淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用摘要：本文主要介紹數(shù)學(xué)思想方法，及其在初屮數(shù)學(xué)教學(xué)屮的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)量關(guān)系；圖形關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合起來解決問題的一種思維方式。一 般地，人們把代數(shù)稱為“數(shù)”，而把幾何稱為“形”，數(shù)與形表面看是相互 獨(dú)立，其實(shí)在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問 題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)想形，以形助 數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有利于加深學(xué)生對 知識的識記和理解；在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生分析題中數(shù) 量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解

2、決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)，不僅能夠提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學(xué)生遷移思維能力。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)幾乎全部的知識中，處處以數(shù)學(xué)對象的直觀表象 及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快 的途徑。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳岸花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié) 合的境地。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先牛曾作過精辟的論述：“數(shù)與形，本是 相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合 百般好，隔離分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫離 這就是在強(qiáng)調(diào)把數(shù)和形結(jié)合起來考慮的重要性。把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為 圖形的性質(zhì)，或

3、者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可以使復(fù)雜問題簡單化、 抽象問題具體化因此，在教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，止確引導(dǎo) 學(xué)生適時(shí)的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值。在教材冇理數(shù)里面用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示冇理數(shù)，就是最簡單的數(shù) 形結(jié)合思想的體現(xiàn)，結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學(xué)生較好地理解有理數(shù) 的絕對值、相反數(shù)等概念，以及進(jìn)行兩個(gè)有理數(shù)的大小比較。例如上圖，在數(shù)軸上的兩點(diǎn)a、b表示的數(shù)分別為a、b,則表示下列 結(jié)論正確的是()(a)(b) a-b>0 (c) 2a+b>0 (d) a+b>0分析:木題首先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)a、b在數(shù)軸上的位置，得到a<-k0<b<

4、;lo 值得注意的是這一步所得就是山形到數(shù)的過程，應(yīng)引起學(xué)生思想上的關(guān) 注。然后可以利用取特殊值的方法(如：),一一帶入求解，從而獲得答 案。這就是完全將圖形遷移到數(shù)量上來。我們也可以繼續(xù)利用圖形，在數(shù) 軸上作出諸如b, 2a的長度，再利用線段的長短大小、加減和差來比較(a) (b) (c) (d)四個(gè)數(shù)量關(guān)系的正確與否。容易發(fā)現(xiàn)，不管是用哪一種方法，都是把圖形和數(shù)量結(jié)合起來的解題, 這種巧妙的結(jié)合可以使一些紛繁無緒，難以上手的問題獲得簡解。數(shù)形結(jié)合思想的滲透不能簡單的通過解題來實(shí)現(xiàn)和灌輸，應(yīng)該落實(shí)在 課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)探索過程中，如在相反數(shù)這節(jié)課，先從互為相反數(shù)的 兩數(shù)在數(shù)軸上的特征，即它們分別

5、位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)距離相等的 實(shí)例出發(fā)，揭示這兩數(shù)的幾何形象。充分利用數(shù)軸幫助思考，把一個(gè)抽象 的數(shù)的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數(shù)的定義: 只有符號不同的兩個(gè)數(shù)稱互為相反數(shù)。特別地規(guī)定：零的相反數(shù)是零。顯 得自然親切，水到渠成。同時(shí)也讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想方法的引領(lǐng)下感 受到了成功，初步領(lǐng)略和嘗試了它的功用，是一個(gè)非常好的滲透背景。又如，在教材平面圖形的認(rèn)識（一）里我們會(huì)遇見這樣的問題： 已知線段ab,在ba的延長線上取一點(diǎn)c使ca=3abo （1）線段cb是線段 ab的幾倍？（2）線段ac是線段cb的幾分z幾？這個(gè)題目的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設(shè)問內(nèi)容卻是一個(gè)數(shù)量問

6、題。若學(xué) 生不畫圖，則不易得到其數(shù)量關(guān)系，但學(xué)生只要把圖畫出，其數(shù)量關(guān)系就 一目了然。此題的出題意圖即為數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。再看例2：完成下列計(jì)算：1+3二？1+3+5=?1+3+5+7二？1+3+5+7+9二？根據(jù)計(jì)算結(jié)果，探索規(guī)律。在這題的教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什 么？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察（每個(gè)算式和結(jié)果的特點(diǎn)）、比較（不同算式z間的 異同），歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。在探索過程中可以鼓 勵(lì)學(xué)生進(jìn)行相互合作交流，也可以提供如下的幫助：列出一個(gè)點(diǎn)陣，用圖形的直觀來幫助學(xué)生進(jìn)行猜想。這就是典型的把 數(shù)量問題轉(zhuǎn)化到圖形中來完成的題型。再如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”知識的時(shí)候

7、, 更是借助于函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的知識，這是數(shù)形結(jié)合思想的最生動(dòng)的 應(yīng)用。再看例題：如圖1,在矩形abcd中，動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，沿bc, cd,da運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)a停止，設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的路程為x, aabp的面積為y,如果y 關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示，則aabc的面積是（）a、 10 b、 16c、 18 d、 20分析引導(dǎo)：把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何圖形有機(jī)的結(jié)合起 來，并充分利用這種結(jié)合尋找解題的思路，使問題得到解決。另外，在分 析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，根據(jù)問題的具體情形，把 圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖 形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單

8、化，抽象問題具體化，化難為易，獲取簡 便易行的辦法。本題要將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和aabp的面積的變化與所給的圖像聯(lián) 系起來，并找出對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。解：根據(jù)圖像，可得點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c走過的路程是4,即bc二4,點(diǎn)p 從點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)d的過程屮，aabp的面積未發(fā)生變化，點(diǎn)p走過的路程 是5,故可得的面積為12 x4x5=10o故選a。在解決以上問題時(shí)，我們都用到了數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)研究的對象 是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面，“數(shù)”與“形”兩 者之間并不是孤立的，而是有肴密切的聯(lián)系，數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為 圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，所 以，我們一定要通過課堂的教學(xué)、習(xí)題的講解使學(xué)生充分地理解數(shù)中有形、 形中有數(shù)、數(shù)形是緊密聯(lián)系的，從而得到數(shù)形z間的對應(yīng)關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué) 生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，耍注意三點(diǎn)：第一要徹底明 白一些概念和運(yùn)算