差來源 電流表外接電流表外接電流表內接電流表內接11 vxxRRRR11 xAxRRRR 1).系統然誤差系統然誤差:系統誤差的確系統誤差的確定性可用特定方法來消除定性可用特定方法來消除. 2).隨機誤差隨機誤差(偶然誤差偶然誤差)隨機隨機性可通過多次測量來減小性可通過多次測量來減小.3 誤差的分類誤差的分類 1 )系統誤差系統誤差 在一定條件下（指儀器、方在一定條件下（指儀器、方法和環(huán)境）對同一物理量進行多次法和環(huán)境）對同一物理量進行多次測量時，其誤差按一定的規(guī)律變化，測量時，其

6、誤差按一定的規(guī)律變化，測量結果都大于真值或都小于真值。測量結果都大于真值或都小于真值。1)系統誤差系統誤差 3. 誤差的分類誤差的分類 螺旋測微計測小球直徑螺旋測微計測小球直徑電壓表測電壓電壓表測電壓 特點特點：總是使測量結果向：總是使測量結果向一個一個方向方向偏離，它有偏離，它有固定固定的大小，或是的大小，或是按按一定規(guī)律一定規(guī)律變化。變化。.偶然誤差偶然誤差 隨機性隨機性 螺旋測微器測鋼絲直徑螺旋測微器測鋼絲直徑 特點：特點：四四 誤差的修正誤差的修正 誤差的產生有其必然性和普遍性，誤差的產生有其必然性和普遍性，誤差自始至終存在于一切科學實驗誤差自始至終存在于一切科學實驗中，一切測量結果都

7、存在誤差中，一切測量結果都存在誤差1 系統誤差的修正系統誤差的修正 系統誤差的處理是一個比較復雜的問題，它沒有一個簡單的公式 ，主要取決于實驗者的經驗和技巧并根據具體情況來處理。從實驗者對系統誤差掌握的程度來分，又可分為已定系統誤差和未定系統誤差兩類（1）已定系統誤差）已定系統誤差電表、螺旋測微計的零位誤差電表、螺旋測微計的零位誤差伏安法測電阻電流表內接、外伏安法測電阻電流表內接、外接由于忽略表內阻引起的誤差。接由于忽略表內阻引起的誤差。標準值為標準值為50毫克的三等砝碼，毫克的三等砝碼， 替代法 = -0.02mm交換法待測電阻與標準電阻交換位置異號法 對實驗方法進行改進，在實驗時采取一定的

8、措施對系統誤差進行補償和消除 E1=EX-E0, E2 = EX+ E0 EX=E1+E2（2）未定系統誤差）未定系統誤差是指符號或絕對值未經確定的系統誤差分量，由于不能知道它的確切大小和正負，故無法對其進行修正。 砝碼 （2mg）。這種系統誤差通常只能定出它的極限范圍，未定系統誤差未定系統誤差要估計出分布范圍要估計出分布范圍。對于未定系統誤差在物理實驗中我們對于未定系統誤差在物理實驗中我們一般只考慮儀器測量儀器的（最大）一般只考慮儀器測量儀器的（最大）允許誤差允許誤差儀儀（大致與（大致與 B 類不確定度類不確定度 B 相當）相當） 如：螺旋測微計制造時的螺紋公差如：螺旋測微計制造時的螺紋公差

9、等等2) 2) 隨機誤差（又稱偶然誤差隨機誤差（又稱偶然誤差） 由于環(huán)境有起伏變化和偶然因素的干擾，使由于環(huán)境有起伏變化和偶然因素的干擾，使測量結果略有差異，因而產生誤差，這類誤差稱測量結果略有差異，因而產生誤差，這類誤差稱為為隨機誤差隨機誤差。 特點特點：測量結果的誤差：測量結果的誤差大小和符號都不固定大小和符號都不固定，其值時大時小，其符號時正時負，就某一次測，其值時大時小，其符號時正時負，就某一次測量而言沒有一定的規(guī)律，但量而言沒有一定的規(guī)律，但在測量次數很大時，在測量次數很大時，隨機誤差整體上服從正態(tài)分布的統計規(guī)律隨機誤差整體上服從正態(tài)分布的統計規(guī)律。 正態(tài)正態(tài)分布函數：分布函數： )

