定積分的幾何應用新08705

1、第六章 定積分的應用定積分的應用一、一、 定積分的微元法定積分的微元法二、二、 平面圖形的面積平面圖形的面積三、三、 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積用定積分表示一個量，用定積分表示一個量，如幾何量、如幾何量、 物理量或其物理量或其他的量，他的量，一般分四步考慮，一般分四步考慮， 我們來回顧一下解決我們來回顧一下解決曲邊梯形面積的過程曲邊梯形面積的過程.第一步分割：第一步分割： 將區(qū)間將區(qū)間 a, b 任意分為任意分為 n 個子區(qū)個子區(qū)間間 xi - - 1, xi (i = 1, 2, , n)， 其中其中 x0 = = a，xn = = b .一、一、 定積分的微元法定積分的微元法第三步求和：第三

2、步求和： 曲邊梯形面積曲邊梯形面積 a.)(1iniixfa 第四步取極限：第四步取極限： n ， = max xi 0，.d )()(lim10 xxfxfabainii 第二步取近似：第二步取近似：在子區(qū)間在子區(qū)間 xi- -1, xi 上，上，任取一點任取一點 i ， 作小曲邊梯形面積作小曲邊梯形面積 ai 的近似值，的近似值， ai f ( i) xi .(i=1,2,n)如果把第二步中的如果把第二步中的 i 用用 x 替代，替代， 中的被積分式中的被積分式 f (x)dx 具有類具有類同的形式，同的形式，第二步取近似時其形式第二步取近似時其形式 f( i) xi ，與第四，與第四步積

3、分步積分xxfbad )( xi 用用 dx 替代替代， 那么它就是第四步積分中的被積分那么它就是第四步積分中的被積分式式，第一步選取積分變量，第一步選取積分變量，例如選取例如選取 x， 并確定并確定其范圍，其范圍，例如例如 x a, b， 在其上任取一個子區(qū)間在其上任取一個子區(qū)間記作記作 x, x + + dx.第二步第二步取所求量取所求量 i 在子區(qū)間在子區(qū)間 x, x + + dx 上的部上的部分量分量 i 的近似值的近似值 i f (x)dx， 第三步第三步取定積分取定積分.d )(xxfiba 基于此，我們把上述四步簡化為三步：基于此，我們把上述四步簡化為三步：幾點說明：幾點說明：

4、(1) 取近似值時，取近似值時， 得到的得到的是形如是形如f (x)dx 的近似值，的近似值，并且要求并且要求 i - - f (x)dx 是是 dx 的高階無窮小量，的高階無窮小量， 關 于關 于后一個要求在實際問題中常后一個要求在實際問題中常常能滿足常能滿足. (2) 滿足滿足 (1) 的要求后，的要求后，f (x)dx 是所求量是所求量 i 的微分，的微分，所以第二步中的近似式常用微分形式寫出，即所以第二步中的近似式常用微分形式寫出，即di = f (x)dx ，di 稱為量稱為量 i 的微元的微元.上述簡化了步驟的定積分方法稱為定積分的微上述簡化了步驟的定積分方法稱為定積分的微元法元法

5、.xaoxx + + dxy = f (x)ady)()(xgxf-),()(xgyxfy與計算由區(qū)間計算由區(qū)間a, b上的兩條連續(xù)曲線上的兩條連續(xù)曲線 以及兩條直線以及兩條直線x=a與與x=b所圍成的平面圖形的面積。所圍成的平面圖形的面積。 由微元法，取由微元法，取x為積分變量，為積分變量，其變化范圍為區(qū)間其變化范圍為區(qū)間a, b，在，在區(qū)間區(qū)間a, b的任意一個小區(qū)間的任意一個小區(qū)間x, x+dx上，相應的面積可上，相應的面積可以用以用 x點處的函數(shù)值點處的函數(shù)值二、二、 平面圖形的面積平面圖形的面積ayxboxy = f (x)x+ +dxy = g(x)ad為高為高所以，所求平面圖形的

6、面積所以，所求平面圖形的面積a為為.d | )()(|xxgxfaba - - 以以dx為底的矩形面積近似代替（如圖），從為底的矩形面積近似代替（如圖），從而得到面積元素而得到面積元素dxxgxfda)()(-類似地可得，由區(qū)間類似地可得，由區(qū)間c,d上的兩條連續(xù)曲線上的兩條連續(xù)曲線與與 ，（，（ 當當 ） 以及兩直線以及兩直線 與與 所圍成的平面圖所圍成的平面圖)(yx( )xy , , ( )( )yc dyycy dy 形的面積為形的面積為-dcdyyya)()( xoycdyy+dy( )xy( )xy 例例1 計算由曲線計算由曲線 及直線及直線 所圍所圍成的平面圖形的面積。成的平面圖

7、形的面積。2xy xy 2xyxydxxxa)(102-61)3121(1032-xx解：解：作出所圍成的平面圖形作出所圍成的平面圖形取取x為積分變量，其變化區(qū)間為積分變量，其變化區(qū)間為為0，1。于是，平面圖形的面積。于是，平面圖形的面積例例 2求出拋物線求出拋物線 y2 = 2x 與直線與直線 y = x 4 所所圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積.解解作草圖，如圖，作草圖，如圖， 求拋物線與直線的交點，求拋物線與直線的交點，即解方程組即解方程組 - - , 4,22xyxy得交點得交點 a (2, - - 2) 和和 b (8, 4).xab- -2 4yy = x- -4y2 =

