110連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

1、第十節(jié)第十節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)定理定理1若函數(shù)若函數(shù))(),(xgxf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則則),()(xgxf ),()(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,在在,sin xxcos),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性定理定理2若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間xi上上單調(diào)減少單調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù), ,則它的反函數(shù)則它的反函數(shù))(yx 也在對(duì)應(yīng)

2、也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間的區(qū)間),(|xyixxfyyi 上上調(diào)減少調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù). .證略證略單調(diào)增加單調(diào)增加(或或單調(diào)增加單調(diào)增加(或單或單例如例如, ,xysin 在在2,2 上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù), ,故故xyarcsin 在在1 , 1 上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù). .同理同理xyarccos 在在1 , 1 上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù); ;xyarctan 在區(qū)間在區(qū)間),(內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù); ;反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性定理定理2若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間xi上上單調(diào)減少單調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù), ,則它的反函數(shù)則它的反函數(shù))(

3、yx 也在對(duì)應(yīng)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間的區(qū)間),(|xyixxfyyi 上上調(diào)減少調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù). .證略證略單調(diào)增加單調(diào)增加(或或單調(diào)增加單調(diào)增加(或單或單同理同理xyarccos 在在1 , 1 上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù); ;xyarctan 在區(qū)間在區(qū)間),(內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù); ;反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性定理定理2若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間xi上上單調(diào)減少單調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù), ,則它的反函數(shù)則它的反函數(shù))(yx 也在對(duì)應(yīng)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間的區(qū)間),(|xyixxfyyi 上上調(diào)減少調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù). . 證略證略單調(diào)增加單調(diào)增加(或或單調(diào)增加單調(diào)增加

4、(或單或單同理同理xyarccos 在在1 , 1 上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù); ;xyarctan 在區(qū)間在區(qū)間),(內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù); ;總之總之, ,反三角函數(shù)反三角函數(shù),arcsin x,arccosx,arctan xxarccot在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的. .xarcycot 在區(qū)間在區(qū)間),(內(nèi)單調(diào)減少且連續(xù)內(nèi)單調(diào)減少且連續(xù). .復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理3若若,)(lim0axxx 函數(shù)函數(shù))(uf在點(diǎn)在點(diǎn)a處處連續(xù)連續(xù), ,則有則有)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 證證)(uf在點(diǎn)在點(diǎn)au

5、處連續(xù)處連續(xù), , 0 , 0 當(dāng)當(dāng) |au時(shí)時(shí), ,恒有恒有,| )()(| afuf又又,)(lim0axxx 對(duì)上述對(duì)上述, , 0 當(dāng)當(dāng) |00 xx時(shí)時(shí), ,恒有恒有|)(|auax , 結(jié)合上述兩步得結(jié)合上述兩步得, , 0 , 0 當(dāng)當(dāng)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性結(jié)合上述兩步得結(jié)合上述兩步得, , 0 , 0 當(dāng)當(dāng)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性結(jié)合上述兩步得結(jié)合上述兩步得, , 0 , 0 當(dāng)當(dāng), |00 xx時(shí)時(shí), ,恒有恒有| )()(| )()(|afxfafuf )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意義意義1. .2. .定理定理4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))

6、(xu 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且,)(00ux 而函數(shù)而函數(shù))(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn)0uu 處連續(xù)處連續(xù),極限符號(hào)可以與連續(xù)函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與連續(xù)函數(shù)符號(hào)互換;)(xu 的理論依據(jù)的理論依據(jù).定理定理3給出了變量代換給出了變量代換復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且,)(00ux 而函數(shù)而函數(shù))(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn)0uu 處連續(xù)處連續(xù),復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且,)(00ux 而函數(shù)而函數(shù))(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn)0uu 處連續(xù)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)則復(fù)

7、合函數(shù))(xf 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況. .例如例如, ,xu1 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,uysin 在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,xy1sin 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .例例 1求求.)1ln(lim0 xxx 解解xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim xxx10)1(limlneln .1 例例 2 求求. )1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos .1 )1cos(limxxx 例例 3 求求.1lim0 x

8、axx 解解令令,1yax 則則)1(logyxa ,ln)1ln(ay 易見(jiàn)當(dāng)易見(jiàn)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) ,0y所以所以xaxx1lim0 )1ln(lnlim0yayy yyya10)1ln(lnlim .lna 例例 4 求求.)21(limsin30 xxx 解解因?yàn)橐驗(yàn)閤xsin3)21( ,)21(6sin121 xxx所以所以6sin210sin30)21(lim)21(lim xxxxxxxx.6e 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)三角函數(shù)及反三角函數(shù)的的;指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xay )1, 0( aa在在),(內(nèi)單調(diào)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)且連續(xù);對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)xyalog )1

