線性代數(shù)基礎(chǔ)知識測試題

1、09級線性代數(shù)(A)階段練習(xí)題11311.矩陣A31 347則 R(A：A 313 404615980461222.設(shè) A 4t3 ,B為三階非零矩311122解:A定非可逆陣,因此A4t3311一、填空題2.3.若四階矩陣A的秩R(A)111317 :0467,R(A) 270000:，且ABOJ則t3 .7t210,t3 .2,則R(A*) 0 .(見證明題5)4.已知向量組線性無關(guān)2時,4線性相關(guān).解:11100k0102k10k21若矩陣K非奇,線性無關(guān).而1000k2k1k2k0k210k21110111則1 ，2，3 ，4K2(k 2)1,2 ,30,5.

2、若向量組線性無關(guān)，則向量組2 3,3線性無關(guān).解:1 00(12233,223,3)(1 ,2 ,3 )2103231 0 012233 ,223 ,32 1010, K為非奇矩陣，故向量組3 21線性無關(guān).6.若向量組1,2,3,4線性無關(guān)，向量組1線性相關(guān).解：10 0 14,41110 00 1100 0 11其中K10 0 1110 00 1100 0 11110,故向量組12，23，34,41線性相關(guān).7.向量組 1(1,1, 0)T, 2(2, 0,1)T3(2, 5, t)T,當(dāng) t1 , 2線性表示.解：1, 2線性無關(guān)，只有當(dāng)向量組12 , 3線性相關(guān)時3可由1性表示.此時1

3、221052 5 2t 0, t01t2 38.線性方程組2X1 4X3 6X4 0的基礎(chǔ)解系為12 , 233x2 6x3 9x40100 1解：對方程組的系數(shù)陣進行初等變換2046:10230369:0123原方程組與 x12x33x4同解，令x3取1和 0 ，可得方程組的基礎(chǔ)解x22x33x4x401讀 1 2 2T1 0T,2330T1T.9. 四元方程組 Axb 中 R(A) 3，1, 2,3 是它的三個解 . 其中(2, 0,3, 2)T,2 2 3 3(5, 8, 8, 4)T ,則方程組 Axb 的通解為 c520 存在基礎(chǔ)解系 （ 只有一個線性無關(guān)的解向量 ）.62A(2 2

4、 3 3 5 1)2A 2 3A 35A 1 2b 3b 5b 051052 23 351808是 Ax 0 的基礎(chǔ)解系81574106528Ax b 的通解為 c07362解: R(A) 3， Ax10.向量空間 V x （0, X2 丄，Xn）T|x2,L ,Xn R的維數(shù)是 n 1 .二、選擇題1. 下列矩陣中（ C ）是初等矩陣 .101001100110(A) 020;(B)014; (C) 014;(D) 01 1 .001100001001a1b1a1b2a1b3a1b42. 設(shè) ai0,bi0, i1,2,3, 4,矩陣 Aa2b1a2b2a2b3a2b4 ，則矩陣 Aa3b1

5、a3b2a3b3a3b4a4b1a4b2a4b3a4b4的秩 R(A) ( A)(A) 1；(B) 2;(C) 3;(D) 4 .事實上a1a2a3a4b2 b3 b4 , R(A) 1 .3.向量組4線性無關(guān)，以下(D)組向量線性無關(guān).(A)12 ,23 ?34 ,41 ;(B) 12 ,23 ,(C)12 ,23)34 ,41 ;(D) 12 ,23 ,10011001100111000,11000,1100011001100110001100110011330,1 ?2，3 ,11000110001110012 .因此應(yīng)選(D).4.向量組3線性無關(guān),1也線性無關(guān)，則,t滿足(B).(A

6、) t;(B) t;(C)1；(D)2t .事實上(3)即 t .故應(yīng)選(B).1 25.矩陣Q 2 43 6P為三階非零矩陣且PQO ,則有(C).(A) t 6 時,R(P)(B) t 6 時,R(P)(C) t 6 時,R(P) 1 ; (D)t 6 時,R(P) 2123將矩陣P按列分塊為 P (p1 , p2 , p3), Q 24t,PO.當(dāng)t 6時369R(Q) 1 , R(P)可以是1,也可以是2. (A)、B)斷言R(P) 1或R( P) 2并無依據(jù). 當(dāng) t 6 時， R(Q) 2 . Q 的諸列均為 Px 0 的解，其一、三列線性無關(guān)，即Px 0 有兩個線性無關(guān)的非零解,

7、當(dāng)有 R(P) 1 ；又因 P O ,又有 R(P) 1因此必有 R(P) 1. 選 (C) .6.齊次線性方程組 Ax 0( A為m n矩陣)僅有零解的充分必要條件是(B) .(A) A 的列向量組線性相關(guān) ;(B) A 的列向量組線性無關(guān) ;(C) A的行向量組線性相關(guān)；(D) A的行向量組線性無關(guān).事實上(A)、(C)、(D)可能無解.x12x2x3x402x1x2x30的基礎(chǔ)解系中有 ( ) 線性無2x14x22x32x403x13x2x407. 齊次線性方程組關(guān)的解向量 .(A) 一個；(B)兩個；(C)三個；(D)四個121121102 4223 30112110332,n 4,R

