初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑼(免費(fèi))

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第 9 講 應(yīng)用問題選講我們知道，數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科。 我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的， 一方面是為學(xué)習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)知識(shí)打下一個(gè)基礎(chǔ)， 更重要的是為了現(xiàn)在和將來運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些日常生活、 科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中所遇到的實(shí)際問題。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基本思路是： 先將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題（我們稱之為建立數(shù)學(xué)模型），然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問題，從而解決這個(gè)實(shí)際問題。即：這里，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵的一步。也就是說，要通過審題，將實(shí)際問題與自己學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)、 數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來， 將其歸結(jié)到某一類型的數(shù)學(xué)問題， 然后解答這個(gè)數(shù)

2、學(xué)問題。下面介紹一些典型的數(shù)學(xué)模型。一、兩個(gè)量變化時(shí)，和一定的問題兩個(gè)變化著的量， 如果在變化的過程中， 它們的和始終保持不變， 那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個(gè)變化著的量， 如果在變化的過程中， 和始終保持不變， 那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時(shí)，積最大。這個(gè)規(guī)律對(duì)于三個(gè)和三個(gè)以上的變量都是成立的。例 1 農(nóng)民叔叔阿根想用 20 塊長(zhǎng) 2 米、寬 1.2 米的金屬網(wǎng)建一個(gè)靠墻的長(zhǎng)方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于 2 米，要使雞窩面積最大，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)是多少？解：如上圖，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為x 米和

3、 y 米，則有優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載x2y 1.2 ×2024。長(zhǎng)方形的面積為因?yàn)?x 和 2y 的和等于 24 是一個(gè)定值，故它們的乘積當(dāng)它們相等時(shí)最大， 此時(shí)長(zhǎng)方形面積 S 也最大。于是有x=12， y 6。例 2 如果將進(jìn)貨單價(jià)為 40 元的商品按 50 元售出，那么每個(gè)的利潤(rùn)是 10 元，但只能賣出 500 個(gè)。當(dāng)這種商品每個(gè)漲價(jià) 1 元時(shí)，其銷售量就減少 10 個(gè)。為了賺得最多的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個(gè)商品售價(jià)為（ 50+x）元，則銷量為（ 500-10X）個(gè)。總共可以獲利 :（50x-40 ）×（ 500-10x ）=10×（ 10+X）

4、5;（ 50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60 為一定值，故當(dāng) 10+X=50 X 即 X=20時(shí)，它們的積最大。此時(shí)，每個(gè)的銷售價(jià)為5020=70（元）。例 3 若一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為 54 厘米 2，為了使長(zhǎng)方體的體積最大，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各應(yīng)為多少厘米？解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為 x， y， z 厘米，體積為 V 厘米 3。2（xy yz+zx）=54，xy yz+zx=27。因?yàn)?V2=（ xyz ）2=（xy ）（ yz ）（ zx），故當(dāng) xy=yz=zx 即 x=y=z=3 時(shí)， V2 有最大值，從而 V 也有最大值。例 4 有一塊長(zhǎng) 24 厘米的正方形厚紙片，在它的四

5、個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，就可以做成一個(gè)無蓋的紙盒， 現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大， 剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為幾厘米？解：如上圖，設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為 x 厘米，則紙盒的容積為V=x（24-2x ）（ 24-2x ）=2 ×2x（12-x ）（ 12-x ）。因?yàn)?2x+（12-x ）+（12-x ）=24是一個(gè)定值，故當(dāng)2x=12-x 12-x ，即 x=4 時(shí)，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。二、兩個(gè)量變化時(shí)，積一定的問題兩個(gè)變化著的量， 如果在變化的過程中， 它們的乘積始終保持不變， 那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載我們不難得出如下的規(guī)律：

6、兩個(gè)變化著的量， 如果在變化的過程中， 乘積始終保持不變， 那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時(shí)，和最小。例 5 長(zhǎng)方形的面積為 144 cm2，當(dāng)它的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)， 它的周長(zhǎng)最短？解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為 xcm 和 ycm，則有xy 144。故當(dāng) x=y=12 時(shí)， x+y 有最小值，從而長(zhǎng)方形周長(zhǎng)2（xy）也有最小值。例 6 用鐵絲扎一個(gè)空心的長(zhǎng)方體，為了使長(zhǎng)方體的體積恰好是216cm，長(zhǎng)3方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米時(shí)，所用的鐵絲長(zhǎng)度最短？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 xcm，ycm，zcm，則有 xyz 216。鐵絲長(zhǎng)度的和為 4 （x y z ），故

7、當(dāng) x y=z6 時(shí)，所用鐵絲最短。例 7 農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃挖一個(gè)面積為 432 m2 的長(zhǎng)方形養(yǎng)魚池，魚池周圍兩側(cè)分別有3m和 4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長(zhǎng)和寬應(yīng)為多少？解：如圖所示，設(shè)水池的長(zhǎng)和寬分別為 xm和 ym，則有xy 432。占地總面積為 S=（x6）（ y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我們知道6y × 8X=48× 432 為一定值，故當(dāng)6y=8X 時(shí)， S 最小，此時(shí)有6y=8X=144，故 y=24，x=18。例 8 某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240 元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。

