高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點整理

1、數(shù)列1、數(shù)列中an旦Sn之間的關(guān)系：S , (n 1)an,注意通項能否合并。Sn &i,(n 2).2、等差數(shù)列：貶又:一如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即an - an 1=d , (n>2, nCN ),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項：若三數(shù) a、A、b成等差數(shù)列A 2通項公式：an a1 (n l)d am (n m)d或an pn q(p、q是常數(shù)).前一 n項和公式:n a1an2n n 1Sn nai 2 d常用性質(zhì)：若 m n p q m,n, p,q N ，貝U am an ap aq ；下標(biāo)為等差數(shù)列的項ak, ak m,

2、ak 2m，仍組成等差數(shù)列；數(shù)列 a。b (笛為常數(shù))仍為等差數(shù)列；若an、bn是等差數(shù)列，則kan、kan pbn (k、p是非零常數(shù))、*.ap nq( p,q N )、,也成等差數(shù)列。單調(diào)性：an的公差為d ,則：i) d0an為遞增數(shù)列；ii) d0an為遞減數(shù)列；iii) d0an為常數(shù)列；數(shù)列an為等差數(shù)列an pn q ( p,q是常數(shù))若等差數(shù)列an的前n項和Sn,則Sk、S2kSk、S3k82k是笑差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。等上匕中項；一若三數(shù)a、G b成等比數(shù)列G2 ab, ( ab

3、同號)。反之不一定成立。通項公式：an a1qn 1n m amq前n項和公式：Snai 1 qnai anqi q常用性質(zhì)若m n p qm,n, p,q N,則 am anap aq ； ak ,ak m ,ak 2m ,為等比數(shù)列，公比為 qk (下標(biāo)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項成等比數(shù)列)數(shù)列 an (為不等于零的常數(shù))仍是公比為 q的等比數(shù)列；正項等比數(shù)列an ；則lg an是公差為lgq的等差數(shù)列；1若an是等比數(shù)列，則 can , an2 , anr2 1 ran (r Z)是等比數(shù)列，公比依次是 q, q q . q單調(diào)性：a10,q1或a10,0 q1an為遞增數(shù)列；a10,0q

4、1或a 0,q1an為遞減數(shù)列；q 1an為常數(shù)列；q 0an為擺動數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列an的前n項和Sn,則Sk、S2kSk、S3k82k是等比數(shù)列.4、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法類型I | 觀察法：已知數(shù)列前若干項,求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。類型n |公式法：若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列 an的通項an可用公式an§, (n 構(gòu)造兩式作差求解。& S1,(n 2)用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二，即分段式；另一種是“合二一為二：，即a1和an

5、合為一個表達(dá)，(要先分n 1和n 2兩種情況分別進(jìn)行運算，然后驗證能否統(tǒng)一)。類型上| 累加法：形如 an 1 anf (n)型的遞推數(shù)列(其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù))可 構(gòu)造：an a 1 f(n 1)an 1 an 2 f(n 2).a2 ai f (1)將上述n 1個式子兩邊分別相加，可得:an f(n 1) f(n 2) .f(2)f(1) a(n 2)若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和若f (n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和.類型W | 累乘法：a形

6、如an 1 an f (n) -n-1 f (n)型的遞推數(shù)列(其中f (n)是關(guān)于n的函數(shù))可構(gòu)an 1f(n 1)an 1造：an 2f(n 2)空 f(1)a1將上述n 1個式子兩邊分別相乘，可得:anf(n 1) f(n 2) . f (2) f (1池,(n 2)有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型v |構(gòu)造數(shù)列法：形如an 1 pan q (其中p,q均為常數(shù)且p 0)型的遞推式：(1)若p 1時，數(shù)列 an為等差數(shù)列；(2)若q 0時，數(shù)列 an為等比數(shù)列；(3)若p 1且q 0時，數(shù)列 an為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如

7、下兩種：法一:設(shè)an 1 p(an)，展開移項整理得an 1 pan ( p 1)，與題設(shè)an 1panq比較系數(shù)(待定系數(shù)法)得,(p0)-q 7 can 1p(anp 1anp(an 1)，即an q構(gòu)成以a1 p 1-q為首項，以p為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項公 p 1式求出 an q的通項整理可得 an. p 1a a 一法一：由an1pan q得an pan 1 q(n 2)兩式相減并整理得 上一-p,即an an 1an 1 an構(gòu)成以a2 a1為首項，以p為公比的等比數(shù)列.求出 4 1 % 的通項再轉(zhuǎn)化為類型出(累加法)便可求出an.形如an 1 pan f(n)(p