10、2/exp(21)(22xxf 1)(dxxf正態(tài)正態(tài)分布函數：分布函數： )2/exp(21)(22xxf 1)(dxxf標準誤差： =nXxnii12)( 在一定測量條件下對同一量進行多次測量，隨機誤差的統計分布是唯確定的即有一確定值隨機誤差分布的特點：隨機誤差分布的特點： 單峰性單峰性對稱性對稱性 有界性有界性抵償性抵償性01limniin正態(tài)分布函數函數的特點 （1）單峰性單峰性。絕對值大的誤差出現的可能性（概率）比絕對值小的誤差出現的概率小。 （2）對稱性對稱性。絕對值相等的正負誤差出現的機會均等，對稱分布于真值的兩側。 （3）有界性有界性。在一定的條件下，誤差的絕對值不會超過一定的

11、限度。 （4）抵償性抵償性。當測量次數很多時，隨機誤差的算術平均值趨于零(4)(4)隨機誤差的處理隨機誤差的處理 1)1)測量的平均值：測量的平均值：ninixxxnnxxx121)(12)2)標準偏差：標準偏差： 測量列的標準偏差：測量列的標準偏差： 1)(12nxxSniix平均值的標準偏差：平均值的標準偏差：)1()(12nnxxnSSniixxu 多次測量可以減小隨機誤差多次測量可以減小隨機誤差系統然誤差與偶然誤差的關系系統然誤差與偶然誤差的關系 偶然誤差偶然誤差 隨機性隨機性 可通過多次測量來減小可通過多次測量來減小 系統誤差系統誤差 確定性確定性 可用特定方法來消除可用特定方法來消

12、除 ：精密度與正確度的綜合：精密度與正確度的綜合 反映反映 ：實驗結果與真值的符合：實驗結果與真值的符合 程度程度 ：重復測量數據相互分散：重復測量數據相互分散 的程度的程度 準確度準確度 準確度準確度 準確度準確度 準確度準確度 準確度準確度 正確度正確度 正確度正確度 正確度正確度 正確度正確度 正確度正確度 精密度精密度 精密度精密度 精密度精密度 精密度精密度 精密度精密度4. 誤差的幾個基本概念誤差的幾個基本概念 系統誤差系統誤差偶然誤差偶然誤差 . . . 圖圖(A) 圖圖(B) 圖圖 (C) 精密度高精密度高正確度低正確度低精密度低精密度低正確度高正確度高準確度高準確度高 我們以

13、打靶為例來比較說明精密度、正確度正確度、準確度三者之間的關系。圖中靶心為射擊目標，相當于真值真值，每次測量測量相當于一次射擊。 一一 測量的含義，要素，分類測量的含義，要素，分類 二二 絕對誤差，相對誤差，修正值絕對誤差，相對誤差，修正值 三三 誤差的來源，誤差的分類誤差的來源，誤差的分類, 精度精度 本節(jié)小結 一、用算術平均值表示測量結果一、用算術平均值表示測量結果 任一次的測量誤差：任一次的測量誤差： NNNii miiN10 miimmNN)NN(.)NN()NN(1210 miiNNmN11NNNii （近真值）（近真值）（偏差）（偏差）m次：次：N1，N2，Ni，Nm （m ） 二、

14、誤差的估計二、誤差的估計標準偏差標準偏差 112 nNNSnii（貝塞爾公式貝塞爾公式） )n(nNNSniiN112 多次測量中任意一次測量的標準偏差多次測量中任意一次測量的標準偏差算術平均值對真值的標準偏差算術平均值對真值的標準偏差 高斯分布高斯分布 用標準米尺測某一物體的長度共用標準米尺測某一物體的長度共10次，次，其數據如下：其數據如下：次次 數數 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 10 0 L L( (c cm m) ) 4 42 2. .3 32 2 4 42 2. .3 34 4 4 42 2. .3 35 5 4 42 2. .3 30