9、, 0( aa在在), 0(內(nèi)單內(nèi)單調(diào)且連續(xù)調(diào)且連續(xù); xy xaalog ,uay xualog 在在), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .討論討論 的不同值的不同值(均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)). .在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性討論討論 的不同值的不同值(均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)). .初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性討論討論 的不同值的不同值(均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)). .定理定理5基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)定理定理6一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)定義區(qū)間定義區(qū)間是指是指注意注意1.但在其但在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)定義域內(nèi)不

10、一定連續(xù). .例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xd在這些孤立點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義在這些孤立點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義. .,)1(32 xxy0: xd及及. 1 x在定義域內(nèi)是連續(xù)的在定義域內(nèi)是連續(xù)的.在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.包含在定義域內(nèi)的區(qū)間包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性在這些孤立點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義在這些孤立點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義. .,)1(32 xxy0: xd及及. 1 x初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性在這些孤立點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義在這些孤立點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義. .,)1(

11、32 xxy0: xd及及. 1 x在在0點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)沒(méi)有定義, , 函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間), 1 上上2.)()(lim00 xfxfxx 0(x定義區(qū)間定義區(qū)間). .連續(xù)連續(xù). .初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法(代入法代入法)例例 5 求求.12lim2 xexx解解因?yàn)橐驗(yàn)?2)( xexfx是初等函數(shù)是初等函數(shù) , 且且20 x是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn) , 所以所以12)( xexfx在點(diǎn)在點(diǎn)20 x處連續(xù)處連續(xù) , 于是于是12lim2 xexx1222 e.52e 冪指函數(shù)冪指函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?)()(ln)()(xuxvxvexu 故冪指函數(shù)可

12、化為復(fù)合函數(shù)故冪指函數(shù)可化為復(fù)合函數(shù). .易見(jiàn)易見(jiàn):若若axu )(lim, 0 ,)(limbxv 則則)(ln)()(lim)(limxuxvxvexu )(ln)(limxuxve abeln .ba 即即bxvaxu )()(lim注意公式成立的條件注意公式成立的條件例例6求求.)2(lim110 xxxex稱(chēng)為稱(chēng)為冪指函數(shù)冪指函數(shù).解解11lim01100)2(lim)2(lim xxxxxxxexex12 .21 形如形如)()()(xvxuxf 的函數(shù)的函數(shù))0)( xu有界性最大值和最小值定理有界性最大值和最小值定理定義定義對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間i上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)),

13、(xf如果如果有有,0ix 使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 則稱(chēng)則稱(chēng))(0 xf是函數(shù)是函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間i上的最大上的最大(小小)值值. .例如例如, ,sin1xy ,2 , 0 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),(上上, , 1max y. 1min y在在), 0(上上, ,. 1minmax yy定理定理1( (有界性和最大值和最小值定理有界性和最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()

14、(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 21121,31,110,1)(xxxxxxf又如又如, ,函數(shù)函數(shù) 證證 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a b上連續(xù)上連續(xù) 假如假如f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上無(wú)界上無(wú)界,將將a,b等分為兩個(gè)小區(qū)間等分為兩個(gè)小區(qū)間,a,(a+b)/2與與(a+b)/2,b,則則f(x)至少在其中之一上無(wú)界至少在其中之一上無(wú)界,把它記為把它記為a1,b1

15、;再將它等分為兩再將它等分為兩個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間a1,(a1+b1)/2與與(a1+b1)/2,b1,同樣同樣f(x)至少在其中之至少在其中之一上無(wú)界一上無(wú)界,把它記為把它記為a2,b2;這樣的步驟一直做下去這樣的步驟一直做下去, ,便得到便得到一個(gè)閉區(qū)間套一個(gè)閉區(qū)間套an,bn, anan+1,bnbn+1, 區(qū)間長(zhǎng)度趨于零，區(qū)間長(zhǎng)度趨于零，且且f(x)在其中任何一個(gè)閉區(qū)間在其中任何一個(gè)閉區(qū)間an,bn上都無(wú)界。上都無(wú)界。an單調(diào)上單調(diào)上升有上界升有上界,bn單調(diào)下降有下界，又由于單調(diào)下降有下界，又由于an-bn0,故故存存在在a b,使使 =liman=limbn (n) 因?yàn)橐驗(yàn)閍 b,而

