2015全國卷1文數(shù)精校完整解析版

1、2015 全國卷I (文科數(shù)學(xué))1 . A1 2015 全國卷 I 已知集合 A= xX= 3n + 2, n N, B = 6 , 8, 10, 12, 14，則 集合An B中元素的個(gè)數(shù)為(A .C.5, 8, 11, 14, 17,，所以 A A B = 8 , 14，所以 A n B1. D 解析集合A= 2 , 中有2個(gè)元素.2.F1、F2 2015 全國卷 I 已知點(diǎn) A(0, 1), B(3, 2)，向量 AC = ( 4, 3)，則向量 BC)(7, 4) B . (7, 4)(1, 4) D. (1 , 4)2.A 解析AB= (3,1),BC = AC AB= ( 4, 3

2、) (3, 1) = ( 7， 4).3.A .C.L4 2015全國卷I 2 i B. 2+ i 2 i D . 2 + i已知復(fù)數(shù)z滿足(z 1)i = 1 + i，貝U z=()3. C解析設(shè)復(fù)數(shù) z= a+ bi(a, b R),代入(z 1)i = 1 + i 得(a 1 + bi)i = 1 + i,即一b+ (a 1)i = 1 + i.根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得b= 1，得 a= 2, b= 1,所以復(fù)數(shù) z= 2 i. a1=1,4. K22015全國卷I 如果 個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從 1, 2, 3, 概率為(3A A.103個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這34, 5中

3、任取3個(gè)不同的數(shù)，則這 3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的4. C5), (1 , 3,)1B.11D云解析從1 , 2, 3, 4, 5中任取3個(gè)不同的數(shù)有(1 , 2, 3), (1 , 2, 4) , (1 , 2 ,4) , (1, 3 , 5) , (1 , 4 , 5) , (2 , 3 , 4) , (2 , 3 , 5) , (2 , 4 , 5),(3,4, 5)，共 10種取法，其中只有(3 , 4 , 5)是一組勾股數(shù),所以構(gòu)成勾股數(shù)的概率為丄.105. H5、H72015 全國卷I拋物線C: /= 8x的焦點(diǎn)重合,A .C.B . 6D . 1212，A, B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交

4、點(diǎn)，貝U |AB|=(已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為E的右焦點(diǎn)與2= 8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 0),準(zhǔn)線方程為x= 2,2:，所以a = 4，于是b2= 12,則橢圓的方程為 需+ 12 是C的準(zhǔn)線x= 2與E的兩個(gè)交點(diǎn)，把 x= 2代入橢圓方程得 y= ±3,所以|AB|= 6.6. G122015全國卷I 九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如5. B 解析焦距c= 2又離心率拋物線C:c 2e=a a即橢圓的半2=1A, BD127. BC. 10率約為3,估算出堆放的米約有（）圖1-16. B 解析米堆的體積即為四分之一的圓錐的體積，設(shè)圓錐底面半徑為r,貝則

5、1 X 2n r=8，得r =西，所以米堆的體積為1X1 n r2X 5-竽（立方尺）,竽十1.62- 22（斛）.n34997. D22015全國卷I 已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和.若S8 = 4Si,貝V a10=（）1191 +(10-1) X 仁"2-.8. C42015全國卷I 函數(shù)f（x） = cos（®x+ ©的部分圖像如圖1-2所示，則f（x）的單調(diào)遞 減區(qū)間為（）A . 14 斛 B . 22 斛C . 36 斛 D . 66 斛17A.y19B.Q8 X 74 X 31解析由 S8= 4S4,得 8a1+X 1 = 4 4

6、a1 +X 1 ,解得 a1 =-，所以 ae =圖1-2A. | k n 4,kn +3 , k ZB. 2k n -4，2kn +3 , k ZC. k-4, k+ ；，k ZD. 2k-； 2k+ 4 , k ZT 5 12 n& D 解析由圖知T = 4-1= 1，所以T= 2，即-!= 2，所以w= ±n .2 4 4| co |下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？ ”其意思為：“在 屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖1-1，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一 ），米堆底部的弧長為 8尺，米堆的 高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？ ”已知 1斛米的體積