15、 0 4 42 2. .3 34 4 4 42 2. .3 33 3 4 42 2. .3 37 7 4 42 2. .3 34 4 4 42 2. .3 33 3 4 42 2. .3 35 5 試計算算術平均值試計算算術平均值 L某次測量值的標準偏差某次測量值的標準偏差S LS算術平均值的標準偏差算術平均值的標準偏差例例:解：解： 101101iiLL34423042354234423242101.( )cm(.3442 )cm(.LLSiI020018856201101012 )cm(.SLLSiiL01000597201011010101 ).35423342344237423342

16、在在 范圍內范圍內 p=99.7% )3()3(NNSNSN真值落在真值落在 內的置信度也是內的置信度也是68.3%)()(SNSN三、置信概率和置信限三、置信概率和置信限對于不同的置信限，真值被包含的概率對于不同的置信限，真值被包含的概率P不同。不同。 在在 范圍內范圍內 p=95.4%)2()2(NNSNSN 只是一個通過數理統計估算的值，表示真值的一只是一個通過數理統計估算的值，表示真值的一定的概率被包含在定的概率被包含在 范圍內，可算范圍內，可算出這個概率是出這個概率是68.3%。稱之為置信概率或置信度。稱之為置信概率或置信度。NS)()(NNSNSN 是一個誤差范圍，稱為是一個誤差范

17、圍，稱為“誤差限誤差限”或或“置信置信限限” NS曲線下的總面積大小表示各種大小(包括正負)誤差出現的總概率，當然應該是100。 由x=到x之間的曲線下的面積可以計算出來為總面積的68.3，它表示隨機誤差值落在區(qū)間 ，內的概率。四、壞值的剔除四、壞值的剔除Slim3 2.拉依達準則拉依達準則 凡是誤差凡是誤差 的數據為壞值，應當的數據為壞值，應當刪除，平均值刪除，平均值N和誤差和誤差S應剔除壞值后重新計算。應剔除壞值后重新計算。SNNi3)(lim注意：注意： 拉依達準則是建立在拉依達準則是建立在 的條件下，當的條件下，當n較較少時，少時，3S的判據并不可靠，尤其是的判據并不可靠，尤其是 時更

18、時更是如此。是如此。n10n1.極限誤差極限誤差 3S:極限誤差極限誤差測量數據在測量數據在 范圍內的概率為范圍內的概率為99.7%)3()3(SNSN次次數數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 L L( (c cm m) ) 10.35 10.38 10.30 10.32 10.35 10.33 10.37 10.31 10.34 20.33 10.37 對某一長度對某一長度L測量測量11次，其數據如下：次，其數據如下：試用拉依達準則剔除壞值。試用拉依達準則剔除壞值。解：解：cm.)LL(Sii1631101012 cmS48. 9316. 33 LLLi 10 當數據為當數據

19、為11個時可以個時可以用拉依達準則剔除用拉依達準則剔除=20.33 10.72 = 9.613S本節(jié)小結本節(jié)小結 一.算術平均值 二.標準偏差 三.置信度 四.壞值的剔除 由于誤差的存在而被測量值不能確由于誤差的存在而被測量值不能確定的程度，是被測量真值在某個量值定的程度，是被測量真值在某個量值范圍內的評定范圍內的評定。一、不確定度的概念：一、不確定度的概念：真值以一定的概率被包含在量值范圍真值以一定的概率被包含在量值范圍 中中不確定度用不確定度用 表示表示 )(uu 誤差以一定的概率被包含在量值范圍誤差以一定的概率被包含在量值范圍 中中)()(_uNuNu一 測量不確定度的定義不確定度表示由

20、于測量誤差存在而對被測量值不能確定的程度（JJF027-1991測量誤差的處理）表征合理地賦予測量之值的分散性與測量結果相關聯的參數（JJF1059-測量不確定度評定與表示） 1999年5月1日實行 目前已經獲得國際公認的主要原則有以下三點：測量結果的不確定度一般包含若干分量，這些分量可按其數值的評定方法歸并成A、B兩類； A類不確定度:是指對多次重復測量結果用統計方法計算的標準偏差. B類不確定度是指用其它方法估計的近似相當于標準偏差的值。如果各分量是獨立的，測量結果的合成標準不確定度是各分量平方和的正平方根。根據需要可將合成標準不確定度乘以一個包含因子K(取值23),作為展伸的不確定度,使

