專題學(xué)習(xí)--不等式與方程的綜合應(yīng)用

1、專題學(xué)習(xí)：不等式與方程的綜合應(yīng)用北京十二中 王明文【寫在前面】 不等式（組）和方程（組）是探求不等和相等關(guān)系的基本工具，不等式（組）與方程（組） 在相關(guān)概念， 解法上有著相似點(diǎn)， 又有不同之處， 主要體現(xiàn)在等式與不等式的基本性質(zhì)等方面； 另外，解方程組，可以“統(tǒng)一思想”，即對幾個方程通過代入或加減消元， 解不等式時， 只能“分 而治之”，即分別求解，再確定公共部分 .但在很多問題中，不等式與方程總是同時出現(xiàn)，借助 于構(gòu)造方程模型來解決不等式問題或者借助于構(gòu)造不等式模型來解決方程問題，以及兩者之間 的靈活轉(zhuǎn)換是常用的思想方法，而兩個模型轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是獲取兩者之間恰當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián) .【知識鋪墊】1. 不等

2、式的基本性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法；2. 方程組的概念，二元一次方程組的解法；3. 含參數(shù)方程（組），不等式（組）的解法 .【思想方法】方程模型與不等式模型的構(gòu)建、互相轉(zhuǎn)換 .【例題精講】一、構(gòu)建方程或不等式模型解決求值或求范圍問題例題 1：關(guān)于 x 的方程 4x-m+1=3x-1 的根為負(fù)數(shù)，求 m 的取值范圍 .變式練習(xí)1:已知關(guān)于x的方程4x-m+1=3x-1，且2<m<4,求x的取值范圍.變式練習(xí)2:當(dāng)x為何值時，相應(yīng)的關(guān)于x,y的二元一次方程4x-y+仁3x-1中y的值為正數(shù).思路點(diǎn)撥： 正確求解方程模型 （一元一次方程 ）是前提，建立不等式模型并求解是落腳點(diǎn)，而聯(lián)

3、 系二者的紐帶是諸如“根是負(fù)數(shù)” 、“2<m<4”、“y 的值為正數(shù)”等從方程出發(fā)到不等式的關(guān)鍵 詞.注意： 求解含參數(shù)方程的關(guān)鍵是將無關(guān)參數(shù)視為常數(shù) .例題2:已知關(guān)于x,y的方程組3X 2m 1 , m為何值時，x>y?12x + y = m 1變式練習(xí)2:已知關(guān)于x,y的方程組3x 2y = m 12x y = m -1的解1 x > 0<0求m的取值范圍.變式練習(xí)1:已知關(guān)于x,y的方程組3x 2 m 1，m為何值時，x>y>0?2x + y =m17變式練習(xí)3：已知關(guān)于x,y的方程組3x 2ym 1的解滿足條件0<x+y<1,求m

4、的取值范圍.2x + y =m1 3x 亠 2y = m T變式練習(xí)4:已知關(guān)于x,y的方程組，且2<m<4，求x-y的取值范圍.、2x + y =m1mr + 2y = 1變式練習(xí)5：已知關(guān)于x,y的方程組宀有非負(fù)整數(shù)解，求正整數(shù)m的值.2x + y= 2思路點(diǎn)撥：首先正確求解含參數(shù)方程組模型，由此建立不等式或不等式組模型，并求解，二者 聯(lián)系的紐帶圍繞前后模型的解或參數(shù)展開.注意：含參數(shù)方程組的求解要注意兩種情況：一是，參數(shù)不是未知數(shù)的系數(shù)，視參數(shù)為常數(shù)求 解即可；二是，參數(shù)是未知數(shù)的系數(shù)，要注意其取值范圍，然后視其為常數(shù)求解y 的方程(ax + by -12)2 + ax -

5、by + 80的解，求不等式組X = 1例題3：如果丿 是關(guān)于X、y = 213x +14 的解集.ax -3 :： x 3變式練習(xí)1：已知x、y滿足X2y+a|+(x y 2a+1 ) =0且x3yc1，求 a的取值范圍.變式練習(xí)2：若單項式-3xm'y3與5xnymn能合并成一項，求關(guān)于x的不等式0 x - n ： 2n的2 2整數(shù)解.思路點(diǎn)撥：首先構(gòu)建方程模型，并正確求解，根據(jù)前后之間的聯(lián)系，構(gòu)建不等式模型，并求解 注意：方程組的構(gòu)造基于前面所學(xué)的知識，例如：幾個非負(fù)數(shù)的和為零，同類項的定義等x a a 2例題4：若關(guān)于x的不等式組的解集為-ivxvl，求a?b的值.2x >

6、;0"x a > 2 2x 3a £ 7b變式練習(xí)1：若關(guān)于x的不等式組和解集相同，求(a+1)(b-1)的值.lb - 2x > 06b - 3x c 5a變式練習(xí)2：若關(guān)于x的不等式組有兩個整數(shù)解，求b的取值范圍-1相關(guān)練習(xí)3:若不等式組x> 2(x3)的整數(shù)解是關(guān)于x的方程2x_4二ax的根，求a的值.2x 3< 1思路點(diǎn)撥：從正確求解不等式入手，落腳點(diǎn)還是構(gòu)造不等式，中間聯(lián)系的紐帶是方程或方程組 注意：含參數(shù)不等式的求解和含參數(shù)方程的求解類似，并且在不等式組中參數(shù)的位置一般不在 系數(shù)位置.例題5：已知2mx+3>0的解集是x<3,

