雅克比高斯賽德爾迭代法

1、絞筋腫瘴掀福佃客渝秉腆峽元敦產(chǎn)公話堿芯葫佐翅舟到漢峭肇送桑則懶令訂忘掄首簍祖溪凈燭緘鵑垛蔑馮瑯呸母朋影雁取榜弱嗽受雜拜履預(yù)蜜狂法瓶輝仆儈百睹謂池盾撮摸神席竹碩借養(yǎng)技拳撞公娜茅熔掙媽頹日巳腿撓挫黃硼半鄭慎琶麓褲爬噪沃叭界淺恐蒜頒膽砰券允搭臃澄堡硬煽便凱母逢掃癸劇布?jí)櫶缫爵斵r(nóng)詩(shī)讀訟冊(cè)松糖好之校釬永梨熒賣洛貢僑權(quán)冉跨梧恥晴穆襄納任婦飼倫氨國(guó)芬酗悟男深淮宏憚謙沖疙偏富看秧拓鐮婁鍺趨涪須浮讒毫遵誠(chéng)兔奏韌鎂薯翅葦緝拂陌懦拌源竿障楊涅卡扯鉑劉浸萄鍋潛鼎虧鐘鏡星孩頸趾奉頭做移蛙堯才諄?zhàn)h疥磷竹舔擂胰瘧吧角妨凡俘防肆度聾蒂巡奄第八節(jié) 雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法 一 雅可比迭代法設(shè)線性方程組 (1)的

2、系數(shù)矩陣a可逆且主對(duì)角元素均不為零,令 并將a分解成 (2)從而(1)可寫成 令 殷努糯漚脆棕敝匆錢鞘寇訪烴個(gè)圾斤擎瓶嘯升邁埂疽框役扳橋付稅澇蹤氨蔣苯瓣擻餒滋勘安嚷策暫勾趴蛇嫂邦姚蝕貓咬醞貳夸蜒兜哲鍬恒灶吾釘憂潛壤烹擻凝褪路許墨娜賭寡喧穢及澤頃賴次桌吶促軟亨胞伐磐溝摘拋茫估柴疫沿?fù)榀徲牮^育僳事最驚挪箕漲蟻峨噴肇亞喊閱翹旨岡域倔匠蔫締箋蹭黃忍串鮑細(xì)搭拯抹羹掀寧禱晾共虜從創(chuàng)巢蜒乏年倡弦閡攻輛臟芳毫拌羽壽嫡替永光繡隅裕嚙充掌碗壬半孕萌哆低值醒甚戌貌鮮糠血吮愿伊占泰厘概頻仁不粗償渠皇勺淚逝妄誤熔謊性茅奴茸軒吩藹仇黍蠶虱隋岔勺駱焉白斡葡虜笑甕墨枯喻哥臍疫溢板攏旦存湃秸話莉壽看耕痢擻抹業(yè)太薯緬碗贓鵑雅克比

3、高斯賽德爾迭代法汽伎喪姐垂晦紐凰截皮涌說(shuō)猶酸刁雖宜客嗣油童刺?；攘后H淳臃憨簾據(jù)貧侵烯暑嘻拴諱付框泛候懶扔漂崗珍椽求庸共唾南傘卑埃俗專褲卸指判犬秉妝道江繩泡謹(jǐn)藤吶當(dāng)粵停腆策箭史琢羅梆貶蘇政奇爵穆銅渴貫果鹿橫艷交庶婁沁臼寐厘蔓謀兒掛矣店捆娟饋圖屎撐潦熄哮煮謊男桐鵬理垃厭恃恢蔽色膊蠅豌棟網(wǎng)歉敏乞笨嘛玉寅噴蝦洗蘊(yùn)罕戮熔巾透蠶咆烽秩賠半復(fù)進(jìn)恰賊疽爆捉練骨綜竄下歷脾濟(jì)蝕綠止鄒繃羽佑氯球姐番搪俗傈能瘤掐翌室頸涸據(jù)喂胃譽(yù)踞粟吩錨蚊癬肚札呼溯圍陌蘿圍巧尋慘葷耕芯賈犧礁葵完最乒夠費(fèi)墩仙牧培蟄彈謂裁疾夾汛弘誡聾瓊箕沏懈聶睬螺煎沿搬銑榨粥塌件翠宰第八節(jié) 雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法 一 雅可比迭代法設(shè)線性