21、測量結果能以高概率(95%以上)包含真值.二、不確定度的分類二、不確定度的分類A類類不確定度不確定度 ： B類不確定度類不確定度 ： 可以通過統計方法來計算可以通過統計方法來計算(如偶然誤差如偶然誤差) 不能用統計方法只能用其他方法估算不能用統計方法只能用其他方法估算(如儀器誤差如儀器誤差) AuuuuuAmAAAAu2232221uB2232221BnBBBBuuuuuB類類 B類類 三、直接測量不確定度的計算三、直接測量不確定度的計算1)A類不確定度的計算類不確定度的計算： nS)n(n)NN(SniiN 112112 n)NN(Snii貝塞爾法貝塞爾法 Ni的不確定度的不確定度 N的不確

22、定度的不確定度 由于偶然因素，在同一條件下對同一物理量x進行多次重復測量值x1x2x3.xn 將是分散的，從分散的測量值出發(fā)用統計的方法評定標準不確定度，就是標準不確定度的A類評定 （P68.3%） ) 1()(2nnxxnSuixA按誤差理論的正態(tài)分布 如不存在其他影響，則測量值范圍 )( ),(xxxxAA中包含真值的概率為68.3%。2)B類不確定度的估計類不確定度的估計: 測量中凡是不符合統計規(guī)律的不確定度統稱為B類不確定度。在實際計算時，有的依據計量儀器的說明書或鑒定書，有的依據儀器的準確度，有的則粗略的依據儀器的分度值或經驗，從中獲得儀器的極限誤差，儀（或充許誤差或示值誤差） B類

23、評定不確定度為 （P68.3%）教學中一般可視為均勻分布， 3儀Bu.估計方法估計方法 A.A.由儀器的準確度表示由儀器的準確度表示 . .儀器誤差儀器誤差 的確定：的確定： 儀A.A.由儀器的準確度表示由儀器的準確度表示 B.B.由儀器的準確度級別來計算由儀器的準確度級別來計算%級別電表的滿量程電表的最大誤差. .儀器誤差儀器誤差 的確定：的確定： 儀電流表電流表（0.50.5級）級）B.B.由儀器的準確度等級計算由儀器的準確度等級計算 )(2 . 0%5 . 030mA儀電壓表電壓表（0.10.1級）級）電流表電流表（0.50.5級）級）B.B.由儀器的準確度等級計算由儀器的準確度等級計算

24、 )(008. 0%1 . 05 . 7V儀)(2 . 0%5 . 030mA儀電壓表電壓表（0.10.1級）級）電流表電流表（0.50.5級）級）A.A.由儀器的準確度表示由儀器的準確度表示 B.B.由儀器的準確度級別來計算由儀器的準確度級別來計算%級別電表的滿量程電表的最大誤差C.C.未給出儀器誤差時未給出儀器誤差時連續(xù)可讀儀器連續(xù)可讀儀器非連續(xù)可讀儀器非連續(xù)可讀儀器. .儀器誤差儀器誤差 的確定：的確定： 儀最小分度最小分度/2 /2 最小分度最小分度米尺米尺：最小分度為：最小分度為1mm1mmC.C.未給出儀器誤差時未給出儀器誤差時 連續(xù)可讀儀器連續(xù)可讀儀器 mm.50 儀儀 mm.0

25、050 儀儀 讀數顯微鏡讀數顯微鏡：最小分度為：最小分度為0.01mm0.01mm數字秒表數字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未給出儀器誤差時未給出儀器誤差時 非連續(xù)可讀儀器非連續(xù)可讀儀器 數字秒表數字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01s2020分度游標卡尺分度游標卡尺：最小分度：最小分度=0.05mm=0.05mm s01. 0儀mm05. 0儀C.C.未給出儀器誤差時未給出儀器誤差時 非連續(xù)可讀儀器非連續(xù)可讀儀器 mAiAAAuuuu,.,21A A類不確定度分量類不確定度分量BnjBBBuuuu,.,21B B類不確定度分量類不確定度分量minjj

