第一積分中值定理的推廣及應用

1、單位代碼: 學 號:類號：0712.2 密級：一般本科畢業(yè)論文（設計）巨 第一積分中值定理的推廣及應用業(yè):學與應用數(shù)學指導教師：職 稱：講師答辯日期：二零一四年五月二十五日積分第一中值定理的推廣與應用摘要：本文主要分三個部分，第一部分，對積分第一中值定理,將結論閉區(qū)間 增強到開區(qū)間.對于推廣的積分第一中值定理，一方面，我們將結論閉區(qū)間增強到開區(qū)間另一方面，我們對函數(shù)/(x)，gu)做了相關方面的改進，并給出了相關定理，同時舉例說明、應用.第二部分，我們主要敘述了積分第一中值 定理的逆問題.第三部分，我們對積分中值定理和微分中值定理的關系進行了研究. 無論對積分中值定理的哪方面研究，都對積分第一

2、中值定理的補充和進一步完善有 重耍的理論意義，只有不斷的改進，才能使它更完美、適用.關鍵詞：積分第一中值定理;拉格朗日微分中值定理;連續(xù);可導extension and application of the first intergral meanvalue theoremabstract: this paper mainly divided into three parts, the first part, the first integral mean value theorem, the closed interval increases to open interval. for th

3、e first integral mean value theorem，promotion on the one hand，we will enhance the conclusion closed interval to the interval; on the other hand，the function, improved related，and the theorems are given，at the same time，application examples. the second part, we mainly discusses the inverse problem of

4、 the first mean value theorem of integral. the third part， our relationship to the integral mean value theorem and differential mean value theorem is studied. both the study of mean value theorem for integrals which，added to the first integral mean value theorem and further improve has important the

5、oretical significance， only continuous improvement，to make it more perfect，apply.key words: the first integral mean value theorem; lagrange mean value theorem; continuous; derivative;1引言在數(shù)學分析中，積分中值定理和微分中值定理一樣,也有著非常廣泛的應用，無 論是各類資料，還是各類參考書，都有較為豐富的描述，尤其在應用積分第一中值定 理處理一些問題時，更為常見.我們知道，微積分的許多命題和不等式的證明都以它 為依

6、據(jù),在證明有關中值問題時具有極其重要的作用.學好積分中值定理,能為進一 步學好積分理論打下堅實的基礎.從引入積分第一中值定理入手,并對其加以推廣， 旨在擴大中值定理應用范圍，增強其的實用價值，使中值定理發(fā)揮更大的作用.本文先給出華東師大|1給出的積分第一中值定理和推廣的積分第一中值定理定理，通過查看荊江雁12的積分中值定理的推廣和周燕w的積分中值定理的推廣與 應用，將華東師大中的積分第一中值定理結論巾的閉區(qū)間增強到開區(qū)間，外并給出了和關的證明和例題.乂通過查看卜小雄141的第一積分中值定理的改進及應用，張安梅，袁志強51的積分中值定理的改進，王軍濤，馬寶林m的積分中值定理再討論，王凡彬7)的用

7、柯四中值定理證明積分中值定理，加州理工學院81出版的 mathematical 一方面，我們將結論閉區(qū)間增強到幵區(qū)間;另一方面我們對函數(shù)/(%),以x)做了和關方面的改進.還通過查看唐艷181的積分中值定理的逆問題及漸進性，王晗玥191的積分中值定理的改進田園|1()|的微分中值定理與積分中值定理關系的探討，對積分第一屮值定理的逆問題和積分屮值定理與微分屮值定理的 關系也做了相關方面的研宂.本文對積分第一中值定理，無論是對在取值范圍做了變動，還是對函數(shù)做了有 些方面的變動，得到的定理都對我們以后在做相關方面的題有很大幫助.2積分第一中值定理的推廣2.1預備知識|1(稅分第一中值定理)若/在上連

8、續(xù)，則至少存在一點e 6z,/?，使得 b f(x)dx =a)j a(推廣的積分第一中值定理)若/與g都在a,b上連續(xù)，且以%)在«,/? ±不變號，則至少存在一點使得c f(x)g(x)djc =g(x)dxj aj a1.2積分第一中值定理的推廣1.2.1積分第一中值定理的改進1231對于積分第一中值定理，是否可以將結論閉區(qū)間增強到開區(qū)間我們下面給出證明，并給出相關例題。定理1若在上連續(xù)，則至少存在一點f e h，/?)，使得成立。i主:定理1在很多實際應用中都用到，而且與微分中位定理的敘述相一致，在這里我們給 出證明。證明：利用微分中值定理來證明。令f(x) = &