7、求m的值.1變式練習(xí)1：已知a,b為常數(shù)，若ax+b>0的解集是x，求不等式bx-a<0的解集.35變式練習(xí)2：關(guān)于x的不等式2a - b x a - 2b的解是x ：-，求關(guān)于x的不等式ax 0的 解集.思路點(diǎn)撥：從系數(shù)中含參數(shù)的不等式出發(fā)，結(jié)合所給解集確定參數(shù)的值或范圍，并利用之進(jìn)一 步求解兩一個不等式.注意：在求解系數(shù)中含參數(shù)的不等式時，一定結(jié)合所給解集進(jìn)行恰當(dāng)?shù)挠懻摚⒂嘘P(guān)參數(shù)的方程，并同時確定某個或某些參數(shù)的取值范圍.二、構(gòu)建方程與不等式模型解決實(shí)際問題例題6：星期天，小明和七名同學(xué)共8人去郊游，途中，他用20元錢去買飲料，商店只有可樂 和奶茶，已知可樂2元一杯，奶茶3

8、元一杯，如果20元錢剛好用完.(1) 有幾種購買方式？每種方式可樂和奶茶各多少杯？(2) 每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時，有幾種購買方式？分析：先建立二元一次方程，再建立一元一次不等式組解決.例題7:某超市銷售有甲、乙兩種商品甲商品每件進(jìn)價10元，售價15元；乙商品每件進(jìn)價30元，售價40元.（1）若該超市同時一次購進(jìn)甲、乙兩種商品共 80件，恰好用去1600元，求能購進(jìn)甲、乙兩種 商品各多少件？（2） 該超市為使甲、乙兩種商品共 80件的總利潤（利潤二售價-進(jìn)價）不少于600元，但又 不超過610元請你幫助該超市設(shè)計相應(yīng)的進(jìn)貨方案.分析：先建立二元一次方程組，再建立一元一次不等式組解決.例

9、題8為迎接2002年世界杯足球賽的到來，某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則如 下表：勝一場平一場負(fù)一場積分310當(dāng)比賽進(jìn)行到第12輪結(jié)束（每隊均需比賽12場）時，A隊共積19分.請通過計算，判斷A 隊勝、平、負(fù)各幾場？分析：先建立不定方程組： 設(shè)A隊勝x場、平y(tǒng)場、負(fù)z場， 則有xy 12，把x當(dāng)成已知數(shù)，可解得廠19亠.3x + y = 19Z = 2x - 7再建立一元一次不等式組：由題意，x0、y 0、z 0，且x、y、z均為整數(shù)，x >011所以193x K0，解得3 I蘭6，23、2x -7 狂0最后，獲得滿足題意的整數(shù)解： 于是x可取4、5、6，由此可得三組解（略）.思

10、路點(diǎn)撥：解答這類題時，可先把題設(shè)中的方程（組）的解求出來，再根據(jù)題目中的限制條件 列不等式（組）進(jìn)行解答；或先求出題設(shè)不等式（組）的解集，再與已知解集進(jìn)行比較，從而 列方程（組）施行解答.注意：實(shí)際問題中通過一些關(guān)鍵詞暗示該問題應(yīng)建立不等式模型解決：諸如此類的關(guān)鍵詞有： 大于，小于，至少，至多，不少于，不多于，超過，不到 等.【鞏固練習(xí)】1、x取什么值時，y = -2(X 1) 4的值是正數(shù)？負(fù)數(shù)？非負(fù)數(shù)?2、當(dāng)m在什么范圍內(nèi)取值時,關(guān)于x的方程m2x-2 = 1-m4-x有:(1) 正數(shù)解；(2) 不大于2的解.3x 卜 y - k D 13、若方程組x，3y：3的解為x、y，且4，則x-y

11、的取值范圍是()A. 0 vx y 丄2B. 0 ： x y : 1 C. 一3 ： x y ： -1D. 一1 ： xy : 1x + 2y =14、已知關(guān)于x、y的方程組2y=m.(1)求這個方程組的解;(2)當(dāng)m取何值時，這個方程組的解中，x大于1, y不小于1.115、已知：y1x 2 , y -x -1，如果 _3y? -1，且y1不小于y?,求正整數(shù)x的值.32Lx + v = 7 m6已知方程組丿的解滿足x為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù).x - y =1 +3m(1) 求m的取值范圍；(2) 化簡：l m 3 1 1 m+ 2 I ;(3) 在m的取值范圍內(nèi)，當(dāng)m為何整數(shù)時，不等式 2mx+ xv2m+ 1的解為x> 1.7、把若干個蘋果分給幾只猴子，若每只猴分 3個，則余8個；每只猴分5個，則最后的一只猴 分得的數(shù)不足5個，問共有多少只猴子？多少個蘋果？8、某旅游商品經(jīng)銷店欲購進(jìn) A、B兩種紀(jì)念品，若用380元購進(jìn)A種紀(jì)念品7件，B種紀(jì)念品 8件；也可以用380元購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品6件.(1) 求A、B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價分別為多少？(2) 若該商店每銷售1件A種紀(jì)念品可獲利5元，每銷售1件B種紀(jì)念品可獲利7元，該商 店準(zhǔn)備用不超過900元購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品40件，且這兩種紀(jì)念品全部售出候總獲利 不低于216元，