26、BiAuuu11223) 合成不確定度合成不確定度（P68.3%）u4)直接測量結果的不確定度評定直接測量結果的不確定度評定 1、評定步驟、評定步驟 （1）盡可能把測量中的各種系統誤差減）盡可能把測量中的各種系統誤差減至最小。例如采用適當的測量方法予以抵至最小。例如采用適當的測量方法予以抵消，或改變測量條件使之隨機化，或確定消，或改變測量條件使之隨機化，或確定出修正值進行修正出修正值進行修正 (2)確定井記錄儀器的型號、量程、最小確定井記錄儀器的型號、量程、最小分度值、示值誤差限和靈敏閥分度值、示值誤差限和靈敏閥 (3)當準備好測量時，小心地取3-4個觀測值并注意其偏差情況。如果偏差幾乎不存在

27、，或與儀器的誤差限相比很小那就不必進行多次測量，而以其中任一次測量值表達測量結果，其不確定度只以儀器示值誤差限計算。 (4)若發(fā)現試測結果偏差較大，可與儀器的誤差限相比擬或更大，則要取510次的測量值以平均值表示測量結果，其不確定度應該以A類和B類的合成不確定度表示。 2 2 、測量結果的規(guī)范表達測量結果的規(guī)范表達cux %100 xuUxr以電阻測量為例以電阻測量為例 物理實驗以測量為基礎物理實驗以測量為基礎 完整的測量結果應表示為完整的測量結果應表示為：包括：包括： 測量對象測量對象 測量對象的量值測量對象的量值 測量的不確定度測量的不確定度 測量值的單位測量值的單位 Y = y u表示被

28、測對象的真值落在（表示被測對象的真值落在（y u，y u）范圍內）范圍內的概率是的概率是68.3%， u的取值與一定的概率相聯系的取值與一定的概率相聯系3.03.910RuyY用用5050分度游標卡尺測一圓環(huán)的寬度，其分度游標卡尺測一圓環(huán)的寬度，其數據如下：數據如下：由于是多次測量，存在由于是多次測量，存在A A類不確定度：類不確定度：)(003. 0) 1()(1212cmnnmmuiimA任何直接測量都存在任何直接測量都存在B B類不確定度：類不確定度： )(001. 03002. 03cmuB儀)(003. 0001. 0003. 02222cmuuuBmA合成不確定度合成不確定度: :

29、m=15.272;15.276;15.268;15.274;15.270;15.274;15.268; 15.274;15.272cm . 求合成不確定度。求合成不確定度。解：解：四、不確定度的傳遞公式四、不確定度的傳遞公式設設N N為待測物理量，為待測物理量，X X、Y Y、Z Z為直接測量量為直接測量量 .)z , y,x(fN 1.間接測量的不確定度由傳遞公式計算間接測量的不確定度由傳遞公式計算 N=X+YZN=XY/Z22222)()()(zyxNuzFuyFuxFu222)ln()ln()ln(zyxnuzFuyFuxFNu)(單位uNN)(2單位uNN)(3單位uNN683. 0P

30、954. 0P997. 0P五、測量結果表達式：五、測量結果表達式：根據公式根據公式HDM24 測量銅圓柱體的密度。測量銅圓柱體的密度。已知：已知：M=45.0380.004(g), D=1.24200.0004(cm), H=4.1830.003(cm). 試評定試評定 的不確定度的不確定度 . 解：解： 1.計算測量值計算測量值)gcm(886. 8HDM432 2.先計算相對不確定度先計算相對不確定度222222420.0040.00040.003245.0381.24204.1839.6 10MDHuuuuMDH3.求求 的不確定度的不確定度4.測量結果表示：測量結果表示：)gcm(0

31、08. 0886. 83 )(008. 0008103. 0886. 8106 . 9106 . 9344gcmu已測得矩形寬、長結果分別是已測得矩形寬、長結果分別是cm.a10010 cm.b10020 求周長求周長L=L=？解：解： )cm(.).()ba(L06002001022 22baLubLuaLucm.L30060 %5 . 00 .603 . 0LuELL2210102. 222bauu0.3260.3(cm) 測邊長測邊長 的立方體體積的立方體體積V V，要求，要求 ，問用下列哪種游標卡尺最恰當？，問用下列哪種游標卡尺最恰當？mma10%6 . 0VE(1)10分度分度3aV

