材力第3章：剪切與扭轉(zhuǎn)b

1、 一、概述一、概述實(shí)例實(shí)例： 方向盤的操縱桿 傳動(dòng)軸 鉆頭、鉆桿1.1.圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；2.2.桿表面上的縱向線變成螺旋線。桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面圓截面直桿受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：Me Me 實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形。彎曲、拉壓等其他變形。傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n ；某一輪上某一輪上所傳遞的功率所傳遞的功率P (

2、kW)作用在該輪上的外力偶矩作用在該輪上的外力偶矩Me。已知：已知：求：求：輪上外力偶矩輪上外力偶矩Me一分鐘內(nèi)所作的功等于一分鐘內(nèi)一分鐘內(nèi)所作的功等于一分鐘內(nèi)該輪所輸出的功：該輪所輸出的功：3e2 (Nm)60 10 (J)MnPMe1 Me2 Me3 n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪二二 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩及扭矩圖扭矩圖傳動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速傳動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n 、功率、功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之間的關(guān)系：間的關(guān)系：nPM260103e)mN(1055. 93nPMe1 Me2 Me3 n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪3e2 (Nm)60 10 (J)MnP若功率單位為馬力時(shí)，經(jīng)過

3、單位換算可得到)(7mkNnPm 主動(dòng)輪為動(dòng)力輪，其上外力偶的轉(zhuǎn)向與軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同；從動(dòng)輪為阻力輪，其上的外力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。mx截面法：mmT 扭轉(zhuǎn)內(nèi)力通常用T表示，稱為扭矩。0 xm由mT 0mT若保留右段，則有mT 即TT與大小相等，轉(zhuǎn)向相反mxmmTmT(作用力反作用力)為了表達(dá)方便，按變形特點(diǎn)規(guī)定符號(hào)按右手螺旋法將扭矩T表為矢量，若該矢量方向與截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)。mTmTmTmT正負(fù)(a)(b)mxmmTmT無論保留左段還是右段，得到的扭矩大小、符號(hào)均相同，同時(shí)，若給出某截面扭矩的大小和符號(hào)，則無論保留左段還是右段，都能方便地畫出該截面的扭矩 (大小、轉(zhuǎn)向

4、)。 已知A輪為主動(dòng)輪，B、C、D， 400kwPA， 120kwPPCBkwPD160試求1-1，2-2，3-3截面的扭矩。，軸的轉(zhuǎn)速為300轉(zhuǎn)/分，為從動(dòng)輪。ABDC123123解：mkNmA73.1230040055. 9mkNmmCB82. 330012055. 9mkNmD09. 530016055. 9mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD作軸的受力圖，利用截面法可求出扭矩mKNMTB82. 31mKNMMTCB64. 72mKNMTD09. 53此時(shí)，T的符號(hào)具有雙重意義。+5.093.82(kNm)TmAmCmBmD7.64mkNMTB82. 31mkNMMTCB64.

5、72mkNMTD09. 53132mAmCmBmDmBT1mBT2mCT3mD 若將力偶用矢量表示，則與桿的拉、壓內(nèi)力計(jì)算完全類似。通常指通常指 的圓筒，可假定其的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布100r內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩扭矩扭矩TeMT 薄壁圓桿薄壁圓桿nnMeMe lT Me nnr0圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過的圓心角的圓心角 相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 表面正方格子傾斜的角度表面正方格子傾斜的角度直角的改變量直角的改變量 切應(yīng)變切應(yīng)變 tanlr即lr/ lABDCMe Me 薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：ABC D B1A1D1

6、 C1 DD1C1CMe Me 圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距不變；不變；表面變形特點(diǎn)及分析：表面變形特點(diǎn)及分析：橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生變的平面，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。橫截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周橫截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分布向均勻分布ABDCMe Me 1 1、橫截面上無正應(yīng)力；、橫截面上無正應(yīng)力；2 2、只有與圓周相切的切應(yīng)力，、只有與圓周相切的切應(yīng)力，且沿圓筒周向均勻

7、分布；且沿圓筒周向均勻分布； 薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：ABDCABC D B1A1D1 C1 DD1C1C nnMe r0 xt 3 3、對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切、對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：ATrA0dtArT0t靜力學(xué)條件靜力學(xué)條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等切應(yīng)力相等02 rA 202 rTArArTA00dtt得得t dAnnMe r0 xr0dzdydzdy21tt21ttdzdydx1t組成一力偶xy

