同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)課件（上冊）：D7_6高階線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階線性微分方程 第六節(jié)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) *四、常數(shù)變易法四、常數(shù)變易法 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí), 物體處于 平衡狀態(tài), 例例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動,xxO解解:阻力的大小與運(yùn)動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)時(shí)刻 t 物位移

2、為 x(t).(1) 自由振動情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令則得有阻尼自由振動方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 強(qiáng)迫振動情況. 若物體在運(yùn)動過程中還受鉛直外力作用，t pHFsin，令mHh 則得強(qiáng)迫振動方程:t phxktxntxsindd2dd222目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求電容器兩兩極板間電壓 0ddiRCqtiLE例例2. 聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,sintEEm所滿足的微分方

3、程 .cu解解: 設(shè)電路中電流為 i(t),的電量為 q(t) , 自感電動勢為,LE由電學(xué)知,ddtqi ,CquCtiLELdd根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串極板上 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0q LERQCqi目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,ddtqi ,CquC,ddtiLEL0ddiRCqtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串聯(lián)電路的振蕩方程:22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化為關(guān)于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 q LERQCqi如果電容器充電后撤去電源 ( E =

4、 0 ) , 則得0dd2dd2022CCCututu目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為方程的共性 (二階線性微分方程)例例1例例2( )( )( )yP x yQ x yf x 可歸結(jié)為同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齊次方程特解齊次方程通解Yy0)(xf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)

5、二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyC

6、xyCy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上

7、都 線性無關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特

8、解, )()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()(

9、)(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4.),2, 1()(mkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()(

10、)()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1則)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321

11、,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個(gè)解,e,e,2321xxyyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(

12、yy的特解 .解解:1312yyyy與是對應(yīng)齊次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)(e)(e221xCxCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解為有三 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *四、常數(shù)變易法四、常數(shù)變易法復(fù)習(xí): 常數(shù)變易法: )()(xfyxpy對應(yīng)齊次方程的通解: )(1xyCy xxpxyd)(1e)(設(shè)非齊次方程的解為 )(1xyy 代入原方程確定 ).(xu對二階非齊次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知對應(yīng)齊次方程通解: )()(2211xyCxyCy設(shè)的

13、解為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有兩個(gè)待定函數(shù), 所以要建立兩個(gè)方程:)(xu目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含為使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 將以上結(jié)果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故, 的系數(shù)行列式02121yyyyW21, yy是對應(yīng)齊次方程的解,21線性無關(guān)因yyP10 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 122111,vy fvy fWW 積分得: )(),(222111xgC

14、vxgCv代入 即得非齊次方程的通解: )()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 說明說明: 將的解設(shè)為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一個(gè)必須滿足的條件即因此必需再附加一個(gè)條件, 方程的引入是為了簡化計(jì)算.方程3 方程, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 情形情形2.).(1xy僅知的齊次方程的一個(gè)非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化簡得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111設(shè)其通解為 )()(2xzxZCz積分得)()(21xuxUCCu(一階線性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy0方程3 )()()(xfyxQyxPy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.0) 1( yyxyx的通解為,e21xCxCY 的通解.解解: 將所給方程化為:1111 xyxyxxy已知齊次方程求2) 1() 1( xyyxyx),(e)(21xvxvxyx令利用,建立方程組: 0e21vvxx1e21xvvx,e, 121xxvv解得xxCvxCve) 1(,2211故所求通解為) 1(e221xxCxCyx) 1(e221xCxCx02211vyvy)(2211xfvyvy積分得 目