8、(A) 2 ,因此基礎(chǔ)解系中有00000000兩個線性無關(guān)的解向量,選 (B) .8. 設(shè)有線性方程組 Ax b (1) 和對應(yīng)的齊次線性方程組 Ax 0 (2) 則必有(B) .(A)若(1)有無窮多解則(2)僅有零解；(B)若(1収有唯一解則(2)僅有零解（C）若（2）有非零解則（1）有無窮多解；（D）若（2）僅有零解則（1）有唯一解9. 已知n元線性方程組Ax b，系數(shù)陣的秩R（A） n 2,2, 3是方程組線性無關(guān)的解，則方程組的通解為（D） .（ ,02為任意常數(shù)）(A) &( 12)C2( 21) 1 ;(B) C1( 13)C2(23)3 ；(C) °1( 23

9、)C2(32 ) 2 ;(D) G( 23 )C2( 21 )3 .10.由R18372 3 0 75A 25801 03201032001217：000016000014的基1 ,2 ,3到基1123 ,2122 3 ,323 的過渡矩陣為（D）1 1110(A) 011;(B)111 3211三、計算題21 83723 0751.矩陣A32 58010 32011111 103;(C) 112;(D)11120111 21,求矩陣A的秩，寫出A的一個最高階非零子式解:103200121703635024201032001210(*)0000100000由(*)知 R(A) 3 . A 的

10、1,2,4 行 1,2,5217列所在的三階子式23516 01002. 給定向量組：1 (1,2, 3,1)T, 2 (3, 1,2, 4)T, 3 ( 1,2,1, 3)T,4 ( 2, 3,1, 5)T, 5(2,1, 5, 4).(1)求向量組1, 2, 3, 4, 5的秩，并判斷該向量組的線性相關(guān)性;(2)求該向量組的一個最大無關(guān)組解：并把其余向量用最大無關(guān)組線性表示131(1,5)2122 ,3 ,4 ,32114313122130747301:00002 :000000500由(*)知R(1 ,2 ,3 ,4,5)3354_ 1 _ 277221312231 :0747315 *

11、0747154074721201051074410 :0110 (*)770010000100000000向量組線性相關(guān). 1, 2,5是向量組的41 2一個最大無關(guān)組，且有:3(1, 1,a 2,1)t，3. 已知 1(1,0, 2, 3)T,2(1,1,3, 5)T不能表示為4(1,2, 4, a 8)t,(1,1, b 3, 5)T ,當(dāng)a,b為何值時,有 1 , 2 ,3,4的唯-一線性表達式，與出該表達式.解:設(shè)A(1 , 273 ,4 ),1111111 1 11(A0)2112101 1 213a 24b 3:01a2b 1351a 85022 a 521021001121(*)

12、00a 12b 1000a 12(1)當(dāng) a1,b0時，R(A) 23R(A,),方程組Ax無解.故不(1)當(dāng)a,b為何值時,1 ，2，3,4的線性組合;能表示為1,2,3,4的線性組合.當(dāng)a 1時，R(A) 4 R(A,),方程組Ax有唯一解.由Cramer法則可得：人禽，X2獸，X3角,X4 0.此時有2, 3, 4的唯 一線性表達式：(2, 1,1,3)T, 2(9, 5,2,8)t,AT1T2均為方程組bab1ba 1 1a123 .a 14.設(shè) A 2213,求一個4 2矩陣B，使AB O，且R(B) 29528Ax 0的解.2 2131 3241324085 111 324511

13、:0 18811X1X3X4與(*)對應(yīng)的方程組為88511X2X3X488礎(chǔ)解系 1(8,8,1,0)t(2101188(*)5110188，令X3取1知和0 ，得到方程組的基X4011,11,0,1)8 8顯然1 , 2線性無關(guān)，令B ( 1 , 2), R(B) R( 12)2 ,且有 AB O .5.向量組1, 2,L , s線性無關(guān)，112, 2試討論向量組1, 2丄，s的線性相關(guān)性.解:設(shè)有數(shù) k1,k2,L ,ks 使得 k1 1 k2 2 L s 0 ,即有:(k1 ks) 1 (k1 k2)2 L(ks 1ks) s 0 .由于1, 2丄，s線性無關(guān)，故必有5 05 0L.0

14、(*)100L1110L0D011L01 ( 1)MMMM000L12,當(dāng)s為奇數(shù)0,當(dāng)s為偶數(shù)當(dāng)s為奇數(shù)時，D 2 0,方程組(*)只有零解,ki, k2丄，ks必全為零,向量組1, 2丄，s的線性無關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時，D 0 ,方程組(*)有非零解,即存在不全為零的數(shù)ki,k2,L ,ks使ki 1 k2 2 L0 ,向量組線性相關(guān).2xi 3x26.用基礎(chǔ)解系表示方程組 3x1 5x28x1 7x2解:對方程組的系數(shù)陣施行初等行變換2x3 x404x3 2x40的通解.6x3 3x40232123A 3542 :188763019186310147:011919 :01000000X1(*