9、#163;/也，因/(x)在上連續(xù)，所以f在h，/?上連續(xù)，在h，/?) 內(nèi)可導，且廠'(；0 = /00,對fu)在上應用拉格朗日微分中值定理可得：至少存在一點使得f(b)-f(a) = f'g)(b-a)，£ /(x)dx-j f(x)dx = f(f)(b-ei)a<<bf艮 pf(x)dx = /()0 - a)a <b.例1假設在./(x)上連續(xù)，非負，嚴格單調(diào)減函數(shù)，證明ran£ fdx > -£ f(x)dx.證明：由定理1可以得到jj f(x)cbc = af() >ajd)0< <a.(1

10、-1)c f(x)dx = (b-)<(/?-ci)f(ci)a <2<b.(1-2)jo由式(1-1)、式(1-2)可以得到jo fmcbc > /fmdx兩邊乘以二得 b卜紐:”:嫩因力0丘1，所以1-三1，又由于yu)為上的上連續(xù)，非負函數(shù) bb所以f(x)dx > 0.所以ci例 2 求證：lim f1dr = o."4+00 j() x證明：如果取vro，f e0j-r,則有即37v，當zi；v 時，有1 + 2對等式右邊的第一個積分用中值定理，對第二個積分的被積函數(shù)用不等式0<s1則有1 + x0<£什<22-r所

11、以lim f' = 0.>4-00 jo 1 +x例3設以x)在上不恒為0,且其導函數(shù)g在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并有g= g(z?) = o .試證明：存在點f e 6z，/?，使得(b-ag(x)dx.證明：由g=0及g在上不恒為0,可知g在上不恒為常數(shù)，g在不恒為0.因而，如果則命題顯然成立.下面考慮£ g(x)dx>0的情形.由g=0和lagrange屮值公式；口1知.3乂 e a,b,使得la8(x)dx = g(y)(b-a) = g(y)-g(a)(b-a) = ge)(y-a)(b-a)-其中feb，可得1.2.2推廣的積分第一中值定理的改進4_7對于推廣的積

12、分第一中值定理，一方而，我們將結論閉區(qū)間增強到開區(qū)間另一方面，我們對函數(shù)/(x),以x)做了相關方面的改進。下面我們給出 了相關定理和證明。定理2若/(%)與g(x)都在上連續(xù)，且g(x)在上不變號，則至少存在一點(a，b)，使得)1：定理1明顯是定理2當時的特殊情況.如果先敘述定理2,則定理1就可以作為定理2的推廣，然而從人們一貫的做法，有先易后難的順序，所以先敘述定理1,再敘述 定理2，比較自然.證明：設在g(x)滿足g(x) 20，則 當g(x)0時，上述等式成立.當不恒g(x)等于0時，則至少存在一點'e ，/?，使得g(xq)0，由連續(xù)性知j*>0.乂由于/(x)在a,

13、b上連續(xù)，從而必存在最大值m和最小值ni，這時有mg(x) < f(x)g(x)< mg(x),從而(卜3)mcg(x)dx< ff(x)g(x)dx < m cg(x)dxj aj aj a下面我們分三種情況來討論.i.若式(1-3)中左邊等號成立，即mgx)dx = f(x)g(x)dx.(1-4)由已知w得，(/-在/上連續(xù)，kg(x)f(x)-m>0,則在fz，/? 上有 g(x)/x)-m = 0.因為不恒g(x)等于0,所以必存在一點x,，使得/(x1)-m = 0，也就是/(x,) = /；!, 則在，/7)上至少存在一點使得=再根據(jù)式(i-4)可得

14、 £ f(x)gx)dx = /()£ gmdx.ii. 若式(1-3)右邊等號成立，同理也可證得結論成立.iii. 若式(1-3)嚴格不等式成立，即mj g(x)ezr < j f(x)g(x)ebc< m j gx)dx.因為£§0)也0，從而有m< f(x)g(x)dx由連續(xù)函數(shù)的介質性定理知在h，上至少存在一點f使得，bm)f(x)g(x)dx、bgclx或j: f(x)g(x)dx =所以可證得定理2成立.丄例 4 證明 lim jj(sin x)ndx = 7t.證明：顯然，對vne2v，在上連續(xù)(盡管不單調(diào))；由改進的積分