32、 auuaauaVEaaaV3lnln3由條件由條件: : %6 . 03auEaV則：則： %6 . 0103au得：得： mmua02. 0(2)20分度分度(3)50分度分度又又: :mmua03. 0302. 03儀故合適的儀器為故合適的儀器為5050分度的游標卡尺（分度的游標卡尺（ ）mm02. 0儀例例 用米尺測量某一物體的長度用米尺測量某一物體的長度 l l，所得實驗數，所得實驗數據如下表所示，試求據如下表所示，試求 l l 的平均值和測量不確定的平均值和測量不確定度，并寫出測量結果的表達式度，并寫出測量結果的表達式( (假定測量誤差以假定測量誤差以隨機誤差為主隨機誤差為主) )

33、。測量次數測量次數 1 2 3 4 51 2 3 4 5 l l (cm) 12.25 12.20 12.19 12.16 12.23(cm) 12.25 12.20 12.19 12.16 12.23解：這是解：這是直接測量直接測量問題，可使用緒論中問題，可使用緒論中(0-6)(0-6)式式、(0-7)(0-7)式和式和(0-13)(0-13)式計算。式計算。 cm21.12)23.1216.1219.1220.1225.12(515151iill)(cm04. 0402. 005. 002. 001. 004. 015)(22222512不確定度取一位數iilllS取一位數），（%10%4

34、 . 0%33. 021.1204. 0rrElE度所在位對齊）（結果的末位與不確定）（ cm04. 021.12 ll。及其不確定度環(huán)的體積求高度內徑的外徑已知金屬環(huán)例VVhDDcm,)004. 0575. 2(cm,)004. 0880. 2(cm,)004. 0600. 3(212222212cm436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(412hDDV環(huán)體積的對數及其偏導數為：解：這是間接測量間接測量問題。環(huán)的體積為：hDDVln)ln(4lnln2122hhVDDDDVDDDDV1ln,2ln,2ln212211212222代入(0-19)式得：662222222222

35、1222122122222109 .6410)4 . 24 .241 .38(575. 2004. 0880. 2600. 3004. 0880. 22880. 2600. 3004. 0600. 3222)(12 hhDDDDDDVDDV%9 . 00081. 0109 .64)(6VV32cm08. 0cm0081. 0436. 9VVVV因此，環(huán)體積為：3cm08. 044. 9）（V本節(jié)小結本節(jié)小結 一.不確定度的概念 二.不確定度的分類 三.不確定度的計算 四.合成不確定度 五.不確定度的傳遞 例：用米尺測量物體的長度例：用米尺測量物體的長度 L1= L2= 3.4 3.4 5 6

36、5 6 3.4 3.4 定義：在測量結果的數字表定義：在測量結果的數字表示中，由若干位可靠數字加一示中，由若干位可靠數字加一位可疑數字，便組成了有效數位可疑數字，便組成了有效數字。字。 上述例子中的測量結果均為三上述例子中的測量結果均為三位有效數字位有效數字 1.1.關于關于“0”0”的有效問題的有效問題 . .當當“0”0”在數字中間或末尾時有在數字中間或末尾時有效效 如：如： cm.041225020m.A.0001、等中的等中的0均有效。均有效。 注意注意：不能在數字的末尾隨便加不能在數字的末尾隨便加“0”0”或減或減“0”0” 8500. 2850. 285. 2數學數學上：上： 物理

37、物理上：上： 8500. 2850. 285. 2例：一個物理量的數值和數字上的一物理量的數值和數字上的一個數個數有著不同的意義。例如一個在數字上0.2500m=25.00mm .但在物理測量上0.2500m25.000cm。因為0.2500的有效位數是四位四位，而25.000cm的有效位數是五位五位。實際上，這兩種不同的寫法表示了兩種不同精不同精度度的測量結果。所以在實驗中記錄數據時，有效數字不能隨意增減。1.1.關于關于“0”0”的有效問題的有效問題 . .小數點前面的小數點前面的“0”0”和緊接和緊接小數點后面的小數點后面的“0”0”不算作有效不算作有效數字數字 如：如：0.0123dm

