第7章有限元的學(xué)基礎(chǔ)已排ppt課件

1、1第第7章有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)簡介章有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)簡介2結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元法中彈性力學(xué)是重要基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元法中彈性力學(xué)是重要基礎(chǔ)彈性力學(xué)彈性力學(xué)區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系材料力學(xué)材料力學(xué) 1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對(duì)象：、研究的對(duì)象： 變形體變形體 但也有區(qū)別。但也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件

2、。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。7.1材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué)33、研究的方法：有較大的區(qū)別。、研究的方法：有較大的區(qū)別。雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整

3、個(gè)截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答的較精確。所以，可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)

4、材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍精確程度，并確定它們的適用范圍。4x xq qy yxs圖 2-1ax xq qy yxs0 0圖 2-1b材料力學(xué)解答結(jié)果彈性力學(xué)解答結(jié)果5圖 2-3a圖 2-3b材料力學(xué)解答結(jié)果彈性力學(xué)解答結(jié)果6彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由

5、于研究對(duì)象的變但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，往形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，往需要冗長的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：7彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定 (1) 物體是連續(xù)的，亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的物體是連續(xù)的，亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這

6、樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。(2) 物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。時(shí)所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。(3) 物體是均勻的，也就是說整個(gè)物體是由同一種材料組成的。物體是均勻的，也

7、就是說整個(gè)物體是由同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù)彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變。才不隨位置座標(biāo)而變。8(4) 物體是各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同物體是各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。 (5) 物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物

8、體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有時(shí)，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。微分方程都成為線性方程。97.2彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念(1) 描述變形體的基本變量描述變形體的基本變量 位移位移 應(yīng)應(yīng)變變 應(yīng)力應(yīng)力

9、 材料參數(shù)材料參數(shù) 描述物體變形后的位置描述物體變形后的位置 描述物體的變形程度描述物體的變形程度 描述物體的受力狀態(tài)描述物體的受力狀態(tài) 描述物體的材料特性描述物體的材料特性 描述變形體的基本變量描述變形體的基本變量 10 upss us y z x p ps x y z 變量變量: 1、位移、位移 2、應(yīng)變、應(yīng)變 3、應(yīng)力、應(yīng)力 基本方程：基本方程：1、平衡方程、平衡方程 2、幾何方程、幾何方程 3、物理方程、物理方程 邊界條件：邊界條件：1、力邊界、力邊界 2、位移邊界、位移邊界 描述變形體的基本方程描述變形體的基本方程基本變量、基本方程及邊界條件基本變量、基本方程及邊界條件11 作用于彈

10、性體的外力作用于彈性體的外力(或稱荷載或稱荷載)可能有兩種：可能有兩種： 表面力表面力：是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體：是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào)分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào)x、y、z 來表示。來表示。 體力體力：是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣：是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)x、y、z表示。表示。彈性體受外

11、力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。(2) 外力的概念外力的概念12彈性體內(nèi)微小的平行六面體彈性體內(nèi)微小的平行六面體pabc，稱為微元體，稱為微元體pa=dx, pb=dy, pc=dz正應(yīng)力正應(yīng)力s剪應(yīng)力剪應(yīng)力 z y x 每一個(gè)面上的應(yīng)力每一個(gè)面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，分和兩個(gè)剪應(yīng)力，分別與三個(gè)坐標(biāo)軸平別與三個(gè)坐標(biāo)軸平行行s(3) 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念13 為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)角碼，為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)角碼，例如，正應(yīng)力例如，正應(yīng)力 是作用在垂直于是作用在垂直于x軸的面上同時(shí)也沿著軸

12、的面上同時(shí)也沿著x軸軸方向作用的。方向作用的。xs(a）正應(yīng)力）正應(yīng)力sxy 加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力應(yīng)力 是作用在垂直于是作用在垂直于x軸的面上而沿著軸的面上而沿著y軸方向作用的。軸方向作用的。（b）剪應(yīng)力）剪應(yīng)力應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念14應(yīng)力的正負(fù)應(yīng)力的正負(fù): 如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。面

13、上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。向?yàn)樨?fù)。應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念15剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律: 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相同大小相等，正負(fù)號(hào)也相同)。因此剪應(yīng)力記號(hào)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。由力矩平衡得出由力矩平衡得

