大學物理習題答案第十五章(共7頁)

1、    習題解答 15-3如果粒子的波函數(shù)為y(x, y, z)，試求出在x到x+dx、y到y(tǒng)+dy、z到z+dz 范圍內(nèi)找到粒子的概率的表達式。解在題意所述范圍內(nèi)找到粒子的概率為 .15-4如果粒子的波函數(shù)為y(r, q, j)，試求：(1)在r到r+dr的球殼內(nèi)找到粒子的概率；(2)在(q, j )方向上、在dW = sinqdq dj立體角內(nèi)找到粒子的概率。解(1)在r到r+dr的球殼內(nèi)找到粒子的概率= .(2)在(q, j )方向上、在dW = sinqdq dj立體角內(nèi)找到粒子的概率為.15-5試寫出下面兩種情況下粒子的定態(tài)方程：(1

2、)自由粒子；(2)在有心力場中運動的粒子。解(1)自由粒子的動能為 ，寫成算符為 .因為在這種情況下，粒子的動能就是粒子的總能量E，所以定態(tài)薛定諤方程為,即,或.(2)當粒子在有心力場中運動時，粒子的能量應(yīng)為,哈密頓量應(yīng)寫為.式中A是與有心力場有關(guān)的常量。將上式代入定態(tài)哈密頓方程的一般形式中，得,整理得.15-6如果可以將氫原子看作無限深勢阱，電子就被幽禁在這樣的勢阱中?，F(xiàn)已知氫原子的線度為10-10 m，試求電子處于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量。解根據(jù)無限深勢阱的能量表達式(15-49)，可以將電子的能級寫為,  將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式，得.基態(tài);第一激發(fā)態(tài).15-7如果可以將氘核

3、看作無限深勢阱，質(zhì)子和中子就被幽禁在這樣的勢阱中。現(xiàn)已知氘核的線度為10-14 m，試求質(zhì)子和中子處于基態(tài)的能量。解將質(zhì)子和中子的質(zhì)量(、)以及有關(guān)數(shù)據(jù)代入無限深勢阱的能量表達式(15-49)，可以得到：質(zhì)子基態(tài)的能量為,中子基態(tài)的能量為.15-8在寬度為a的一維無限深勢阱中，當粒子分別處于狀態(tài) y1和 y2時，發(fā)現(xiàn)粒子的概率最大的位置在何處？解處于無限深勢阱中粒子的本征波函數(shù)可以表示為,  當粒子處于狀態(tài)時，發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度為.對上式求極值,即,(1)由此解得, (2)在勢阱范圍內(nèi)、并使式(1)得到滿足的m值只能是0、1、2。因為當m為0和1時，x = 0和a，波函數(shù)及其概率密度

4、都等于零，對應(yīng)于概率密度極小值。所以能滿足概率密度極大值的只能是m = 1，此時。當粒子處于狀態(tài)時，發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度為 .對上式求極值,即，故得.在勢阱范圍內(nèi)、符合概率密度極大值條件的m是1和3，即和  .15-10求一維線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位置。解一維線性諧振子波函數(shù)的一般形式為,式中An是常量，可用歸一化條件確定，在此與我們的題目無關(guān)。變量x由下式表示, m是諧振子的質(zhì)量。在第一激發(fā)態(tài)，波函數(shù)為 .對概率密度取極值.得到符合極大值條件的解為,即 .15-11試求處于基態(tài)的氫原子的平均半徑，并與玻爾半徑作比較。解處于基態(tài)的氫原子波函數(shù)為,式中a就是玻爾半徑a0。半徑r的平均值可以表示為 .這表示，基態(tài)氫原子的平均半徑等于玻爾半徑的3/2倍，這是由于電子概率的徑向分布的極大值正好處于玻爾半徑a0處，并且在峰值兩側(cè)分布情況是不對稱的，如教材中圖15-8左上角第一幅圖所表示的那樣。15-12試證明處于基態(tài)的氫原子的平均勢能等于其基態(tài)能量的2倍。解處于基態(tài)的氫原子的勢