8、zdxdydzt1t2t3t4平衡，可推測(cè)上、下兩個(gè)面中必有剪應(yīng)t3, t4此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體的正六面體單元體單元體Me Me 0yF043dzdxdzdxtt43ttdydzdx3t組成一力偶31tt由平衡知dzdxdydzdydx31ttxyzdxdydzt1t2t3t40 xF單元體的兩個(gè)相互垂直的單元體的兩個(gè)相互垂直的截面上，與該兩個(gè)面的交截面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力數(shù)值相等，線垂直的切應(yīng)力數(shù)值相等，且均指向且均指向( (或背離或背離) ) 兩

9、截兩截面的交線。面的交線。單元體在其兩對(duì)互相垂直的單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)。tttt當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的彈性極限時(shí)，剪應(yīng)力t與剪應(yīng)變成正比：t=Gt G 材料的材料的切變模切變模量量或或剪切彈性模量剪切彈性模量ttG與t同量綱 G、E、 均為反映材料性質(zhì)的材料常數(shù)對(duì)各向同性材料 這三個(gè)量中，只有兩個(gè)獨(dú)立，它們滿足下列關(guān)系：2(1)EG思路思路：觀察變形，提出變形假設(shè)，導(dǎo)出應(yīng)變與變形的關(guān)系(幾何關(guān)系)。利用材料本身的性質(zhì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(稱為物理關(guān)系)，由應(yīng)變規(guī)律得到應(yīng)力分布規(guī)律。利用應(yīng)力-內(nèi)力關(guān)系

10、(靜力關(guān)系)，可得到用內(nèi)力表示的應(yīng)力公式。 各圓周線形狀、大小、相鄰兩圓周線的間距不變。 各縱向線近似于直線，只是傾斜了一個(gè)相同的角度。 軸表面變形前的矩形格，變形后成了平行四邊形格。m0m0從變形的可能性出發(fā)假設(shè)：桿橫截面像剛性平面一樣繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。(剛性平面假設(shè)剛性平面假設(shè))此假設(shè)只適用于等直圓桿，假設(shè)的合理性被實(shí)驗(yàn)結(jié)果和彈性理論所證實(shí)。設(shè)想，從軸上取出微段dxdx1 2xzyo1 21lxmm1212dxAAodmax截面2-2相對(duì)于截1-1將有一個(gè)相對(duì)的扭轉(zhuǎn)角d，根據(jù)剛性平面假設(shè)，截面2-2上的任意一半徑OA轉(zhuǎn)動(dòng)到0A ，且保持直線。如將圓軸看成由無數(shù)個(gè)同心薄壁圓筒組成的，則在這一微段中

11、，組成圓軸的所有薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)角均相等。EGGG tanxddd)2/(xdddDGGETTO1O2ababdxDAdDGGEO1O2DAdxd現(xiàn)求橫截面上距圓心為現(xiàn)求橫截面上距圓心為 的的點(diǎn)處的切應(yīng)變點(diǎn)處的切應(yīng)變式中ddx為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)度的變化率，記為ddxdGGdxt上式表明：橫截面上的切應(yīng)力隨著到圓心的距離 按直線規(guī)律變化，在同一半徑為的圓周上，各點(diǎn)的切應(yīng)力均相等。根據(jù)剪切胡克定律稱作：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，對(duì)于給定的橫截面為常量。?ddx橫截面上剪應(yīng)力的合成結(jié)果就是該橫截面上的扭矩。2AAddGdAGdAdxdxAdATt trdAttmaxdAo2pAIdA稱為橫截面的稱為橫截面的極慣

12、性矩ab pdTGIdx pdTdxGI pdTGdxIt在給定的橫截面上，最外緣剪應(yīng)力最大maxmax PPTTIWtmaxPPIW 抗扭截面系數(shù)(1) 實(shí)心圓軸取距離圓心為，厚度為d的環(huán)形面積為dA于是，ddA2/2220 2dPAIdAd 324d43max32162PPdIdWddod(2) 空心圓軸24422 2()32DdPIdDd )1 (3244DDd 令34(1)162PPIDWDDodd等直圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿內(nèi)各點(diǎn)均處于純剪切狀態(tài)，其強(qiáng)度條件是最大工作剪應(yīng)力不大于材料的許用剪應(yīng)力。即 tmax t等直圓軸強(qiáng)度條件為 maxPTWt根據(jù)上式可進(jìn)行三種不同情況的強(qiáng)度計(jì)算 校核強(qiáng)度

13、 設(shè)計(jì)截面 計(jì)算許可荷載m a xPTWtm a xPTWtm a xPTWt單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：pdTdxGI相距dx的兩橫截面的扭轉(zhuǎn)角pdTdxdxdxGIpTddxGI 相距L的兩橫截面的扭轉(zhuǎn)角為0LpLTddxGI 若在L長(zhǎng)度內(nèi)，T、G、I p為常數(shù)，則上式可寫成：00LLpppTTTLdxdxGIGIGIGIp 抗扭剛度對(duì)比 軸向拉壓EANLl pTLGI公式形式相似，適用條件相同。圓軸扭轉(zhuǎn)pGITLipiiiGILTLpxGITdx0)( 為了保證軸的剛度，通常限制軸的最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角max剛度條件： max在工程中，的單位習(xí)慣上用 度/m,記為/m，而按 (3-16) 式求出的值單