8、某班有 48 名學(xué)生，老師打算組織學(xué)生集體去游泳，除需購(gòu)買若干張游泳卡外， 每次游泳還需包一輛汽車， 無論乘坐多少名學(xué)生，每次的包車費(fèi)均為 40 元。若要使每個(gè)同學(xué)游 8 次，每人最少交多少錢？解：設(shè)一共買了 X 張卡，一共去游泳 y 次，則共有 Xy=48× 8=384（人次），總用費(fèi)為（ 240x40y）元。因?yàn)?240x ×40y=240× 40×384 是一定值，故當(dāng) 240x=40y ，即 y=6x 時(shí)，和最小。易求得 x=8，y=48。此時(shí)總用費(fèi)為240×840×48=3840（元），平均每人最少交3840 ÷

9、48=80（元）。三、利用不等關(guān)系來解答的應(yīng)用題例 9 某公司在 A，B 兩地分別庫(kù)存有某機(jī)器 16 臺(tái)和 12 臺(tái)，現(xiàn)要運(yùn)往甲、乙兩家客戶的所在地， 其中甲方 15 臺(tái)，乙方 13 臺(tái)。已知從 A 地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載費(fèi)為 500 元，到乙方的運(yùn)費(fèi)為 400 元，從 B 地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為 300 元，到乙方的運(yùn)費(fèi)為 600 元。已知運(yùn)費(fèi)由公司承擔(dān)， 公司應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的調(diào)運(yùn)方案， 才能使這些機(jī)器的總運(yùn)費(fèi)最??？解：設(shè)由 A 地運(yùn)往甲方 x 臺(tái)，則 A 地運(yùn)往乙方（ 16-x ）臺(tái)，B 地運(yùn)往甲方（15-x ）臺(tái)， B 地運(yùn)往乙方（ x 3）臺(tái)。于是總運(yùn)價(jià)為：S=500x+4

10、00（16-x ） 300（15-x ）+600（x-3 ） 400x+9100。顯然， x 要滿足不等式 3x15，于是當(dāng) x=3 時(shí)，總運(yùn)價(jià)最省，為 400 × 3 9100=10300（元）。調(diào)運(yùn)方案為：由A 地運(yùn)往甲方 3 臺(tái)， A 地運(yùn)往乙方 13 臺(tái)， B 地運(yùn)往甲方 12臺(tái)， B 地運(yùn)往乙方 0 臺(tái)。例 10 某校決定出版“作文集”，費(fèi)用是30 冊(cè)以內(nèi)為 80 元，超過 30 冊(cè)的每?jī)?cè)增加 1.20 元。當(dāng)印刷多少冊(cè)以上時(shí)，每?jī)?cè)費(fèi)用在1.50 元以內(nèi)？解：顯然印刷的冊(cè)數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了（ 30x）冊(cè)，于是總用費(fèi)為（ 80+1.2x ）元。故有80+1.2x 1.5

11、 ×（ 30+x），以內(nèi)。例 11 現(xiàn)有三種合金：第一種含銅 60，含錳 40；第二種含錳 10，含鎳 90；第三種含銅 20，含錳 50，含鎳 30?，F(xiàn)各取適當(dāng)數(shù)量的這三種合金，組成一塊含鎳 45的新合金，重量為 1 千克。（1）求新合金中第二種合金的重量的范圍；（2）求新合金中含錳的重量的范圍。解：設(shè)第一種合金用量為 x 千克，第二種合金用量為 y 千克，第三種合金用量為 z 千克，依題意有（1）如果不取第一種合金，即x=0，那么新合金中第二種合金重量最小。解得 y=0.25 。如果不取第三種合金，即z=0，那么新合金中第二種合金重量最大。解得y 0.5 。新合金中第二種合金的重

12、量范圍是0.25 克到 0.5 克。（2）由可得 z1.5-3y ，x=2y0.5 。故新合金中含錳的重量為S40 x+10y+50z=40（ 2y-0.5 ） 10 y 50（ 1.5-3y ） 0.55-0.6y 。因?yàn)?0.25 y 0.5 ，所以 0.25 S0.4 ，即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4 克。例 12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100 個(gè)，每個(gè)由三根長(zhǎng)為2.3米、 1.7 米、 1.3 米的鋁合金材料組裝而成。市場(chǎng)上可購(gòu)得該鋁合金材料的原料長(zhǎng)為 6.3 米。問：至少要買回多少根原材料，才能滿足要求（不計(jì)損耗）？?jī)?yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解：每根原材料的切割有

13、下表的七種情況：顯然，三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42 根、 14根、29 根、 1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各 100 根，共用原材料 42 14291=86（根）。練習(xí) 91銷售某種西服， 當(dāng)每件售價(jià)為 100 元時(shí)可售出 1000 件。如果定價(jià)每下降1，那么銷售量將提高0.5 ，又知道這批西服是每件80 元成本購(gòu)進(jìn)的。問：應(yīng)如何定價(jià)才能使獲利最大？2下圖是一個(gè)面積為 4m2 的窗戶，當(dāng) ab 的值是多少時(shí)，窗戶的框架所用的材料最省？3有一個(gè)長(zhǎng)為 80cm、寬為 40cm的木板，要以它為原材料做一個(gè)無蓋的木盒，應(yīng)該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是

