對數(shù)螺線黃金分割與斐波那契數(shù)列的完美統(tǒng)一

1、對數(shù)螺線、黃金分割j斐波那52數(shù)列的完英統(tǒng)11vol.29 no.4i)m.2oo9第29卷第4期2009 年 12 m對數(shù)螺線、黃金分割與斐波那契數(shù)列的完美統(tǒng)一.方海泉 周鐵軍 桑寶祥 李 偉(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，長沙,410128)摘要農(nóng)文對對數(shù)螺線、黃金分割與斐波那柬數(shù)列之間的關(guān)系進(jìn)行研究，把線段i:黃余分割點的眾義推廣 到射線i的黃金分割點列，發(fā)現(xiàn)過極軸i:任遼：點有且僅佔條特殊的對數(shù)螺線與極軸的交點所成的點列 為黃金分割點列，并把這個點列所對應(yīng)的坐標(biāo)足義為黃金分割數(shù)列，我們發(fā)現(xiàn)旨項為去的黃金分割數(shù)列無 限逼近于斐波那契數(shù)列。關(guān)鍵詞對數(shù)螺線黃金分割斐波那契數(shù)列黃金分割心列the per

2、fect unity of logarithmic spiral, golden sectionand fibonacci sequencefang haiquaii zhou tiejun sang baoxing li wei(scieiice college of hunan 2gnuulhu<il universih , changsha,410028)abstract in thisi lie n-lalionsliip of ihv logaiihtnic spiml golden s*?clion and fil)oiui<(i sc(|uence wa> si

3、 u( lied, andi he dcfiiiihon of golden seclion point of a segmcnl was extended to golden section |x)int list of a ray. vie found dial lhere is only one special logarilhnuc spiral which kisses through any given |)oinl on the |x)iar axis, the intersect ions which i he loga- rilhniic spiral inlcrstcls

4、with tl>e x)lur axis cotislilule a golden xx lion |x>inl list.the ttorrtrsponding coordinate of the |x)inl list was defined as gold seclicnvie also fdiind that the gold seclion m*(pien(e which first knn isiiifinilely ap-jiroxinkde to tlie filxunicci sequeik-e kenvords 【j(>g<iritlimic spi

5、ral (jolden sedioin filxnwcci s<x|ueii<:e (k>ldvn section |x>inl list對數(shù)螺線、黃金分割j斐波那52數(shù)列的完英統(tǒng)11我們知道劉數(shù)螺線是指動點的運動方向始終r極徑保持定角a的動點軌跡，英方程為。 =a e，n' , （ m , a為常數(shù)），0為極角,p為極徑,a二an*taii ； （ a為定義中的定角，是極徑與其切 線的夾角）t。而斐波那契數(shù)列是指數(shù)列fcn: c.=巾二1,5“ = g *二2,3,其通項”盤稻喑期茫防卑5月15 h鈴二篇假設(shè)線段mi' ac二為5 吃 k呼）“-（呼）

6、"2。關(guān)于黃金分割，考慮到方向性,有兩種分割法，第一種分割法如圖1,把一條線段.4用點c分割成ac、bc兩部分，使 廠，則山：可解得心（另根舍丿;），心二邁就是黃金比,這種作法稱為 第一黃金分割法，并把c稱為的第一黃金分割點。另一分割法，如圖2,使第二%，這種 作法稱為第二黃金分割法，把c稱為.4的第：黃金分割點。acbacb圖1線段ab的第-黃金分割圖2線段ab的第二黃金分割我們將線段上黃金分割點的定義推廣到射線上的黃金分割點列，有如下定義：定義1已知射線0x,在射線0x上任取一點.4。,可作一點列,4。，£,42,，4”，,如圖 3,使40是04,的第一黃金分割點，兒是

7、（）a2的第一黃金分割點，.4“"是04”的第一黃金 分割點，則稱點列4。，仏，£，人，為射線0x的第一黃金分割點列，記為二0, 1,2,-,相應(yīng)地可定義第二黃金分割點列4j,n=o,l,2,-,如圖4。o 4）4妁人x圖3射線ox的第-黃金分割點列o bobb2bn x圖4射線ox的第二黃金分割點列站定義2把射線0x看成足正半軸，設(shè)第一黃金分割點列在（）x± 的對應(yīng)坐標(biāo)分別為«0，心，a,-,把它構(gòu)成的數(shù)列稱為第一黃金分割數(shù)列，記為afl, a = 0,1,2,-；相應(yīng)地可定義第二黃金分割數(shù)列fej,/i=0,l,2,-o2定理與證明定理1設(shè)40在0x