14、位為弧度/m ，此外，等直桿，(3-16) 式中的T 為 Tmax(3-17) 上式可改寫成 max180pTGI(3-18)：許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角通常一根軸必須同時(shí)滿足強(qiáng)度條件和剛度條件。按(3-18) 可進(jìn)行三種不同形式的剛度計(jì)算：即 校核剛度max180 pTGI 設(shè)計(jì)截面max180 pTIG 計(jì)算許可荷載max 180pGIT 實(shí)心圓軸的直徑D=100mm，長(zhǎng)l=1m，兩端受外力偶矩m0=14kNm作用，如圖所示。設(shè)材料的剪切彈性模量G=80GPa。ABzm0m0yC(1) 桿內(nèi)圖示截面上A、B、C三點(diǎn)處的剪應(yīng)力數(shù)值及方向；(2) 桿內(nèi)最大剪應(yīng)力t max(3) 兩端截面之間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

15、試求：ABzm0m0yC解：(1) 由截面法，易求得軸任意截面的扭矩均為T=m0MPapa4 .71104 .716ApAITt 31243105010321001014BpBITt MPa4 .7131243105010321001014CpCITt MPa7 .3531243102510321001014 截面扭矩為正號(hào)扭矩，由靜力等效的關(guān)系知：在整體圖中從右往左看，剪應(yīng)力方向?yàn)閠A水平向左，tB鉛垂向下，tC豎直向上。ACByzT(2) 因?yàn)榈戎眻A軸，且各截面T相等，因此，軸內(nèi)最大剪應(yīng)力即為任意截面最外緣的剪應(yīng)力。MpaA4 .71 maxtt(3)pTLGI)(1078. 110321

16、00108011014212493弧度 一傳動(dòng)軸，橫截面上最大扭矩為Tmax=1.5kNm，許用剪用力t=50MPa，試按下列兩種方案確定軸的截面尺寸，并比較其重量。(1) 橫截面為實(shí)心圓截面(2) 橫截面是內(nèi)外徑比 = 0.9的空心截面解解： 設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸 maxmaxPTWtt max PTWt tmax3016 Td即 3633max0105014. 3105 . 11616tTdmmm5 .53105 .533mmd54 0取(2) 設(shè)計(jì)空心圓軸 max PTWt tmax43)1 (16 TD 34max)1 (16tTDmm76mmDd4 .689 . 0m336431076105

17、0)9 . 01 (14. 3105 . 116(3) 比較重量同種材料，桿長(zhǎng)相同，所以，重量比即為橫截面面積之比395. 0545 .687644 2222022ddD重量比空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕，說明空心軸材料利用率高。原因？ 有一外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm的空心圓軸與一直徑d=80mm的實(shí)心圓軸用鍵聯(lián)接(如圖所示)。在A輪輸入功率為N1=300馬力。在B、C輪處分別負(fù)載N2=150馬力、N3=150馬力。若已知軸的轉(zhuǎn)速為n=300轉(zhuǎn)/分。材料的剪切彈性模量為G=80GPa，軸的扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力t=100MPa，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角=1/m ，要求：(1) 校核軸的強(qiáng)度和剛度(不考慮鍵的

18、影響)(2) 三個(gè)輪的位置應(yīng)如何設(shè)置才較為合理(3) 經(jīng)合理布置各輪位置后，求C截面相對(duì)A截面轉(zhuǎn)角ABC2m1m1mD解： 計(jì)算外力偶mkNm730030071mkNmm5 . 3300150732 繪制扭矩圖m1m2m32m1m1m+T(kNm) 剛度校核“ AD”軸3maxmax961807 1018080 105.79 10ADpTGI 0.8661mm12444410)80100(32)(32I dDp式中461079. 5m“ DC”軸3maxmax961803.5 1018080 104.02 10DCpTGI 0.6241mm4612441002. 410803232I mdp式中經(jīng)校核，全軸剛度足夠。 強(qiáng)度校核CD軸：36maxmax63.5 1035 10100 10CDPTPaWt339638010100 101616PdWm式中 MPaMPa4035t經(jīng)校核CD軸強(qiáng)度足夠。式中34349801 ()1001 ()101616100PdWDD3610116mAD軸：36maxmax67 1060.3 1060.3116 10ADPTPaMPaWt經(jīng)校核AD軸強(qiáng)度不夠。403 .60maxttMPaMPa