38、、0.123cm、0.00123m均是均是3位有效數字。位有效數字。注意：注意：進行單位換算時，進行單位換算時，有效數字的位數不變。有效數字的位數不變。 2.2.數值的科學記數法數值的科學記數法 數據過大或過小時，可以數據過大或過小時，可以用科學表達式用科學表達式。 某電阻值為某電阻值為2000020000（歐姆），保留三位有（歐姆），保留三位有效數字時寫成效數字時寫成 2.002.00 10104 4 又如數據為又如數據為0.0000325m0.0000325m，使用科學記數，使用科學記數法寫成法寫成3.253.25 1010-5-5m m 3.3.有效數字與儀器的關系有效數字與儀器的關系

39、有效數字的位數有效數字的位數 測量值本身的大小、儀器的準確度測量值本身的大小、儀器的準確度 2020分度游標卡尺分度游標卡尺 L=2.525cm L=2.525cm （四位有效數字）（四位有效數字） 螺旋測微計螺旋測微計 L=2.5153cm L=2.5153cm （五位有效數字）（五位有效數字） 米尺米尺 L=2.52cm L=2.52cm （三位有效數字）（三位有效數字） （1 1）用米尺測長度）用米尺測長度 讀數的一般規(guī)則：讀數的一般規(guī)則： 讀至儀器誤差所在的位置讀至儀器誤差所在的位置 當物體長度在當物體長度在2424與與2525之間時，之間時， 讀數為讀數為24.24.* *當讀數正好

40、為當讀數正好為2424時讀數為時讀數為24.024.0被測物體 （1 1）用米尺測長度）用米尺測長度 （2 2）用）用0.10.1級量程為級量程為100mA100mA電流表測電流電流表測電流 讀數的一般規(guī)則：讀數的一般規(guī)則： 讀至儀器誤差所在的位置讀至儀器誤差所在的位置 儀儀= 100mA= 100mA0.1% = 0.1mA0.1% = 0.1mA指針在指針在82mA82mA與與83mA83mA之間：讀為之間：讀為82.82.* * mA mA指針正好在指針正好在82mA82mA上：讀為上：讀為82.0mA82.0mA對于對于0.1級表：級表：儀儀=100mA1.0%=1mA對于對于1.0級

41、表級表指針在指針在82mA82mA與與84mA84mA之間：之間： 可讀為可讀為82mA82mA、83mA83mA或或84mA84mA指針正好在指針正好在82mA82mA上：讀為上：讀為82mA82mA1.1.加減法加減法 2.2.乘除法乘除法 3.3.乘方與開方乘方與開方 4.4.函數運算函數運算 5.5.自然數與常量自然數與常量 例例 1: 62 . 5 + 1. 234 = 63 . 7 62.5 + 1.234 63.734 結果為結果為 63.7 例例 2:19.68 - 5.848 = 13.83 19.68 - 5.848 13.832 結果為結果為 13.83 CBAN 其中：

42、其中：2206043500302341cm.C,cm.B 試確定試確定N的有效數字。的有效數字。（1）求出）求出N的不確定度的不確定度22222CACBANuuuuuu（2）)cm(.N2304584352341562 （3）用誤差（估計誤差范圍的不確定度）決定）用誤差（估計誤差范圍的不確定度）決定 結果的有效數字結果的有效數字210358cm.N 210562cm.A 2221006010cm.).().( 例例 3:Nu1.1.加減法加減法 加減法運算后的有效數字，取到參與運算各加減法運算后的有效數字，取到參與運算各數中數中 最靠前出現可疑數的那一位。最靠前出現可疑數的那一位。運算規(guī)則：運算規(guī)則：例例 4: 3.21 6.5 = 21 3.21 6.5 1605 結果為結果為 21 1926 20.865 例例5:21 21.843=0.96 _ _結果為結果為 0.96 _210000218431965879610.131058134130307202184388772.2.乘除法乘除法 乘除運算后結果的有效數字一般以參與運算乘除運算后結果的有效數字一般以參與運算各數中有效數字位數最少的為準。各數中有效數字位數最少的為準