14、出22022yzzydydzdxdzdxdy簡化得簡化得yzzy xyyxyzzyzxxz，剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念16應(yīng)力分量應(yīng)力分量 可以證明：如果可以證明：如果 這六個(gè)量這六個(gè)量在在p點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)力分量。 一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不

15、是常量，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。的函數(shù)。六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來表示：來表示：xyzxyyzzxsss、 s (2-2) xytzxyzxyyzzxxyyzzxsssssss17 彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述：一般有兩種方式來描述： 1、給出、給出各點(diǎn)的位移各點(diǎn)的位移；2、給出、給出各微元體的變形各微元體的變形。彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用此位移在彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用此位移在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)

16、軸三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點(diǎn)的位移并不是常值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。受力以后，各點(diǎn)的位移并不是常值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。(4) 位移、應(yīng)變、剛體位移位移、應(yīng)變、剛體位移18微元體的變形可以分為兩類：微元體的變形可以分為兩類：一類是長度的變化，一類是角度的變化。一類是長度的變化，一類是角度的變化。任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應(yīng)變?nèi)我痪€素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應(yīng)變(或稱正應(yīng)變或

17、稱正應(yīng)變)，用符號(hào)，用符號(hào) 來表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則來表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用加上相應(yīng)的角碼，分別用 來表示。當(dāng)線素伸長時(shí)，來表示。當(dāng)線素伸長時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)檎７粗?，線素縮短時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與其線應(yīng)變?yōu)檎７粗?，線素縮短時(shí)，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)。正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)。任意兩個(gè)原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變?nèi)我鈨蓚€(gè)原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為角應(yīng)變或剪應(yīng)變，用符號(hào)化值稱為角應(yīng)變或剪應(yīng)變，用符號(hào) 來表示。兩坐標(biāo)軸來表示。兩坐標(biāo)軸之間的角應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用之間的角應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來來表示。

18、規(guī)定當(dāng)夾角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的表示。規(guī)定當(dāng)夾角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。xyz、 、xyyzzx、xyxy197.3彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)基本方程000 xyxxzyyxyzzyzxzxyyxxzzxyzzyxxyzyyxzzzyxsss(1) 平衡方程平衡方程考慮微元體各個(gè)面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力與其體力考慮微元體各個(gè)面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力與其體力平衡，注意應(yīng)力從一個(gè)面到對(duì)面是變化的，即有增量，平衡，注意應(yīng)力從一個(gè)面到對(duì)面是變化的，即有增量，將作用于微元體各個(gè)方向的力求和，略去高階項(xiàng)，可得將作

19、用于微元體各個(gè)方向的力求和，略去高階項(xiàng)，可得平衡方程（受力狀態(tài)的描述）：平衡方程（受力狀態(tài)的描述）：20（2）幾何方程）幾何方程-應(yīng)變與位移的關(guān)系應(yīng)變與位移的關(guān)系a點(diǎn)在點(diǎn)在x方向的位移方向的位移分量為分量為u；b點(diǎn)在點(diǎn)在x方向的位移方向的位移：微元體由微元體由abcd變形為變形為abcd求線素求線素ab、ad的正應(yīng)變的正應(yīng)變 ，用位移分量來表示：，用位移分量來表示：xy、uuuudxx 線素線素ab的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋?)xuudxuuxdxx同理，同理，ad的正應(yīng)變?yōu)椋旱恼龖?yīng)變?yōu)椋?)yvvdyvvydyy21幾何方程幾何方程-應(yīng)變與位移的關(guān)系應(yīng)變與位移的關(guān)系x向線素向線素ab的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)

20、角 ，y向線素向線素ad的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角求剪應(yīng)變求剪應(yīng)變 ，也就是線素，也就是線素ab與與ad之間的直角的改變之間的直角的改變線素線素ab的轉(zhuǎn)角為：的轉(zhuǎn)角為：xya點(diǎn)在點(diǎn)在y方向的位移方向的位移分量為分量為v；b點(diǎn)在點(diǎn)在y方向的位移方向的位移分量分量：vvdxxb btga b ()1vvvdxvxxuudxdxxx22幾何方程幾何方程-應(yīng)變與位移的關(guān)系應(yīng)變與位移的關(guān)系x向線素向線素ab的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 ，y向線素向線素ad的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角求剪應(yīng)變求剪應(yīng)變 ，也就是線素，也就是線素ab與與ad之間的直角的改變之間的直角的改變同理，同理，y向線素向線素ad的的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角xy由于變形是微小由于變形是微小的，所以