15、第一中值定理知，必至少存在一點f，使得(sin x'dx = (sin丄令 /(%) = l,g(x) = (sinx)m.又由于0 < sin jc < 1，則'h丁知0<sin£<l,故有l(wèi)im (sin =1,/i因此，我們?nèi)菀撰@得lim (sin xn dx = lim 71 (sin=丌人二丌.,ooj0 vn->co v7定理3若/(x)與g(x)都在閉區(qū)間(7,/?上連續(xù)，且/(x)與g(x)都在閉區(qū)間 無零點，則在幵區(qū)間內(nèi)至少存在t使得£ f(x)g(x)dx =f(& )j(x)dx;£ f(

16、x)g(x)dx =«?(矣): /w 也.證明：因為/(x)與g(x)在6z，/?上連續(xù)且無零點，由介質性定理和/(x)、g(x)在上不變號，再由推廣的積分第一中值定理知：在h，/7)至少存在t矣使得f(x)gx)dx =f( )j(%)tzx;j:/(砌也=只(矣): / (義w例5證明：若函數(shù)/u)在閉區(qū)間6z,/7上連續(xù)，£/也= £>/也=0,則 至少存在兩點v1，x2e (6z»，使得/(%,) = /(x2).證明：(反證法)假設存在任意兩點4，七 (6z，/?)，都有/(%,)#/(x2)，根據(jù)已 知和假設，可知在區(qū)間內(nèi)必存在唯一的

17、一點;v使得/(x,) = 0 .否則，可推出j/ f(x)dx0,這與己知條件f/(%)也=0矛盾.f xfx)dx = f ' x/(x)tzx+ fj aj ajx|從而由已知條件= 0知xf(x)dx = 0.因為x與/(x)在及%,/?上連續(xù)，且由假設知f (x)在aaj及&，/?上均不改變符號，利用定理2則知分別存在$ e(x/7),使得£' x/(%)6zx + £ xf(x)dx = ' f(x)dx + 2 f(,x)dx = 0,$ £ f(x)dx = -2£ f(x)dx.$ j:1 /(x)dr

18、+ £ f(x)dx = -_ f(x)dx + f(x)dx9£v/(x)6?x + £ f(x)dx = £ f(x)dx = 0.0 : - & j: /(%)也 + * j: f(x)clx ,矣£ /(%)辦=6 f dx則有$=矣，這與tz<6 <x, <矣</，矛盾，所以至少存在m點xy (tz，/，)，使 得/(七)=/(%2).定理4設函數(shù)/(x)和g(x)在上可積，并且滿足以下條件: m < /(%) < m , g(x) > 0, vxe a,b,則有 mf g(x)dx&

19、lt; fz f(x)g(x)cbc<m g(x)dx.j aj aj a將另1j，如果/u)在上連續(xù)，g(x)在上可積，且g(x)20，vxe a,b,那么存在ce a,/?，使得 fx)g(x)dx = f(c)g(x)dx.證明：由定理的條件可得：mgx) < fx)g(x) < m(x), vxe a,b, /(%)g(x)的乘積也在可積，利用可積的單調(diào)性就可得到：mbgx)dx<c f(x)g(x)dx<m cg(x)dx.j aj aja如果函數(shù)/(x)在上連續(xù)，那么在上式可取m = min /(x), m = max f(x).xeaybxea.b考

20、察連續(xù)函數(shù):(x) = /(x)j(x),此時，上式可以寫成:min c f(x)g(x)dx< min(px).kea,b j axea.b根據(jù)介值定理知,/?，使得：腳)=f(x)g(x)dxfj afmg(x)cbc = f(c)g(x)dx例 6 證明不等式：0< f2sin+1xzv< f2sinj，有 sinx>o,sinw+1 >071又 3x。= ，使 sin%0 >0,所以有2 sin,?+l xdx > 0.顯然，sinx，sin"x在連續(xù)，非負，于是由定理4知，3cel 21 2j而£2sin"+1

21、xdx- 12sin"xsinxdx£使 j。2 sin/,+l xdx = sin" xsin azzx = sin cj。2 sin"dzr < j。2 sin” xdx (0 < sin x < 1) 所以不等式成立.定理5設/(x)與g(x)都在閉區(qū)間上連續(xù)，且其0，則至少存在當時，即得h f(x)gx)dx = /()j(x)6zr.j aj a證明：設 f(x) = £ f(t)g(t)dt, g(x) = fg(t)dt。由于設 /u)與 go)在a,b ± 連續(xù)，則fuxgu)在tz，m上連續(xù)，可微，