7、約為1.62立方尺，圓周因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像過點(diǎn)1, 0 ,所以當(dāng) 3= n 時(shí)，-4 +()= -2 + 2k n , k Z ,%+ 2kn , k Z ;4當(dāng) 3= r3nn 時(shí)，+(= + 2k n ,k Z,解得n$= + 2kn , k Z.4所以n n13f(x) = COS n x+ "4，由 2k n < n x+ < n + 2k n 解得 2k 4<x<2k+ 4, k Z,故選7tD.9.( )L1 2015全國卷I 執(zhí)行圖1-3所示的程序框圖，如果輸入的t = 0.01，則輸出的n =A .C.9.循環(huán)6次后B . 6D . 8解析

8、經(jīng)推理分析可知,1 1S的值變?yōu)長 -圖1-3若程序能滿足循環(huán)，則每循環(huán)一次,.一 1 1S的值減少一半,26=64>0.01，循環(huán)7次后s的值變?yōu)榇?長8<0.01，此時(shí)不再滿足循環(huán)的條件，所以結(jié)束循環(huán)，于是輸出的n= 7.10.B6、2x1 2, x< 1,B72015全國卷I已知函數(shù) f(x)= log2(x+ 1), x>1，且 f(a) = -3,則 f(6a)=()75A .4B. 431C.4D . 110. A 解析因?yàn)? =126,得 n = 6. 214. B122015全國卷I 已知函數(shù)f(x) = ax3 + x + 1的圖像在點(diǎn)(1, f(1)

9、處的切線過點(diǎn)(2, 7)，貝H a=.14. 1 解析因?yàn)閒'(x) = 3ax2+ 1，所以函數(shù)在點(diǎn)(1, f(1)，即點(diǎn)(1, 2 + a)處的切線的 2> 2恒成立，所以可知a>1,于是由f(a)= log2(a+ 1)= 1 173 得 a= 7,所以 f(6 a) = f( 1) = 2 2 =孑(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，16+ 20 n ，貝U r11. G22015全國卷I 圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖1-4所示.若該幾何體的表面積為=(A .C.11 .正視圈俯視圖圖1-4B. 2D . 8解析由三視圖可知，此組合體

10、的前半部分是一個(gè)底面半徑為r的半球，其中半圓柱的一個(gè)底面與半球的半個(gè)圓r，高為2r的半圓柱(水平放置)，后半部分是一個(gè)半徑為面重合，所以此幾何體的表面積為2r 2r + * n r+ a 一 7斜率k= f)(1) = 3a+ 1又切線過點(diǎn)(2,7)，則經(jīng)過點(diǎn)(1,2+ a), (2,7)的直線的斜率 k=,+ n r2+ n r 2r + 2 n r2= 4r2 + 5 n r2= 16 +20 n，解得 r = 2.12. B6、B72015全國卷I 設(shè)函數(shù)y= f(x)的圖像與y= 2x+a的圖像關(guān)于直線 y= x對 稱，且 f( 2) + f( 4) = 1,貝U a=()A .C.1

11、2. C 解析在函數(shù)y = f(x)的圖像上任設(shè)一點(diǎn)P(x, y),其關(guān)于直線 y= x的對稱點(diǎn)r y) yJ= 1,x x為 P'(x', y'),則有x)= y,+解得/由于點(diǎn)P)(x), y )在函數(shù)y= 2x+ a的圖y = x.丨寧+兮=0, 2 2像上，于是有一x= 2 y+a,得一y+ a = log2( x)，即 y= f(x) = a log2( x)，所以 f( 2) + f( 4) = a log22+ a log24= 2a 3 = 1,所以 a= 2.13. 2015全國卷I 在數(shù)列an中，126，則ai = 2 , an +1 = 2an,

