第九章：多元函數(shù)微分學(xué)2012+(4)

1、推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 第八章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zyxPU(球鄰域)說明：說明：若不需要

2、強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?),() ,U(0yxP。0P因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.,0 xx0 yy2. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) ,

3、顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . (2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心) ,(PUE鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,

4、簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .11oxy 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無3. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體稱為 n 維空間維空間,Rnn 維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的kx

5、數(shù)稱為該點(diǎn)的第 k 個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo) .記作即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一個(gè)點(diǎn)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí)，0kx稱該元素為 nR中的零元,記作 O .的距離距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點(diǎn) a 的 鄰域鄰域?yàn)?,(21nyyyy與點(diǎn)),(,R),(axxxaUn),(R21nnxxxx中的點(diǎn),),(yxyx或規(guī)定為 ),(R21nnxxxx中的點(diǎn)與零元 O 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常記作時(shí)當(dāng)0Raxaxn滿足與定元中的變?cè)? ax 記作nR二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓

6、強(qiáng) 三角形面積的海倫公式,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,RnD DPPfu, )(或點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfuxzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?)

7、,(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzo三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù),R),(nDPPf點(diǎn) , ) ,(0PUDP,-)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若

8、存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切例例1. 設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證：.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx , 總有要證 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)022yxxyyx

9、11sinsin總有 2 要證 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例例3. 討論函數(shù)函數(shù)例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)c

10、os1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .四四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定

11、義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點(diǎn)如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例例 求解 這里 在區(qū)域 和區(qū)域 內(nèi)都有定義， 同時(shí)為 及 的邊界點(diǎn).但無論在 內(nèi)還是在 內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的

12、：1( , )0Dx y x0(0,2)P1D02sin()limxyxyxsin()( , )xyf x yx2( , )0Dx y x2D1D2D0022sin()sin()limlimlim1 22xxyyyxyxyyxx定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) .11lim

13、00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2 例例6. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得第二節(jié)一、一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及

14、其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二二 、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第八章 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例引例:研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度 , 就是),(txu0 xoxu中的 x 固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).),(txux0 處,),(0txu),(0txu關(guān)于 t 的將振幅定義定義1.),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對(duì)在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),

15、(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同樣可定義對(duì)y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f

16、(x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對(duì) x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M對(duì) y 軸的函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yx

17、yxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz例例2. 設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyx

18、r的偏導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號(hào),二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x

19、 , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為11nnxzyxe22例例5. 求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2y

20、xe22yxe22yxe24的二階偏導(dǎo)數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.例如例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y

21、, z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時(shí), 有而初等(證明略) 例例6. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331r

22、xr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0,)(xuuf備用題備用題 設(shè), )(ufz 方程)(uuxytdtp )(確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp連續(xù), 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0證證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),()

23、,(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx定理證明定理證明.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點(diǎn))(00yx ，

24、連續(xù),得0y 第八章 *二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點(diǎn) (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(y

25、x則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.yBxA(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyz

26、xxzzd證證: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對(duì) x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx ),(yyxxf定理定理2 (充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy)

27、,(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點(diǎn)yx則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數(shù)),(yxfz ),(yxyx在點(diǎn)可微. 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxxu推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如, 三元函數(shù)),(zyxfu ud習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxdddd稱為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduz

28、d的全微分為yyuzzu于是uuuzyxd,d,d例例1. 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 計(jì)算函數(shù)的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez思考與練習(xí)思考與練習(xí)函數(shù)),(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()

29、(22yx當(dāng)時(shí)是無窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當(dāng)時(shí)是無窮小量 .1. 選擇題Dzfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(2. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對(duì)稱性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 輪換對(duì)稱性輪換

30、對(duì)稱性 在點(diǎn) (0,0) 可微 .在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx證證: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連 3. 證明函數(shù)xy222yx 所以),(yxfx,)0 , 0(),(時(shí)當(dāng)yx,)0 , 0(),(時(shí)趨于沿射線當(dāng)點(diǎn)xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0

31、(),(yxfxxx極限不存在 ,),(yxfx在點(diǎn)(0,0)不連續(xù) ;同理 ,),(yxfy在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3),)()(22yx4) 下面證明)0 , 0(),(在點(diǎn)yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0 , 0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在點(diǎn)yxf說明說明: 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函