22、且g(z?) = j g (x)dx 0, g(a) = 0,即g(tz)# g(b).由柯丙中值定理，至少存在一點f g (6z，/?)，使得f(b)- f，()g(b)-g(a)g'g(x)dx<?()當以0*0時，即得c f(x)g(x)dx =g(x)dx.j aj a1.2. 3重積分情形下的結果此定理是對定理5的延仲，是定理5在重積分情形下的結果。下面給出定理， 并給出證明。定理6設函數(shù)/(x)，g(x)在a?維長方體/(，/(，么卜乂/上連續(xù)， x = (w.”xm)，dx = dxdx2.dxn，,則存在一點 f = ($，.，fje £)°

23、, 使得£/(義)idf(x)s(x)dx = f)i)g(x)dx.證明:由定理5得/(x)g(x)ag(x)aao ,%2, ,xn_，么)，g (%丨，又2，%'卜j，么)dx'dx2 dxft_w.c心 ,x2 9 * * * 9) dxidx2 dxf卜'l, jl l 5 (義i 義2 義-2 u« )卻也2 )1-2。/以石，cm«2, 乂)，a'，k) 當g(o0時，即得 fx)gx)dx = /()£ g(x)dx.在d為一般有界閉區(qū)域時，問題要復雜一些，這里就不再說明.2積分第一中值定理的逆問題fsl提

24、出問題：定理的逆是否成立？即若/(x) , go)在h，/?上連續(xù)，且g(x)在上不變號， vg(6r,/?),是否存在兩點r，ve tz,/?，使得£ f(x)g(x)dx = /()£ g(x)dx,(r,5).問題的答案是否定的，比如函數(shù)/u) = 3x2，g=1，取點 <二0,對于任意的 r < 0 < 5,，有£ f(x)g(x)dx /()£ g(x)dxe (r,5).此處的f = 0為/(x) = 3x2的極值點，所以使定理的逆問題不成立.定理7設/oo，go)是閉區(qū)間h，/?上的連續(xù)函數(shù)，/(x)在卜，/?)可導，滿足

25、 fx) 0 , vxg (“,/?)且(x)在a,b上不變號，則 vg (“，/?)，3r，5 使得: £ f(x)g(x)dx = /()£gx)dx ,(r,5).證明：設#(x)0, /(x)<0作輔助函數(shù)識w=/w- /()k(o.因為/巧)<0,根據(jù)極限保號性，3j>0,使得當 xe(f么<+5)時， -m)<0 x-f因此，時，/w/()，識0，識(義)單調(diào)遞增；而 xe(« + 5)時，/u) </(), (px) < 0 ,識(¥)單調(diào)遞減。乂因為識() = 0,所以 (p() < 0 ,

26、 xe(f-j，f + 5)o 取 maxp(f-5)，爐(+ 州幺 m<0，由介質定理可矢口， 3re和 3<s，e (« + 5)，使得識(廠)=，?/ =識，即£ fx)gx)dx = /()£gdx(r,5).3積分中值定理與微分中值定理的關系pi(拉格朗日中值定理)設函數(shù)/u)閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，則至少存在一點e (6z,/?)，使得b-a3.1拉格朗日中值定理可推出積分中值定理拉格朗閂中值定理可推出可以推出積分中值定理，這在定理1的證明中己經(jīng)給 出，這里不再說明.3.2積分中值定理可推出拉格朗日中值定理證明：f(x).a,b上連續(xù)，

27、則/(x)在a,b上一定存在原函數(shù)，f'(x) = /(x),xe ayb；故滿足拉格朗曰中值定理的條件：閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 (df，/?)可導，則由積分屮值定理的結論牛頓萊布尼茨公式:fxlx= f(b)-f(af(b)-fa) = f(b-a) = f(b-ab-a得證.例7設/(%)在0，1上可微，且滿足丄/(i)-2pvu) = o.求證:在0，1內(nèi)至少存在一點£ ,使=£證明：由/(l)-2p*/(x)辦=0及積分中值定理知，存在r, e 使0 =，(1)-2側*去， /(!) = £,/(£-,).4* f(x) = xf(x),則存在使得1一£, f(£)= o,則可知fu)在e,上存在點h吏n幾£j主:單從一個例題雖然不能充分證明積分中伉定理和微分中伉定理的關系，但例7的岀現(xiàn) 從側面說明，積分中值定理與微分中值定理的確存在著密不w分的關系.4結束語本文通過查找大量的資料，對積分第一中値定理和推廣的積分第一中值定理在 兒個方面做了相關研宄，給出了和關定理，并同時舉例說明、應用。無論是對£在 取值范圍做了變動，還是對函數(shù)做了有些方面的變動，還是對積分第一中值定理的 逆問題，積分屮值定理和微分屮值