12、Si 為 an的前 n 項(xiàng)和.若 Sn =2，所以Sn =13. D36 解析由a1= 2, a*+1 = 2a*可知數(shù)列 an為等比數(shù)列，公比為2 (1 2n)2+ a 7所以 3a + 1 =-,解得 a = 1.1 2rx+ y 2< 0,15. E52015全國卷I 若x, y滿足約束條件*x 2y+ 1 < 0,貝V z= 3x+ y的最大值為Fx y+ 2 > 0,15. 4解析作出約束條件表示的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線平移至經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)A(1, 1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，故 zmax = 3X 1 + 1 = 4.216. H62015全國卷I 已知

13、F是雙曲線C: x(2) 由(1)知 b = 2ac.因?yàn)锽 = 90°，所以由勾股定理得a2 + c2 = b2.故 a2 + c2= 2ac,得 c= a= 2,所以 ABC的面積為1.18. G52015全國卷I 如圖1-5，四邊形 ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE丄平面ABCD .(1) 證明：平面 AEC丄平面BED ;書=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn),A(0, 6乖)，當(dāng) APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為 .16. 12 6 解析由已知得a= 1 , c= 3,則F(3, 0), |AF|= 15設(shè)F1是雙曲線的左焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有 |PF| |PF1

14、|= 2,所以 |PA|+ |PF|=|PA|+ |PF1|+ 2> |AF1|+ 2 = 17,即點(diǎn) P是線段AF1與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，|PA|+ |PF|=|FA|+ |PF1|+ 2最小，即 APF周長最小，此時(shí)，sin/ OAF =右 cos/ FAF = 1 2sin2Z OAF =賽，即有 sinZ PAF =埒.由余弦定理得 |PF|2= |PA|2+ |AF |2 2|PA|AF|cosZ PAF,即(17 |PA|)2= |PA|2 + 152 2|PA|X 15X 23 ,解得 |PA|= 10, 25 apf= |PA| - |AF| - sin/ PAF =才 10

15、X 15X 器=12 ,6.217. C5、C82015全國卷I 已知a, b, c分別是 ABC內(nèi)角 A, B, C的對邊，sin B =2si n Asin C.(1) 若 a= b,求 cos B;若B= 90°，且a= 2, 求厶ABC的面積.17. 解：(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2= 2ac.又a= b，所以可得b= 2c, a = 2c.由余弦定理可得cos B=2.2 a + c b2ac14.，求該三棱錐的側(cè)面積.若/ ABC = 120° ,18. 解：證明：因?yàn)樗倪呅?ABCD為菱形，所以 AC丄BD.因?yàn)锽E丄平面 ABCD，所以 AC丄BE，故AC

16、丄平面 BED. 又AC?平面 AEC，所以平面 AEC丄平面 BED.3 x設(shè) AB = X,在菱形 ABCD 中，由/ ABC= 120°，可得 AG = GC = -x, GB = GD =.因?yàn)锳E丄EC,所以在 Rt AEC中，可得 EG =BE =由BE丄平面ABCD，知 EBG為直角三角形，可得由已知得，三棱錐 E - ACD的體積Ve - acd = 3X ：AC GD BE =弟3 =中,故x= 2從而可得 AE = EC= ED = 6,所以 EAC的面積為3, EAD的面積與厶ECD的面積均為.5.故三棱錐E - ACD的側(cè)面積為3+ 2,5.19. 14201

17、5全國卷I 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響.對近8年的年宣傳費(fèi)Xi 和年銷售量yi（i = 1, 2，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.620fiOO救50034 36 33 40 42 44 46 48 50 52 54 56年迸搐如千元圖1-6xyw錯(cuò)誤！ (Wi w )(yi - y)46.65636.8289.81.61469108.81 8其中 Wi = ,Xi , w = Wi.8；=根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y= a+ bx與y = c+哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)

18、x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由 )根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.(3) 已知這種產(chǎn)品的年利潤 z與x, y的關(guān)系為z= 0.2y x.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x = 49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？(ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(Ui,Vi),(U2,V2),，(Un,Vn)，其回歸直線V = a+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為3 =錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！ = V錯(cuò)誤!u.19. 解：(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y= c+ d,x適宜作為年銷售量 y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸 方程類型.(2) 令w = .x,先建立y關(guān)于w