16、而f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)處連續(xù),由函數(shù)極限的局部有界性由函數(shù)極限的局部有界性定理知存在定理知存在 0,m0,對(duì)對(duì) x u( , ) a,b,有有 |f(x)| m 但對(duì)充分大的但對(duì)充分大的n應(yīng)有應(yīng)有an bn u( , ) a,b,于是就得到于是就得到f(x)在這樣的在這樣的an,bn上有界上有界,構(gòu)成構(gòu)成矛盾矛盾. 因此函數(shù)因此函數(shù) f (x)在在a b上有上有界界 下面再證：設(shè)下面再證：設(shè)函數(shù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a b上連續(xù)，則上連續(xù)，則 f(x)在在a b上必能取得到最大值和最小值。上必能取得到最大值和最小值。 證證 構(gòu)造輔助函數(shù)法反證。構(gòu)造輔助函數(shù)法反證。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x

17、)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a b上連續(xù)上連續(xù) 設(shè)設(shè)m=supf(x), 但對(duì)但對(duì) x a,b,f(x) m.考慮輔助函數(shù)考慮輔助函數(shù) f(x)=1/(m-f (x) 則則f(x)是是a b上的恒正的連續(xù)函數(shù)上的恒正的連續(xù)函數(shù),由有界性定理可知，由有界性定理可知， 存在正數(shù)存在正數(shù)k，使得，使得f(x) k。從而。從而 f (x) m-1/k x a,b 這與這與m是是f(x)為為a,b上的上確界矛盾。因此存在上的上確界矛盾。因此存在 x a,b,使使 f ( ) =m。 同理可證存在同理可證存在a,b,使得使得f( )=inff(x)=m。定理定理2.零點(diǎn)定理與介值定理零點(diǎn)定理與介值定理定義定義如果如

18、果0 x使使, 0)(0 xf則則0 x稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù))(xf的零點(diǎn)的零點(diǎn). .零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào)(即即),0)()( bfaf即至少有即至少有一點(diǎn)一點(diǎn) ),(ba 使使. 0)( f那么在開(kāi)區(qū)那么在開(kāi)區(qū)),(ba內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù)間間)(xf的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn), ,即方程即方程0)( xf在在),(ba內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根. . 證明證明 用區(qū)間套定理證。用區(qū)間套定理證。 不失一般性不失一般性, 設(shè)設(shè)f(a)0 但對(duì)但對(duì) x a,b,都有都有f(x) 0。將。將a,b等分等分,

19、用用a1,b1表示滿(mǎn)足表示滿(mǎn)足f(a1)0的那一半?yún)^(qū)間。再將的那一半?yún)^(qū)間。再將a1,b1等分等分,用用a2,b2表示滿(mǎn)表示滿(mǎn)足足f(a2)0的那一半?yún)^(qū)間，如此繼續(xù)下去，便得到一個(gè)的那一半?yún)^(qū)間，如此繼續(xù)下去，便得到一個(gè)閉區(qū)間套閉區(qū)間套 a1,b1 a2,b2 an,bn 滿(mǎn)足滿(mǎn)足f(an)0，且，且bn-an=(b-a)/2n0 (n)由閉區(qū)間套定理，存在由閉區(qū)間套定理，存在(a,b),使得使得 liman=limbn= (n)再由再由f(x)的連續(xù)性的連續(xù)性,得得 f ( )=limf(an) 0 , f ( )=limf(bn) 0 (n) 這就表明這就表明f( )=0。幾何解釋幾何解釋:.

20、,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線(xiàn)弧與線(xiàn)弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線(xiàn)弧連續(xù)曲線(xiàn)弧xxxfy xyab)(xfy ombcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax cafa )()( 且且,ca cbfb )()( ,cb , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( cf 即即.)(cf 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)m與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值. .必取得介于最大值必取得介于最大值例例 7證證證明方程證明

21、方程01423 xx少有一個(gè)實(shí)根少有一個(gè)實(shí)根 .令令,14)(23 xxxf則則)(xf在在1, 0上連續(xù)上連續(xù) .又又,01)0( f,02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理 , )1, 0( 使使,0)( f即即.01423 方程方程01423 xx根根. 在區(qū)間在區(qū)間)1, 0(內(nèi)至內(nèi)至在在)1, 0(內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)例例 8證證設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù) , 且且,)(aaf bbf )(證明證明 :),(ba 使得使得.)( f令令,)()(xxfxf 則則)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù) .而而,0)()( aafaf,0)()( bbfbf由零點(diǎn)定理

22、由零點(diǎn)定理 , ),(ba 使使即即.0)()( ff.)( f例例 9證證證明方程證明方程0312111 xxx含于含于)3, 2(),2, 1(內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根 .有分別包有分別包當(dāng)當(dāng), 3, 2, 1 x兩端兩端 , 得得.0)2)(1()3)(1()3)(2( xxxxxx設(shè)設(shè), )2)(1()3)(1()3)(2()( xxxxxxxf則則,02)2()1()1( f,01)1(1)2( f,0212)3( f用用)3)(2)(1( xxx乘方程乘方程例例 9證證證明方程證明方程0312111 xxx含于含于)3, 2(),2, 1(內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根 .有分別包有分別