21、上式可將比的，所以上式可將比單位值小得多的單位值小得多的 略去，得略去，得uxvxuy因此，剪應(yīng)變?yōu)椋阂虼?，剪?yīng)變?yōu)椋簒yvuxyvudxdya ab bc cd ddxxuudxxvvdyyuudyyvv a bcddbx xy y0 0圖 2-523幾何方程幾何方程-應(yīng)變與位移的關(guān)系應(yīng)變與位移的關(guān)系以上是考察了體素在以上是考察了體素在xoy一個(gè)平面內(nèi)的變形情況，一個(gè)平面內(nèi)的變形情況，xyvuxyxuxyvy同樣方法來考察體素在同樣方法來考察體素在xoz和和yoz平面內(nèi)的變形情況，平面內(nèi)的變形情況，可得：可得：zyzzxwvwwuzzyxz，聯(lián)立得到幾何方程，表明應(yīng)變分量與位移分量之間聯(lián)立得

22、到幾何方程，表明應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。的關(guān)系。 xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz，24（3）幾何方程的矩陣表示）幾何方程的矩陣表示可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向的正向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定該它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)變分量，它們就稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量。六個(gè)應(yīng)變

23、分點(diǎn)的應(yīng)變分量，它們就稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量。六個(gè)應(yīng)變分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來表示：來表示： 000000= b 000 xyzxyyzzxxyuzvyxwzyzx 25（4）剛體位移）剛體位移由幾何方程由幾何方程(2-3)可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量完全確時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀定時(shí)，位移分量卻不完全確定；這是因?yàn)?，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點(diǎn)，試的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。

24、為了說明這一點(diǎn)，試在在(2-3)中令：中令：有：有：積分后，得積分后，得式中式中: 是積分常數(shù)是積分常數(shù)0 xyzxyyzzx 000000uvwuvvwwuxyzyzzxxy，000 yzzxxyuuzyvvxzwwyx000 xyzuvw、 、 、 、 、 、26積分常數(shù)的幾何意義積分常數(shù)的幾何意義000 (2-4)yzzxxyuuzyvvxzwwyx 代表彈性體沿代表彈性體沿x方向的剛方向的剛體移動(dòng)。體移動(dòng)。 及及 分別代表分別代表彈性體沿彈性體沿y方向及方向及z方向的方向的剛體移動(dòng)。剛體移動(dòng)。0u0v0w 代表彈性體繞代表彈性體繞z軸的剛軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣，體轉(zhuǎn)動(dòng)。同樣， 及及 分分別

25、代表彈性體繞別代表彈性體繞x軸及軸及y軸軸的剛體位移。的剛體位移。zxy為了完全確定彈性體的位移，必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件為了完全確定彈性體的位移，必須有六個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來確定來確定 這六個(gè)剛體位移。這六個(gè)剛體位移。000 xyzuvw、 、 、 、 、r rx xy yozozx xy yp pxzyzq圖 2-627當(dāng)沿當(dāng)沿x軸方向的兩個(gè)對(duì)軸方向的兩個(gè)對(duì)面受有均勻分布的正應(yīng)力時(shí)，面受有均勻分布的正應(yīng)力時(shí)，在滿足先前假定的材料性質(zhì)在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角條件下，正應(yīng)力不會(huì)引起角度的任何改變，而其在度的任何改變，而其在x方方向的單位伸長則為向的單位伸長則為式中式中e為

26、彈性模量。為彈性模量。彈性體在彈性體在x方向的伸長方向的伸長還伴隨有側(cè)向收縮，即在還伴隨有側(cè)向收縮，即在y和和z方向的單位縮短可表示方向的單位縮短可表示為：為：式中式中 為泊松系數(shù)。為泊松系數(shù)。z zy yx x0 0 xsxsysyszszs圖 1-7應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系-虎克定律虎克定律 xxes xxyzeess，（5）物理方程）物理方程-應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系28單位伸長與應(yīng)力之間的關(guān)系單位伸長與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù)完全由兩個(gè)物理常數(shù)e及及 所確所確定。兩個(gè)常數(shù)也可用來確定剪應(yīng)定。兩個(gè)常數(shù)也可用來確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。力與剪應(yīng)變