8、2x(8,4)(2,- -2),d2) 4(d)(d212yyyyxxa - - - - 于是于是 - - - - 422d2)4(yyya如果選擇如果選擇 x 為積分變量，為積分變量， 那么它的表達式就比上式復雜那么它的表達式就比上式復雜.如果選擇如果選擇 y 作積分變量，作積分變量，y - 2, 4 ，.18 xyab(8,4)(2,- -2)- -24yy = x- -4y2 = 2xy + + dy 任取一個任取一個子區(qū)間子區(qū)間 y, y + + dy - 2, 4 ， 則在則在 y, y + + dy 上上的面積微元是的面積微元是例例 3求求 y = sinx， y = = cos

9、x，解解由上述公式知由上述公式知2, 0 xx所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積.d |cossin|20 xxxa - - xxxd )cos(sin40 - - - xxxd )cos(sin24 - - 2440sincossincos - - - xxxx).12(2- - 也可以先也可以先作出該平面圖作出該平面圖形的草圖，形的草圖，xxxad )sin(cos40 - - .d )cos(sin24xxx - - 如圖，如圖，就不必用公式了就不必用公式了.則直接可得則直接可得).12(2- - y = = cos xxoy = sinx421y例例 4求橢圓求橢圓 x =

10、a cos t，y = b sin t 的面積，的面積，其中其中 a 0，b 0.解解因為圖形關于因為圖形關于 x 軸、軸、y 軸對稱，軸對稱， 所以橢圓面積是它在第所以橢圓面積是它在第一象限部分的面積的四倍，一象限部分的面積的四倍，.d40 axya把把 x = a cos t，y = b sin t代入上述積分式中，代入上述積分式中，上、下限也要相應地變換上、下限也要相應地變換 ( (滿足滿足積分變量積分變量 t ) ). 由定積由定積分的換元公式得分的換元公式得 axya0d4ttatbd )sin(sin402 - - ttabdsin402 .ab 即即xy12222 byaxo 一

11、個平面圖形繞平面內(nèi)的一條定直線旋一個平面圖形繞平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的立體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫轉(zhuǎn)一周所成的立體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。圓柱、圓錐、圓臺、球體、球冠做旋轉(zhuǎn)軸。圓柱、圓錐、圓臺、球體、球冠都是旋轉(zhuǎn)體。都是旋轉(zhuǎn)體。 計算由區(qū)間計算由區(qū)間a、b上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線 、兩直線兩直線x=a與與x=b及及x軸所圍成的曲邊梯形軸所圍成的曲邊梯形繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 )(xfy 三三 、 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 由微元法，取由微元法，取x為積分變量，其變化范圍為區(qū)間為積分變量，其變化范圍為區(qū)間a,b。在區(qū)間。在區(qū)間a,b的任意

12、一個小區(qū)間的任意一個小區(qū)間x,x+dx上，相上，相應的薄旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以點應的薄旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以點x處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x)為底為底面半徑，以面半徑，以dx為高為高 的扁圓柱體的體積近似代替，的扁圓柱體的體積近似代替， 從而得到體積元素從而得到體積元素 dxxfdv2)(dxxfvba2)(所以，所求旋轉(zhuǎn)所以，所求旋轉(zhuǎn)體的體積體的體積 類似地可得，由區(qū)間類似地可得，由區(qū)間c,d上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線 ,兩直線兩直線y=c與與y=d及及y軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 )(yx dyyvdc2)(例例 5求由橢

13、圓求由橢圓12222 byax解解利用圖形的對稱性利用圖形的對稱性,只需考慮第一象限內(nèi)只需考慮第一象限內(nèi)( (一一) ) 繞繞x軸：選取積分變量為軸：選取積分變量為 x 0, a ，所圍圖形分別繞所圍圖形分別繞x 軸和軸和y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 任取一個子區(qū)間任取一個子區(qū)間 x, x + + dx 0, a ，的曲邊梯形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積的曲邊梯形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積，所求體積為該體積的所求體積為該體積的2倍倍。在子區(qū)間在子區(qū)間 x , x + + dx 上旋轉(zhuǎn)體的微元為：上旋轉(zhuǎn)體的微元為：于是于是 dv1= y2 dx，12vv x

14、yad202 xaxbad)1(22202- - .34)3(2203222abxxaaba -yxox x+ +dx( (二二) )繞繞y y軸：軸：選積分變量選積分變量 y 0, b ，任取，任取子區(qū)間子區(qū)間 y , y + + dy 0, b. 在子區(qū)間在子區(qū)間 y , y + + dy 上體積的微元為上體積的微元為 則則yxvvbd22021 .34d)(22222022bayybbab -yxo y + +dyyxxdyxdv21例例 6求求 y = x2 與與 y2 = x 所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積所成的旋轉(zhuǎn)體體積.解解選積分變量選積分變量 x 0,

15、1 ( (兩曲線的交點為兩曲線的交點為 ( (0, 0) ) 和和 ( (1, 1) ， 任取子區(qū)間任取子區(qū)間 x, x + dx 0, 1 ，其上的體積的微元為其上的體積的微元為,d)(d2221xyyv- - xyyvd )(102221 - - .103d )(104 - - xxxx x+ +dx(1, 1)y2 = x2xy 21yxo( (一一) ) 本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 利用“微元法”推導了平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線弧長的公式等幾何學問題。二、重點和難點二、重點和難點“微元法”的思想及其應用是本章重點也是本章的難點。三、對學習的建議三、對學習的建議 在本章所有討論的問題中，積分式的建立都依賴于“微元法”這種數(shù)學思想，對于非均勻變化問題，