23、包設(shè)設(shè), )2)(1()3)(1()3)(2()( xxxxxxxf則則,02)2()1()1( f,01)1(1)2( f,0212)3( f由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知 ,)(xf在在)2, 1(與與)3, 2(內(nèi)至少各有內(nèi)至少各有例例 9證證證明方程證明方程0312111 xxx含于含于)3, 2(),2, 1(內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根內(nèi)的兩個(gè)實(shí)根 .有分別包有分別包設(shè)設(shè), )2)(1()3)(1()3)(2()( xxxxxxxf則則,02)2()1()1( f,01)1(1)2( f,0212)3( f一個(gè)零點(diǎn)一個(gè)零點(diǎn) , 即原方程在即原方程在)2, 1(與與)3, 2(內(nèi)至少各有內(nèi)至少各有一個(gè)實(shí)根

24、一個(gè)實(shí)根 . 例例1010 設(shè)設(shè)f(x)是是0,1上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),且且f(0)=f(1), 證明證明 對(duì)任意的自然數(shù)對(duì)任意的自然數(shù)n, 必存在一點(diǎn)必存在一點(diǎn)0,1, 使使 f( )=f( +1/n) 證明證明 這類(lèi)問(wèn)題通常的思路是構(gòu)造輔助函數(shù)。這類(lèi)問(wèn)題通常的思路是構(gòu)造輔助函數(shù)。 令令 f(x)= f (x)-f (x+1/n), 顯然顯然f(x)是是0,1-1/n上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), 分別令分別令 x=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n, (n-1)/n，則，則 f(0)+f(1/n)+f(2/n)+f(0)+f(1/n)+f(2/n)+ f(n-1)/n) = f(

25、0)-f(1) =0 因此因此f(0),f(1/n),f(n-1/n)這這n個(gè)函數(shù)值中必存在個(gè)函數(shù)值中必存在0 km n-1使得使得f(k/n)f(m/n)0,x 0,1-1/n, 于是，對(duì)于是，對(duì)k=0,1,n-1,n-1,有有 f( (k/ /n)0 )0 f (k/n)f(k+1)/n) 因此推出因此推出f(0)f(1/n)f(1)，可見(jiàn)與題設(shè)矛盾，可見(jiàn)與題設(shè)矛盾。例例 11證證且且證明證明 :設(shè)設(shè)在在上連續(xù)上連續(xù) ,)(xf), a,0)( af,0)(lim axfx在在上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)),( a, 使使.0)( f便可對(duì)便可對(duì)得到所需的結(jié)論得到所需的結(jié)論.存在存在有有即即只

26、要能找到一點(diǎn)只要能找到一點(diǎn),1ax 使使,0)(1 xf在在上應(yīng)用零點(diǎn)定理上應(yīng)用零點(diǎn)定理 ,)(xf,1xa因因,0)(lim axfx故對(duì)故對(duì),02|0 a ,00 x當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) ,0xx ,|)(|0 axf.022|)(2| aaaxfaa例例 11證證且且證明證明 :設(shè)設(shè)在在上連續(xù)上連續(xù) ,)(xf), a,0)( af,0)(lim axfx在在上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)),( a, 使使.0)( f有有即即當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) ,0xx ,|)(|0 axf.022|)(2| aaaxfaa例例 11證證且且證明證明 :設(shè)設(shè)在在上連續(xù)上連續(xù) ,)(xf), a,0)( af,0)(lim axfx

27、在在上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)),( a, 使使.0)( f有有即即當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) ,0xx ,|)(|0 axf.022|)(2| aaaxfaa由零由零點(diǎn)定理知點(diǎn)定理知 :取實(shí)數(shù)取實(shí)數(shù),01xx 這樣這樣,0)( af而而,0)(1 xf在在內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)),(1xa, 使使.0)( f由于由于),(),(1 axa也就是說(shuō)在也就是說(shuō)在),( a內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn), 使使.0)( f1. 設(shè)設(shè),1)(,sgn)(2xxgxxf 試研究復(fù)合函數(shù)試研究復(fù)合函數(shù))(xgf與與)(xfg的連續(xù)性的連續(xù)性 .2. 估計(jì)方程估計(jì)方程0263 xx的根的位置的根的位置 .課堂練習(xí)課堂練習(xí)).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得證明必有一點(diǎn)證明必有一點(diǎn)且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè)3.3.1. 設(shè)設(shè),1)(,sgn)(2xxgxxf 試研究復(fù)合函數(shù)試研究復(fù)合函數(shù))(xgf與與)(xfg的連續(xù)性的連續(xù)性 .解解,1)(2xxg ， 0, 10, 00, 1)(xxxxf