27、之間的關(guān)系。z zy yx x0 0 xsxsysyszszs圖 1-71()1() 1()xxyzyyxzzzxyeees sss sss ss設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量前述兩式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)則合成應(yīng)變的分量前述兩式求得。實(shí)驗(yàn)證明，只須將三個(gè)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)變的分量。變的分量。物理方程物理方程-應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系29 如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用，如圖所示，任何兩坐標(biāo)軸的夾角用，如圖所

28、示，任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即得到：量有關(guān)，即得到：式中式中g(shù)稱為剪切模量，它與彈性模量稱為剪切模量，它與彈性模量e，波桑系數(shù)，波桑系數(shù) 存在如下的關(guān)系：存在如下的關(guān)系：因此，由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)因此，由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得；即將六個(gè)關(guān)系式寫可用疊加法求得；即將六個(gè)關(guān)系式寫在一起，得右式，稱為彈性方程或在一起，得右式，稱為彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律關(guān)系稱為廣義虎克定律。 111 xy

29、xyyzyzzxzxggg， 2(1)eg1()1()1()111xxyzyyxzzzxyx yx yy zy zzxzxeeegggsssssssss 物理方程物理方程-應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系30將應(yīng)變分量表示為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的將應(yīng)變分量表示為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將式改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的第一種形式。若將式改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，可得物理方程的第二種形式：形式，可得物理方程的第二種形式：(1)()(1)(12 )11(1)()(1)(12 ) 11(1)()(1)(12 ) 11 2(1)2(1)2(1)xxyzyxyz

30、zxyzxyxyyzyzzxzxeeeeeesss物理方程物理方程-應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系31物理方程物理方程矩陣的形式表示如下：矩陣的形式表示如下：100011100011100011(1)1 2(1)(1 2 )000002(1)1 2000002(1)1 2000002(1)xxyyzzxyxyyzyzzxzxesss 可簡寫為：可簡寫為： ds32d稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)e和和 111111(1) 1 2000(1)(1 2 )2(1)1 200002(1)1 2000002(1)ed對(duì)稱337.4兩種平面問題兩種平面問題彈性力學(xué)可分為空

31、間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、間問題簡化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。

32、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。 （1）平面應(yīng)力問題）平面應(yīng)力問題 （2）平面應(yīng)變問題）平面應(yīng)變問題34厚度為厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。變化。以薄板的中面為以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為面，以垂直于中面的任一直線為z軸。軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：各點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)另外由于平

33、板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于xoy平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即 ，所以稱為平面應(yīng)力，所以稱為平面應(yīng)力問題。問題。xyxyyxss、000zzxxzzyyzs，222()0()0()0ztzxtzytzzzs，(1)平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題35平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題36一般應(yīng)力狀態(tài)一般應(yīng)力狀態(tài)可以簡化為：可以簡化為： xytzxyzxyyzzxxyyzzxsssssss xyxysss平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題37物理方程中后兩式可見，這時(shí)的剪物

34、理方程中后兩式可見，這時(shí)的剪應(yīng)變：應(yīng)變：由物理方程中的第三式可見：由物理方程中的第三式可見：一般一般 ， 并不一定等于零，并不一定等于零，但可由但可由 及及 求得，在分析問題求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮時(shí)不必考慮。于是只需要考慮 三個(gè)應(yīng)變分量即可，于是三個(gè)應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣簡化為：應(yīng)變矩陣簡化為：1()1()1()111xxyzyyxzzzxyxyxyyzyzzxzxeeegggs sss sss ss00yzzx，()zxyess 0zszxsysxyxy、 、 xyxy平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題38物理方程簡化為：物理方程簡化為：11 12(1)xxyyyxxyxyxy

35、eegessss2221 112(1)12xxyyxyxyxyxyeeeess轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題39將上式用矩陣方程表示：將上式用矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣彈性矩陣d則簡化為：則簡化為：21010 110 02xxyyxyxyess ds 21010 11002ed平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題40只有只有 三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程：三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程： xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz， xyxyuxvyuvyxxyxy、 、平面應(yīng)力問題平面