8、軸上任意取定的一點，其坐標(biāo)為“°,過/10存在一條對數(shù)螺線p = “° egox軸的交點依次為皿人片人，若4。是0a.的第一黃金分割點，則是0x的第 一黃金分割點列,且這樣的對數(shù)螺線有且僅有一條。證明 設(shè)過.40的對數(shù)螺線為p = a0 ,與0x軸的交點依次為.4°, 41 , a2，九，, 如圖5,可知04。= 6/0,624, = g e2 ,因為已知40是0.4,的第一黃金分割點，所以;茫= .4o 0,41 -（丄仏 0/1。oa |0.4。2,12sn»».1 + i / q 一+n 2m頁？ 04廠二莎巫心頁？"'

9、-心嚴(yán)，e 1 =- = 7，（另 根° ，對數(shù)螺線、黃金分割'j斐波那契數(shù)列的完英統(tǒng)13弓伐<：0舍去),fti = 2：in 1 + = 2111 y = -/丿】"，這樣就求出過£的對數(shù)螺線為p = «0嚴(yán)"這條対數(shù)螺線是唯一的。對數(shù)螺線、黃金分割'j斐波那契數(shù)列的完英統(tǒng)13對數(shù)螺線、黃金分割'j斐波那契數(shù)列的完英統(tǒng)13以下用數(shù)學(xué)歸納法證，當(dāng)n = 1時mo是0.1,的第一黃金分割點，條件已知:假設(shè)當(dāng)n = k 時定理成立，即血是()k的第一黃金分割點；當(dāng)n = a- + 1時，需要證明久是処“的黃金分 曲*

10、 切心注工恥小 ()alt ()ak - ()ak ()alt ()al+l()ak a° 宀g"、割點，則顧要證吋二兀，一処一匚斫'pt 一 1二兀'；。嚴(yán)k -1 =ye;宀 -1二缶，山前血求解知上式成立，所以仏是"的黃金分割點。 a0 1e 1定理2設(shè)仇為0x軸上任意取定的一點，其坐標(biāo)為仏，過仇存在一條對數(shù)螺線(> =仏 嚴(yán)打(八軸的交點依次為仇，血，艮，伉，若bo是()臥的第二黃金分割點，則仇, 血，弘，弘，是ox軸的第 潢金分割點列，且這樣的對數(shù)螺線有且僅有一條。證明 與定理i的證明類似，如圖6,這里的m2 = 2ln，二

11、7;h】* = 2 m o應(yīng)用定理丨易求得第一黃金分割點列4。，£,42,，丸，的坐標(biāo)依次為弘，心=% e2rp,i = a0 , a2 = a0 e4'1 = a0 -4 , ,= «0= aq ，所以第一黃金分割數(shù)列« 1 = «o嚴(yán)、=«0仃， =0,1,2,，易證心亠2。同理川以求的第二黃金分 r割數(shù)列b = j60嚴(yán)"'叮二仏 占,幾=(),i ,2,。當(dāng)心二»時，易知6”堤心的偶子例, 即在首項相同的情況匚第二黃金分割數(shù)列是第一黃金分割數(shù)項的偶f列。定理3設(shè)込和c分別是第一黃金分割數(shù)列和斐波那契數(shù)

12、列，則lim仏-/5</ocj"f x=oo證明當(dāng)心時1+佝（呼）“an -/5aqc = «0 宀"%"o 注（ 2=a0 （丄）"-«o 4）" -（-廠）"因為 0 < r = 號"v 1,所以 lim （ an -/5aocn） = lim «0 （ - r） ' = 0c特別地，當(dāng)g打§時，有下面兩個結(jié)論:(i) lim («n-75aocj= lim (an-clt)=0,由此可知廳項a0 = y-的第一黃金分割數(shù)列“f 4- xnf * xj

13、 5"“無限逼近于斐波那契數(shù)列“。(2)由前面計算可知去(- r)", x 1,2,3,，當(dāng)"為偶數(shù)時,0 v -二人廠”< 1 ,因為g,為整數(shù)，所以=仃；當(dāng)幾為奇數(shù)時，atl - cn -言廠'，因為()< c - a丿；廠<1,而“為整數(shù)，所以% + 1二g定理4設(shè)血和仏分別是第 潢金分割數(shù)列和斐波那契數(shù)列的偶子列，則lim ( b - f|f 85 60 c2) =0<>證明因為b = bo嚴(yán)勺二古,c2n二去牡）"-（-廠）",九-處2"二仏古-、乃 bqk丄）-（-/*）'" =厶o r2"，而 0 < r = ' v 1,所以 lim （ bn -/5 60c2n） = lim 60j 5 廠z“f > x“f + *特別地，當(dāng)時，類似地有下面兩個結(jié)論:r2n =0o對數(shù)螺線、黃金分割'j斐波那契數(shù)列的完英統(tǒng)132n(1) lim ( b -75 60<*->w)= lim (伉-cq”)二0,即首項60 = y-的第二黃金分割數(shù)列仏”無 限逼近于斐波那契偶子列ic2 o