19、的線性回歸方程.由于dA =錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！ = 68,c= y d"w = 563 68x 6.8= 100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y = 100.6+ 68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為$= 100.6+ 68：Jx.(3) (i)由知，當(dāng)x = 49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y = 100.6 + 6849= 576.6,年利潤z的預(yù)報(bào)值Z= 576.6X 0.2 49= 66.32.(ii)根據(jù)的結(jié)果知，年利潤 z的預(yù)報(bào)值Z= 0.2(100.6 + 68 x) x= x + 13.6 x + 20.12,所以當(dāng) 小=罟=6.8，即x = 46.24時(shí)，z取得最大值.故年宣

20、傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.220. H1、H3、H42015全國卷I 已知過點(diǎn)A(0, 1)且斜率為k的直線I與圓C: (x 2) + (y 3)2= 1 交于 M, N 兩點(diǎn).(1) 求k的取值范圍；(2) OM -赤=12，其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.20. 解：(1)由題設(shè)，可知直線I的方程為y = kx+ 1.因?yàn)镮與c交于兩點(diǎn)，所以|2k 3 +J<1 ,所以k的取值范圍為.設(shè) M（X1, y1）, N（X2, y2）.將 y= kx+ 1 代入方程(x 2)+ (y 3)2= 1，整理得(1 + k2)x2 4(1 + k)x + 7= 0,所以x1 +

21、x2 =4 (1 + k) -1 + k27，x1x2= 1+k2，OM ON = x1x2 + y1y2 =(1 +)x1x2+ k(X1 + X2)+14k (1 + $)1 + k2 * *卜8.4k ( 1 + k)由題設(shè)可得 2 + 8= 12,解得k= 1,所以直線I的方程為y= x+ 1.1 + k故圓心C在直線I上，所以|MN|= 2.2x21. B9, B11, B122015 全國卷 I 設(shè)函數(shù) f(x) = e aln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；2證明：當(dāng) a>0 時(shí)，f(x) > 2a + aln：.a2x a21. 解：(

22、1)f(x)的定義域?yàn)?0,+ ), f'(x)= 2e x(x>0) 當(dāng)aw 0時(shí)，f (x)>0, f'(x)沒有零點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，一-單調(diào)遞增，所以f'(X)在(0, + )上單調(diào)遞增.又f (a)>0,xa1當(dāng)b滿足0<b<4且b<4時(shí)，f (b)<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f' (x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明：由(1)可設(shè)f'(x)在(0, +)上的唯一零點(diǎn)為 X。.當(dāng)x (0, X。)時(shí),f '(x)<0 ;當(dāng)x (x°, + )時(shí)，f'(x)&

23、gt;0.故f(x)在 (0, X°)上單調(diào)遞減，在(X0,+m )上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x= X0時(shí)，f(x)取得最小值， 最小值為f(x0).aa22由于 2e2x°= 0,所以 f(X0)=+ 2ax°+ aln->2a+ alnX0(2) 若OA = 3CE，求/ ACB的大小. 2x0aaCl圖1-722. 解：證明：連接 AE,由已知得，AE丄BC , AC丄AB.在 Rt AEC 中，由已知得， DE = DC,故/ DEC = Z DCE. 連接 0E,則/ OBE = Z OEB.又/ ACB + Z ABC = 90 ° ,所以/

24、DEC + Z OEB= 90°，故/ OED = 90°,即 DE 是O O 的切線.(2)設(shè) CE = 1, AE = x,由已知得 AB= 2 3, BE = 12-x2. 由射影定理可得，AE2= CE BE,所以x2= 12 x2,即卩x4 + x2- 12= 0,可得x=，所以/ ACB = 60° .23. N32015全國卷I 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1: x= 2,圓C2： (x 1)2 + (y 2)2= 1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極 點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1) 求C1, C2的極坐標(biāo)方程；n(2) 若直線C3的極坐標(biāo)方程為 B=T(p R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M , N，求 C2MN的 面積.23. 解：(1)因?yàn)閤= pcos 0 , y= psin 0，所以C1的極坐標(biāo)方程為pcos 0 = 2, C2的極