36、應(yīng)力問題可簡化為：可簡化為：41一縱向一縱向(即即z向向)很長，且沿橫截很長，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，而且不沿長度變化的面力和體力，如圖右所示。如圖右所示。由于物體的縱向可近似地作為由于物體的縱向可近似地作為無限長考慮，截面尺寸與外力又不無限長考慮，截面尺寸與外力又不沿長度變化；當(dāng)以任一橫截面為沿長度變化；當(dāng)以任一橫截面為xy面，任一縱線為面，任一縱線為z軸時(shí)，則所有一軸時(shí)，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿都不沿z方向變化，它們都只是方向變化，它們都只是x和和y的函數(shù)。此外，由于

37、對(duì)稱的函數(shù)。此外，由于對(duì)稱(任一任一橫截面都可以看作對(duì)稱面橫截面都可以看作對(duì)稱面)，所有，所有各點(diǎn)都只會(huì)有各點(diǎn)都只會(huì)有x和和y方向的位移而不方向的位移而不會(huì)有會(huì)有z方向的位移，即方向的位移，即 w = 0 。這種問題稱為平面應(yīng)變問題。這種問題稱為平面應(yīng)變問題。（2）平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題42既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函數(shù)，由幾何方程：的函數(shù)，由幾何方程：可見可見 。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量 ，平面應(yīng)變時(shí)幾何方程仍然簡化為：平面應(yīng)變時(shí)幾何方程仍然簡化為： xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz， xyxyuxvyuvyxx

38、yxy、 、0zyzzx平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題43因?yàn)橐驗(yàn)橛晌锢矸匠讨泻髢墒娇梢娪晌锢矸匠讨泻髢墒娇梢娪钟晌锢矸匠讨械牡谌娇梢姡河钟晌锢矸匠讨械牡谌娇梢姡涸谄矫鎽?yīng)變問題中，雖然在平面應(yīng)變問題中，雖然 ，但但 一般并不等于零，不過它可以由一般并不等于零，不過它可以由 及及 求得，在分析問題時(shí)不必考求得，在分析問題時(shí)不必考慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量 需要考慮。即需要考慮。即xsys00yzzx，00yzzx，()zxys ss0zzsxyxyss、 、(1)()(1)(1 2 )11(1)()(1)(1 2 ) 11(1)()(1)(1 2 ) 112(1)2(

39、1)2(1)xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxzxeeeeeesss xyxysss平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題44物理方程簡化為：物理方程簡化為：(1)()(1)(12 )1(1)() (1)(12 ) 1(1)122(1)(1)(12 )2(1)xxyyxyxyxyxyeeeess平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題45將上式用矩陣方程表示：將上式用矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣彈性矩陣d則為：則為： ds101(1)10 (1)(12 ) 112002(1)xxyyxyxyess 101(1)10 (1)(12 ) 112002(1)ed平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題46

40、7.5軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題1）幾何形狀關(guān)于軸線對(duì)稱；）幾何形狀關(guān)于軸線對(duì)稱；2）作用于其上的載荷關(guān)于軸線對(duì)稱。）作用于其上的載荷關(guān)于軸線對(duì)稱。3）約束條件關(guān)于軸線對(duì)稱。）約束條件關(guān)于軸線對(duì)稱。 qzrxp( , , )rzq柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系（1）軸對(duì)稱問題特點(diǎn)）軸對(duì)稱問題特點(diǎn)因過因過z z軸的任一子午面都是對(duì)稱面，其軸的任一子午面都是對(duì)稱面，其上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)p p只在該平面上發(fā)生位移，即彈性只在該平面上發(fā)生位移，即彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)力與應(yīng)變只與坐標(biāo)體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)力與應(yīng)變只與坐標(biāo)r r、z z有關(guān)，與有關(guān)，與 無關(guān)。從而，軸對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)無關(guān)。從而，軸對(duì)稱問題可轉(zhuǎn)化為二維問題，但因與

41、平面問題有區(qū)別，?；癁槎S問題，但因與平面問題有區(qū)別，常稱為二維半問題。稱為二維半問題。47位移分量位移分量應(yīng)力分量應(yīng)力分量應(yīng)變分量應(yīng)變分量 =0 tru wuq trzrzqss ss trzrzq （2）軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題基本變量基本變量48基本方程：基本方程：幾何方程：幾何方程：物理方程：物理方程：00rrzrrzzrrzkrzrzzzrqssss trzrztuuwuwrrzzrq111(1)1(1)(12 )11120002(1)rzzreqsss（3）軸對(duì)稱問題基本方程軸對(duì)稱問題基本方程497.6 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程圖示一平衡的杠桿，對(duì)圖示一平衡的杠桿，對(duì)c點(diǎn)寫