14、多少？4某廠要建造一個(gè)無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為 64000m3。在建造時(shí)，槽底的造價(jià)是四壁的 2 倍，這個(gè)水槽的底面邊長(zhǎng)和高的比例是多少時(shí)， 造價(jià)最??？5A 城有化肥 200 噸，B 城有化肥 300 噸，現(xiàn)要將化肥運(yùn)往 C，D 兩村。已知從 A 城運(yùn)往 C，D兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸 20 元和 25 元，從 B 城運(yùn)往 C，D 兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸 15 元和 22 元。某個(gè)體戶承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)， 請(qǐng)你幫他算一算，如何調(diào)運(yùn)才能使運(yùn)費(fèi)最省？6有兩個(gè)學(xué)生參加 4 次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于 90 分的整數(shù)。他們又參加了第 5 次測(cè)驗(yàn)，這樣 5 次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了

15、90 分，求第 5 次測(cè)驗(yàn)二人的得分（滿分為 100 分）。7某機(jī)械廠要把一批長(zhǎng) 7300 毫米的鋼筋截成長(zhǎng) 290 毫米、 210 毫米和 150 毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子。 現(xiàn)在做 100 套鋼筋架子，至少要用去長(zhǎng)為 7300 毫米的鋼筋多少根？?jī)?yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載8下表所示為 X，Y，Z 三種食品原料的維生素含量（單位：?jiǎn)挝?/ 千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成 100 千克的混合物，要求混合物至少需含 44000 單位的維生素 A 及 48000 單位的維生素 B0 如果所用的食物中 x，Y，Z 的重量依次為 X 千克、 y 千克、 Z 千克，那么請(qǐng)定出 X，y， Z 的值

16、，使得成本為最少。練習(xí) 9 答案：1.91 元。解：設(shè)定價(jià)為每件（ 100-x）元，則銷售量為1000（ 1+0.5x）件。利潤(rùn)為（100-x-80）× 1000（ 1+0.5x）=500×（ 20-x）（ 2+x）。因?yàn)椋?20-x） +（ 2+x）=22 為一定值，故當(dāng)20-x=2+x 即 x=9 時(shí)利潤(rùn)最高。此時(shí)每件定價(jià)為100-9=91（元）。2.23。解：窗戶的框架長(zhǎng)為 3a+2b，而 ab=4 是一個(gè)定值，從而 3a×2b=6ab=24也是一個(gè)定值，故當(dāng) 3a=2b 即 ab=2 3 時(shí)窗戶框架所用材料最省。3.32000cm解：設(shè)木盒的長(zhǎng)、寬、高分別

17、為xcm，ycm，zcm，則它的容積為 V=xyzcm 3。因?yàn)閤y+2xz+2yz=40×80=3200為一定值，故它們的積xy×2xz× 2yz=4（ xyz） 2=4V2，在 xy=2xz=2yz 時(shí)最大，從而 V 也最大，此時(shí)有 x=y=2z。經(jīng)計(jì)算得 x=40，y=40，z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半（ 40cm×40cm）作為木盒的底面，再將剩下的一半分成 20 cm×40 cm 大小的四等份，每份作為木盒的一個(gè)側(cè)面就可以了。4.11。解：設(shè)四壁的造價(jià)是 a 元 /m2，則底面造價(jià)為 2a 元/m 2。又設(shè)其底面邊長(zhǎng)為

18、 xm，高為 ym，則有x2y=64000?？傇靸r(jià)為a× 4xy+2a × x2=2a（2xy+x 2）=2a（xy+xy+x 2）。因?yàn)?xy×xy ×x2=（x2y）2=640002 為一定值，故當(dāng) xy=xy=x 2 即 xy=1 1 時(shí)，總造價(jià)最省。5.解：設(shè) A 城化肥運(yùn)往 C 村 x 噸，則運(yùn)往 D 村（ 200-x）噸； B 城化肥運(yùn)往 C 村（ 220-x）噸，運(yùn)往 D 村（ 80+x）噸，總運(yùn)費(fèi) y 元，則y=20x+25（ 200-x）+15（220-x） +22（80+x）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載=2x+10060。又易知 0x200，故當(dāng) x=0 時(shí)，運(yùn)費(fèi)最省，為10060 元。運(yùn)輸方案如下： A 城化肥運(yùn)往 C 村 0 噸，運(yùn)往 D 村 200 噸；B 城化肥運(yùn)往 C村 220 噸，運(yùn)往 D 村 80 噸。6.98， 94。解：設(shè)某一學(xué)生前 4 次的平均分為 x 分，第 5 次的得分為 y 分，則其 5 次總分為4x+y=5×90=450。于是 y=450-4x。顯然 90