15、)所對應(yīng)的方程組為X221186363 :01914 7147000 0211919147(*)19190021X3X41919與原方程組同解令147X3X1919右1,0)二2 (右右O'1)原方X3取1和0X4012得到基礎(chǔ)解系：1( 19kikiLki方程組(*)的系數(shù)行列式程組的通解為：X G 1 C2 2(C1 , C2為任意實數(shù)).7.用對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解讀表示方程組x1 2x2 x32x4 12x1 4x2 x3x45 的x1 2x2 2x3x44通解.解:對方程組的增廣矩陣施行初等行變換152311152311(A,b)53611 :028414562421601

16、42728913 112 (*)0由(*)知 R(A) R(A,b)2 ,方程組有解.%(*)所對應(yīng)的方程組為91X3x4172,令X311X4X3x4272得到方程組的特解91X1- X3 X4(1, 2, 0, 0)T.原方程組所對應(yīng)的齊次方程組與72同解.令11X2X3X472x 1 0x4取。和1，得到對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系(幕,1,0)丁212，0,1)原方程組的通解為:XC1 1C2 2 ( C| , C2為任意實數(shù)).8.給定線性方程組3x1X2X3 2x4Xi5x2 2x3 x42x 6x2 3x3 3x4x1 1 1x2 5x3 4x44當(dāng)a為何值時方程組有解？在有解的情況

17、下，求其全部解.當(dāng) a 2 時，R(A) R(代b)解:對方程組的增廣矩陣施行初等行變換令:0,得到方程組的特解忌1>°)T.與原方程組對應(yīng)的齊次方3112215211(A,b)15211 ：0167552633a 1 :01675a 31115440167551521110399161616016755:01755(*)0000a 2 :161616000000000a 2000002 ,方程組有解.(*)對應(yīng)的方程組為399X3X4161616755X3X161616x礎(chǔ)解系：1 C3,1,0)T, 2 e9,0,1)T16 16 16 16X2原方程組的通解為:3 9x3

18、人10程組與1616同解，令x3取 和 ，得到對應(yīng)齊次方程組的基75x401X3X41616X * G 1 C2 2 (C| , C2為任意實數(shù)).x1 x2 2x3 3x4 19.當(dāng)a,b取何值時，線性方程組Xl 3X2 6X3 X 3無解，有唯一解,3x1 x2 ax3 15x43X 5X2 10X3 12X4 b有無窮多解 ? 在方程組有無窮多解時， 用對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系表示方程 組的通解 .解 : 對方程組的增廣矩陣施行初等行變換11231112311361302422(A,b)31a153:04a660151012b06129b11123110040:0121101211(*

19、):04a66000a22406129b10003b1當(dāng)a 2時，R(A) R(代b)，無論b取何值，方程組有唯一解當(dāng)a2,b 1時1004001211(*)000120000b1此時 R(A)34R(A,b) ,方程組無解當(dāng)a2,b 1時，1004001211(*)00012:0000010008012030001200000X18.此時原方程組與 x2 3 2x3 同解,令R(A) R(A,b) 3 4 , 方程組有無窮多解x4 2x3 0 , 得到方程組的特解：( 8, 3, 0, 2)T . 與原方程組對應(yīng)的齊次方程組與x1 0x22x3 同解，令 x3 1 ，可得基礎(chǔ)解系： (0,

20、2,1, 0)T .x4 0方程組的通解為：x * c (c為任意實數(shù)).10. 已知R3的兩個基為1111231 1 ,20,30 及 12,23 , 34，111143求由基1,2 ,3 到基1, 2 ,3 的過渡矩陣 P .解設(shè) A ( 1, 2,3),B( 1,2,3) , A,B的列向量組是兩個基, 因此矩陣A, B 均為可逆矩陣. 設(shè) ( 1, 2 ,3)( 1,2,3)P , 過渡矩陣 PA 1B111123111123(A,B)100234:011111111143020020100234100234011111:010010002202001101234因此從基 1,2,3到

21、基 1, 2,3 的過渡矩陣P0101 0 1四、證明題1.設(shè)A為列滿秩矩陣，AB C ,證明線性方程Bx 0與Cx 0同解. 證:若 是 Bx 0 的解 , 當(dāng)有 B 0 , 于是 C A(B ) A0 0 .這說明Bx 0的解必為Cx 0的解；若是Cx 0的解，A(B ) C 0,矩陣A列滿秩，由 (P77 定理 4 的逆否命題 )方程組 Ay 0 只有零解，即 B y 0,說明Cx 0的解也是Bx 0的解，因此線性方程組Bx 0與Cx 0同解.2.設(shè)A為m n矩陣，證明方程AX Em有解的充分必要條件是 R(A) m .證 : 由 于 R(A,Em) m , 根 據(jù) P77 定 理 6 方 程 AX Em 有 解R(A) R(A,Em) m .3. 設(shè)i, 2 ,L , n是一組n維向量，已知n維單位坐標向量色丄，en能由它們線性表示，證明 1 ,2,L , n 線性無關(guān) .證：設(shè) A ( 1,2丄