42、力矩點(diǎn)寫力矩平衡方程：平衡方程：圖圖2-8b表示杠桿繞支點(diǎn)表示杠桿繞支點(diǎn)c轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖：剛體位移圖：綜合可得：綜合可得：即：即：式是以功的形式表述的。表明：圖式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí)，的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。功原理。babaabbapbpa0 aabbpp abpbpaabacb(a)(b)bpapcrbacba b a圖 2-850 進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和和 這兩個(gè)位這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振

43、一下讓它移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足該式的關(guān)系。傾斜，一定滿足該式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理: 對(duì)于在力對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛由于是假想，故稱為虛位移位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖這就叫做虛位移原理，也稱

44、虛功原理。在圖2-8a中中的的 和和 所作的功就不是發(fā)生在它本身所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)狀態(tài)a)的位移上，的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾模淮嬖谖灰埔驗(yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)，而是在狀態(tài)(b)的位移的位移上作的功。可見，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)上作的功。可見，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。假象的位移。abapbp（1）虛功原理）虛功原理51必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來講

45、，它必對(duì)于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來講，雖然是須是在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。符合的微小的剛體位移。還要注意，還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖中的反力如圖中的反力 ，由于支點(diǎn)，由于支點(diǎn)c沒有位移，故沒有位移

46、，故 所作的虛功對(duì)于零所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖中的。反之，如圖中的 和和是在位移過程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系是在位移過程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。crcrapbp虛功原理虛功原理52虛功原理表述如下：虛功原理表述如下：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的虛剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在相

47、符合的任意微小的虛剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在虛位移上所作的總功虛位移上所作的總功( (各力所作的功的代數(shù)和各力所作的功的代數(shù)和) )恒對(duì)于零。恒對(duì)于零。虛功原理用公式表示為：虛功原理用公式表示為：這就是虛功方程，其中這就是虛功方程，其中p p和和 相應(yīng)的代表力和虛位移。相應(yīng)的代表力和虛位移。0 p 虛功原理與虛功方程虛功原理與虛功方程53彈性變形體情況l 虛功原理虛功原理-用于彈用于彈性體的情況性體的情況12us12wf外力功：應(yīng)變能12vudvs系統(tǒng)變形能系統(tǒng)總勢(shì)能uw 54()()()xxyyzzxyxyyzyzzxzxvvudvx uy vz w dvx uy vz w dts s

48、 s 由于虛位移是微小的，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過程中外力由于虛位移是微小的，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過程中外力保持為常量，則上式的變分符號(hào)可提到積分號(hào)外。保持為常量，則上式的變分符號(hào)可提到積分號(hào)外。()0wtu外力虛功即作用于彈性體上的外力在虛位移上做的功；外力虛功即作用于彈性體上的外力在虛位移上做的功；內(nèi)力虛功即應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的的虛功，也稱虛應(yīng)變能。表內(nèi)力虛功即應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的的虛功，也稱虛應(yīng)變能。表示如下：示如下：虛虛應(yīng)應(yīng)變變能能外力虛功外力虛功虛位移分量虛位移分量虛應(yīng)變分量虛應(yīng)變分量（2）彈性力學(xué)虛功方程及最小勢(shì)能原理彈性力學(xué)虛功方程及最小勢(shì)能原理55tu()0wtuwtu()()()xxyyzzxyxyyzyzzxzxvvudvtxuyvzw dvxuyvzw ds s s 最小勢(shì)能原理：最小勢(shì)能原理： 表明在滿足位移邊界條件的所有表明在滿足位移邊界條件的所有可能位移中，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體的勢(shì)能最小。即對(duì)可能位移中，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體的勢(shì)能最小。即對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體總勢(shì)能取極小于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體總勢(shì)能取極小值。顯然，最小勢(shì)能原理與虛功原理完全等價(jià)。值。顯然，最小勢(shì)能原理與虛功原理完全等價(jià)。 0w最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理t為外力功，即外力勢(shì)能