第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分教案第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的：理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系，能用導(dǎo)數(shù)描述一些實(shí)際問題中的變化率。教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義。教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念的理解。教學(xué)內(nèi)容：在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中，當(dāng)研究運(yùn)動(dòng)中的各種形式時(shí)，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度，如物體運(yùn)動(dòng)的速度；而當(dāng)物體沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，還需要考慮速度的方向，即曲線的切線問題，所有這些問題在數(shù)量關(guān)系上都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率，即導(dǎo)數(shù)。本節(jié)以速度問題和切線問題作為實(shí)際背景來建立導(dǎo)數(shù)概念。一、引例1變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度對于勻速運(yùn)動(dòng)來說，我們有速度公式：速度V=但是，實(shí)際問題中，運(yùn)

2、動(dòng)往往是非勻速的，因此，上述公式只是表示物體走完某一路程的平均速度，而沒有反映在出任何時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)的快慢，要想精確地刻畫出物體運(yùn)動(dòng)中的這種變化，就需要進(jìn)一步計(jì)論物體在運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻的速度，即所謂瞬時(shí)速度。引例1 設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程（路程s與t之間的函數(shù)關(guān)系）為：現(xiàn)在要求物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。解： 當(dāng)時(shí)間由變到時(shí)，物體經(jīng)過的路程為，于是比值就是物體在t0+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，記作, 即=.由于變速動(dòng)動(dòng)的速度通常連續(xù)變化的，所以從整體來看，運(yùn)動(dòng)是變速的，但從局部來看，在一段很短的時(shí)間內(nèi)，速度變化不大，可以近似地看作是勻速的，因此當(dāng)很小時(shí),可作為物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度的近

3、似值。容易理解到，越小，就越接近于物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，并且，當(dāng)無限小時(shí)，就無限接近于物在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即.2平面曲線的切斜率在平面幾何里，圓的切線被定義為“與圓只相交于一點(diǎn)的直線”，對一般曲線來說，能否把與曲線只相交于一點(diǎn)的直線定義為曲線的切線呢？比如與軸平行的直線均和曲線只相交于一點(diǎn)，但這些直線均不是曲線的切線，因此，需要給曲線在一點(diǎn)處的切線下一個(gè)普遍適用的定義。定義1： 設(shè)為曲線上一定點(diǎn)，在曲線上另取一點(diǎn)作割線，當(dāng)沿曲線移動(dòng)而趨向于時(shí)，若割線的極限位置存在，則稱其極限位置為曲線在點(diǎn)處的切線。引例2 設(shè)函數(shù)的圖像為曲線，為上一點(diǎn)，在點(diǎn)存在切線，試求切線的斜率。解： 記點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)

4、為曲線上另一點(diǎn)。與到軸的垂足分別為和，作垂直并交于，則.而比值是割線的斜率（為割線的傾斜角）當(dāng)時(shí)，沿曲線直線趨于，（為切線的傾斜角），從而得到切線的斜率=.總結(jié)：以上兩例，雖然它們的具體意義各不相同，但從科學(xué)結(jié)構(gòu)上看，卻具有完全相同的形式，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，還有許多其他的量都具有這種形式，即函數(shù)的增量與自變量增量之比當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限，實(shí)際上，研究這種形式的極限不僅是由于解決科學(xué)技術(shù)中的各處實(shí)際問題的需要，而且對數(shù)學(xué)中的很多問題在作理論性的探討時(shí)也是不可缺少的，為此，我們把這種形式的極限定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。二、導(dǎo)數(shù)的定義1.函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)定義2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有

5、定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即，也可記作，或。評注： 如果定義2中極限不存在，我們說函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。 若令，則當(dāng)時(shí)，有，故函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也可表示為 有了導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念，前面兩個(gè)引例中的問題可以重述為： 變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，就是路程在處對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即.平曲線的切線斜率是曲線縱坐標(biāo)在該點(diǎn)對橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，即 上面講的是函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)對區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)確定的值，都對應(yīng)著的一個(gè)確定導(dǎo)數(shù)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)

6、，這個(gè)函數(shù)叫原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記作或。導(dǎo)函數(shù)的定義式為，其中。評注：導(dǎo)函數(shù)也常簡稱為導(dǎo)數(shù)；若在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則，都有。2.求導(dǎo)舉例由導(dǎo)數(shù)定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以分為以下三個(gè)步驟：（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取極限：.例1： 求函數(shù)（C是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)解：（1）求增量：因?yàn)椋床徽撊∈裁粗?，的值總等于C，所以=0；（2）算比值：；（3）取極限：這就是說，常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零。例2： 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：（1）求增量：y=（x+ （2）算比值：,（3）取極限： 即.更一般地有.例3： 求對函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解（1）求增量：,（2）算比值：,（3）取極限：這里，由對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，根據(jù)重要極限，得：

7、,即例4： 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解： ，即 。這就是說，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù)。用類似的方法，可求得，這就是說，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù)。例5： 求函數(shù)（）的導(dǎo)數(shù)。解：即 。這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。特殊地，當(dāng)時(shí)，因，故有。上式表明，以為底的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它自己，這是以為底的指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特性。3左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，是一個(gè)極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此存在即在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右極限 及 都存在且相等。這兩個(gè)極限分別稱為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記作及，即，。命題：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。如

8、果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，就說在閉區(qū)間上可導(dǎo)。評注：分段函數(shù)分段點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)，如果在分段點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不一樣，必須先求左、右導(dǎo)數(shù)，然后利用命題得到分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性。例6： 討論在點(diǎn)連續(xù)性與可導(dǎo)性解： 在可導(dǎo)，當(dāng)然在點(diǎn)連續(xù)。例7： 討論在的可導(dǎo)性解： 在連續(xù) 在不可導(dǎo)。三、導(dǎo)數(shù)幾何意義由引例2及導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線上在相應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。有了曲線在點(diǎn)處的切線斜率，就很容易寫出曲線在該點(diǎn)處的切線方程，事實(shí)上，若存在，則曲線在點(diǎn)處的切線方程就是：.若 則切線垂直于軸，切線方程就是軸的垂線.若，則過點(diǎn)的法線方程是，而當(dāng)時(shí)，法線為軸的垂線=.例8： 求曲線在中點(diǎn)處的切線方程和法線方程。解： 因?yàn)?，由?dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以所求的切線方程為：，即.法線方程為,即.四、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在。由具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系知道，其中當(dāng)時(shí)為無窮小。上式兩邊同乘以，得。由此可見，當(dāng)時(shí)，。這就是說，函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的。所以，如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。另一方面，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該