32、數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第四節(jié)、方向?qū)?shù)與梯度實(shí)例實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的問題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方

33、向）爬行向（即梯度方向）爬行一、問題的提出 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義oyxlP xyP引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一點(diǎn)且上的另一點(diǎn)且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) （如圖）（如圖） |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考慮考慮是否存在？

34、是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)P沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向則稱這極限為函數(shù)在點(diǎn)則稱這極限為函數(shù)在點(diǎn)在，在，時(shí)，如果此比的極限存時(shí)，如果此比的極限存趨于趨于沿著沿著當(dāng)當(dāng)之比值，之比值，兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)

35、),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 L L 的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為x軸到方向軸到方向 L L 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點(diǎn)點(diǎn))0

36、, 1(P處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn) )0 , 1(P到到點(diǎn)點(diǎn))1, 2( Q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).解解故故x軸到方向軸到方向l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù))4sin(2)4cos( lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn)（1，1）沿與沿與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并并問在怎樣的方向上此方向?qū)栐谠鯓拥姆较蛏洗朔较驅(qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最

37、小值； （3）等于零？）等于零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時(shí)，時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),()

38、,(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ） 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 L的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)Axd d例例3. 函數(shù))ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosAxu)

39、 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問題問題P sincosyfxflf s

40、in,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradf時(shí)，時(shí)，lf 有有最最大大值值.設(shè)設(shè)jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論結(jié)論當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時(shí)時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的

41、正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tangradfgradf P),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個(gè)法線方向于函數(shù)在這個(gè)法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的

42、等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個(gè)方向相同，且線的一個(gè)方向相同，且在這點(diǎn)的法在這點(diǎn)的法高線高線的等的等的梯度的方向與點(diǎn)的梯度的方向與點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),( 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取

43、得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與過點(diǎn)過點(diǎn) P的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332

44、222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)練習(xí)題練習(xí)題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點(diǎn))2,

45、2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (921、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)（注意梯度是一個(gè)向量向量）四、小結(jié).),(最快的方向最快的方向在這點(diǎn)增長在這點(diǎn)增長梯度的方向就是函數(shù)梯度的方向就是函數(shù)yxf討討論論函函數(shù)數(shù)22),(y

46、xyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxydddddd

47、本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第八章 )(),(ttfz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點(diǎn)在點(diǎn) t 可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)證證: 設(shè) t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt有增量u ,v ,0t令,0,0vu則有to)( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公

48、式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時(shí),根式前加“”號(hào))tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd若定理中 說明說明: ),(),(vuvuf在點(diǎn)例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但復(fù)合函數(shù)),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu則定理結(jié)論不一定成立.推廣推廣:1) 中間變量多于兩個(gè)的情形. 例如, ),(wvufz

49、 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu又如,),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對(duì) x 求導(dǎo),xf表示固定 v 對(duì) x 求導(dǎo)口訣口訣 : 分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)xfxvvfyvvf與不同,v例例1. 設(shè)設(shè),sinyxvy

50、xuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2例例3. 設(shè) ,sintvuz.ddtzztvutttzddte

51、vtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到, 下列例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).為簡便起見 , 引入記號(hào),2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121

52、fyxf 2221,ff二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性. )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 . 利用全微分形式不變性再解例1. 解解:) (dd zuveu

53、dsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy例,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf例例 ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3

54、),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在點(diǎn))1 , 1(處可微 , 且設(shè)函數(shù),3) 1 , 1 (yf解解: 由題設(shè)23)32( 練習(xí)題xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 練習(xí)題 yexuyxufz, ),( 第八章 第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所

55、確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 本節(jié)討論 :1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02Cyx當(dāng) C 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時(shí), 研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問題 .一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：

56、 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)0)(,(xfxF兩邊對(duì) x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還有例例1. 驗(yàn)證方程01sinyxeyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0d

57、d22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 ,

58、注意此時(shí)1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確0),(,(yxfyxF兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函

59、數(shù)是方程設(shè)yxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在例例2. 設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對(duì) x 求導(dǎo)解法解法2 利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFzzxFFxz xz例例3. 設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(y

60、xfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程故對(duì)方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(