多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)

1、多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì)多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念和性質(zhì) 定義定義1(1(多元數(shù)量值函數(shù)積分多元數(shù)量值函數(shù)積分) )記作上的積分在為函數(shù)也簡稱在不致混淆的情況下上的在元函數(shù)且稱此常數(shù)為多上在稱函數(shù)那末同一常數(shù)時上述和式都趨于的直徑的最大值當所有中怎樣選取在點怎樣劃分如果不論作和式作乘積任取點的度量示表用個小部分任意地劃分為將上的數(shù)量值函數(shù)是定義在函數(shù)可求體積即可求長或可求面積或它是可度量的界的幾何形體表示一個有設. .) )( (, ,積積分分. .) )( (可可積積. .fffdMMfnkMfMnknfkkknkkkkkkkkkk)(,0)(,)(,)(., 2 , 1,),(.)(,

2、 2 , 1),()(,)(),(,)(1 .或d,)(limd10積分微元積分微元積式積式被被被積函數(shù)被積函數(shù)積分域積分域稱為稱為稱為其中ffMfMfknkkd .d,)( ,)(d,limd,)(),()() 1 (10微微元元面面積積二二重重積積分分稱為是二重積分的積分域的直角坐標是點其中上的在區(qū)域稱為于是就是子區(qū)域的面積上的二元函數(shù)定義在就是那么平面上的區(qū)域是如果kkkknkkkdkkMfyxffMffxOy .d,)( ,)(,limd,)(),()()2(10積微元積微元體體三重積分三重積分稱為是三重積分的積分域的直角坐標為點其中上的在區(qū)域稱為于是就是子區(qū)域的體積上的三元函數(shù)定義在

3、就是那么是三維空間的閉區(qū)域如果VVMVfVfVzyxfVVfVkkkknkkkkkdVkk于是就是子弧段的弧長函數(shù)或三元上的二元就是定義在弧段那么的曲線弧段或空間是一條平面如果,)()(),()()()3(kCfC .)(,)(,limd,limd,1010積分路徑積分路徑一型曲線積分一型曲線積分第第對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分稱為其中也稱為上在曲線段稱為或CCfsfszyxfsfsyxfCnkkkkkdCnkkkkd .,)(,limd,)(),()()4(1,0曲曲面面積積分分第第一一型型對對面面積積的的曲曲面面積積分分也稱為上在曲面稱為于是就是子曲面的面積上的三元函數(shù)就是定義在那么為

4、一片曲面如果SfSfSzyxfSSfSSnkkkkkdkk1.1.線性性質(zhì)線性性質(zhì) ddd)2(,dd) 1 (MgMfMgMfkMfkMkf為一常數(shù)2.2.對積分域的可加性對積分域的可加性 21ddd,)()(),()()(2121MfMfMf則除邊界點外無公共部分與且設1.3 1.3 積分存在的條件和性質(zhì)積分存在的條件和性質(zhì) dd)2(fMf LMflMLMfld,)3(則若4.4.中值定理中值定理 PfMfPCfd,)(,使點上至少存在一則在設 dd,) 1 (MgMfMMgMf則若3.3.積分不等式積分不等式這這種種立立體體稱稱為為曲曲頂頂柱柱體體上上連連續(xù)續(xù)且且在在面面頂頂部部是是曲

5、曲軸軸的的柱柱面面線線平平行行于于的的邊邊界界曲曲線線為為準準線線而而母母是是以以側側面面面面上上的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域它它的的底底部部是是設設有有一一立立體體 ), 0 ) ,( ( ) ,( , , , DyxfyxfzzDDyxo 2.1 2.1 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義1.1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算二重積分的計算 xzo),(yxfz yD定義定義體積體積 = =平頂柱體的體積計算平頂柱體的體積計算底面積底面積高高類似曲邊梯形面積的求法類似曲邊梯形面積的求法曲頂柱體的體積計算曲頂柱體的體積計算iiiifV ) , (xzyoDiD ),

6、(ii （3 3）求和）求和 將將 n 個小平頂柱體的體積相加，得到原曲頂柱體個小平頂柱體的體積相加，得到原曲頂柱體 體積的近似值，即體積的近似值，即 .) ,(11iniiiniifVV （4 4）取極限）取極限 設設max1的直徑的直徑iniD ，則曲頂柱體，則曲頂柱體 的體積的體積 iniiifV 10) ,(lim. . 2.2.平面薄板的質(zhì)量平面薄板的質(zhì)量 設設有有一一平平面面薄薄板板在在oxy平平面面上上占占有有區(qū)區(qū)域域 D，其其面面密密度度 為為 D 上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)) ,(yx ，求求該該平平面面薄薄板板的的質(zhì)質(zhì)量量 m. . xyoD如何求非均勻薄板的質(zhì)量呢如何求非均

7、勻薄板的質(zhì)量呢? ? （2 2）近近似似 ) , (iiiD ) , 2, , 1(ni ， 第第i塊塊小小薄薄板板的的質(zhì)質(zhì)量量 im) , (ii i . . xyoD) , (ii iD （1 1）分分割割 將將區(qū)區(qū)域域 D ( (即即薄薄板板) )任任意意分分成成 n 個個子子域域：nDDD , , ,21， 并并以以i 表表示示iD ) , 2, , 1(ni 的的面面積積. . 9.1.2 9.1.2 二重積分的概念二重積分的概念 ) ,(limd),( 10iniiiDfyxf 積分和積分和被積表達式被積表達式.),( lim d ),( 10iniiiDfyxf 積積分分區(qū)區(qū)域域

8、被積函數(shù)被積函數(shù)積分變量積分變量面積元素面積元素二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義.,的的體體積積二二重重積積分分表表示示曲曲頂頂柱柱體體當當被被積積函函數(shù)數(shù)大大于于零零時時., 的的負負值值的的體體積積二二重重積積分分表表示示曲曲頂頂柱柱體體當當被被積積函函數(shù)數(shù)小小于于零零時時 .dd),(d),( DDyxyxfyxf ,dddyx xyo. D區(qū)域區(qū)域分分于坐標軸的直線網(wǎng)來劃于坐標軸的直線網(wǎng)來劃在直角坐標系下用平行在直角坐標系下用平行則面積元素為則面積元素為故故二二重重積積分分可可寫寫為為xyzO32223421 d ayxaD .323a , 222表表示示上上半半球球面面被被積積函函數(shù)數(shù)yxaz .),(,d222222ayxyxDyxaD : . 1 求求積積分分的的值值根根據(jù)據(jù)定定積積分分的的幾幾何何意意義義例例由由定定積積分分的的幾幾何何意意義義知知9.1.29.1.2 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì) .重重積積分分都都存存在在假假設設以以下下所所涉涉及及到到的的二二性質(zhì)性質(zhì) 7 7 （二重積分中值定理二重積分中值定理） .),(d),( ), ,( , , ) ,( fyxfDDDyxfD 使使得得上上至至少少存存在在一一點點則則在在的的面面積積為為記記上上連連續(xù)續(xù)在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設設解解：區(qū)域：區(qū)域D的面積的面積