8、1)型的遞推式：支f (n)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時：法一：設(shè)an An B p an 1 A(n 1) B ,通過待定系數(shù)法確定 A、B的值，轉(zhuǎn)化成以a A B為首項，以p為公比的等比數(shù)列 an An B，再利用等比數(shù)列的通項公式求出an An B的通項整理可得an.法二：當(dāng)f(n)的公差為d時，由遞推式得：an 1 pan f (n),anpan 1 f (n 1)兩式相減得： an 1 anp(an an 1)d ,令 bnan 1an 得:bn pbn 1 d轉(zhuǎn)化為類型V求出bn ,再用類型出(累加法) 便可求出an.蘭f (n)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時：法一：設(shè)anf (

9、n) p an 1 f (n 1),通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以a1f(1)為首項，以p為公比的等比數(shù)列anf (n),再利用等比數(shù)列的通項公式求出an f(n)的通項整理可得an.法二：當(dāng)f(n)的公比為q時，由遞推式得：an 1 pan f (n)，anpan 1 f (n 1),兩邊同日乘以q得anq pqan 1 qf (n 1)，由兩式相減得 an 1 anqp(anqan i),即an 1 qanan qan 1p ,在轉(zhuǎn)化為 類型v便可求出an.法三：遞推公式為an 1 pan qn （其中p, q均為常數(shù)）或an 1pan rqn （其中p, q, r均為常數(shù)）時，要先在原

10、遞推公式兩邊同時除以n 1an 1p c an 1q ，得：ft -?， q q q q引入輔助數(shù)列 bn （其中bn之），得：bn 1 -bn1再應(yīng)用類型V的方法解決。qnq q當(dāng)f （n）為任意數(shù)列時，可用 通法：在am pan f（n）兩邊同時除以pn 1可得到與胃 鼻 邛?，令之 ,則 ppp p,求出bn之后得nan p bn .bn 1 bn邛） ,在轉(zhuǎn)化為類型出（累加法） p類型w對數(shù)變換法：形如an 1paq（p 0,an 0）型的涕推式：在原遞推式an 1 paq兩邊取對數(shù)得lgan1 qlgan lg p ,令bn lgan得：bn 1qbnlg p ,化歸為an 1pan

11、q型，求出bn之后得an10bn.（注意：底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選擇）。類型口 I 倒數(shù)變換法：形如an 1 an pan冏（p為常數(shù)且p 0）的遞推式：兩邊同除于an向，轉(zhuǎn)化為1 1- p形式，化歸為 an 1 pan q型求出 A 的表達(dá)式，再求 an ；an an 1an還有形如a man的遞推式,也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成 ，mA m形式，化歸n 1pan qan 1 q an p為an 1 pan q型求出_1的表達(dá)式，再求an.an類型皿形如 an 2 pan 1 qan型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列 an an 1的形式求解。方法為:設(shè)an 2 kan 1 h(an

12、 1 kan)，比較系數(shù)得h k p, hk q ,可解得h、k ,于是an 1 kan是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為 an 1 pan q型?？傊?，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方 法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式 an.5、非等差、等比數(shù)列前 2項和公式的求法。位相減法一若數(shù)列 an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則數(shù)列an bn的求和就要采用此法將數(shù)列 an bn的每一項分別乘以bn的公比，然后在錯位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列an bn的前n項和.此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法.慨項相消法c一般地，當(dāng)數(shù)列的通項 an

13、 c (a,bi,b2,c為常數(shù))時，往往可將(an b1)(an b2)an變成兩項的差，采用裂項相消法求和可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項：設(shè)an ,通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等得an bian b2c,從而可得b2 bic=c ( ).(an bi)(an b2) (b2 bj an b1 an b2常見的拆項公式有：111一1 1 ;n(n 1) n n 11111-()(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 11 .(啟而)；a . b a bcnm1cnm n n! (n 1)! n!.什組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將