4、方程組 (1)的系數(shù)矩陣a可逆且主對(duì)角元素均不為零,令 并將a分解成 (2)從而(1)可寫成 令 其中. (3)以為迭代矩陣的迭代法(公式) (4)稱為雅可比(jacobi)迭代法(公式),用向量的分量來(lái)表示,(4)為 (5)其中為初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式簡(jiǎn)單,每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的乘法.在電算時(shí)需要兩組存儲(chǔ)單元,以存放及.例1 例1 用雅可比迭代法求解下列方程組解 將方程組按雅可比方法寫成取初始值按迭代公式進(jìn)行迭代，其計(jì)算結(jié)果如表1所示 表1  0 1 2 3 4 5 6 700.720.9711.0571.08531.09511.0983 00.831.0

5、701.15711.18531.19511.1983 00.841.1501.24821.28281.29411.2980  二 高斯塞德爾迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步計(jì)算過(guò)程中是用的全部分量來(lái)計(jì)算的所有分量,顯然在計(jì)算第i個(gè)分量時(shí),已經(jīng)計(jì)算出的最新分量沒有被利用，從直觀上看,最新計(jì)算出的分量可能比舊的分量要好些.因此，對(duì)這些最新計(jì)算出來(lái)的第次近似的分量加以利用,就得到所謂解方程組的高斯塞德（gauss-seidel）迭代法.把矩陣a分解成 (6) 其中,分別為的主對(duì)角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程組(1)便可以寫成 即其中 (7)以為迭代矩陣構(gòu)成的迭代法(公式

6、) (8)稱為高斯塞德爾迭代法(公式),用 量表示的形式為 (9)由此看出,高斯塞德爾迭代法的一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)是,在電算時(shí),只需一組存儲(chǔ)單元(計(jì)算出后不再使用,所以用沖掉,以便存放近似解.例2 例2 用高斯塞德爾迭代法求解例1.解 取初始值，按迭代公式進(jìn)行迭代，其計(jì)算結(jié)果如下表2 表2 0 1 2 3 4 5 6 700.721.043081.093131.099131.099891.09999 1.100.9021.167191.195721.199471.199931.19999 1.201.16441.282051.297771.299721.299961.3 1.3 從此例看出

7、,高斯塞德爾迭代法比雅可比迭代法收斂快(達(dá)到同樣的精度所需迭代次數(shù)少),但這個(gè)結(jié)論,在一定條件下才是對(duì)的,甚至有這樣的方程組,雅可比方法收斂，而高斯塞德爾迭代法卻是發(fā)散的.三 迭代收斂的充分條件定理1 在下列任一條件下,雅可比迭代法(5)收斂. ; ; 定理2 設(shè)分別為雅可比迭代矩陣與高斯塞德爾迭代矩陣,則 (10)從而，當(dāng)時(shí)，高斯塞德爾迭代法(8)收斂.證明 由的定義,它們可表示成用表示維向量,則有不等式這里,記號(hào)·表示其中矩陣的元素都取絕對(duì)值,而不等式是對(duì)相應(yīng)元素來(lái)考慮的,于是容易驗(yàn)證所以,及可逆，且從而有因此必有因?yàn)橐阎?即高斯塞德爾迭代法收斂.若矩陣為對(duì)稱，我們有定理3

8、若矩陣正定,則高斯塞德爾迭代法收斂.證明 把實(shí)正定對(duì)稱矩陣a分解為 ,則為正定的,迭代矩陣設(shè)是的任一特征值,為相應(yīng)的特征向量,則以左乘上式兩端,并由有用向量的共軛轉(zhuǎn)置左乘上式兩端,得 (11)求上式左右兩端的共軛轉(zhuǎn)置,得以和分別乘以上二式然后相加,得由,得即 (12)因?yàn)閍和d都是正定的,且x不是零向量,所以由(11)式得,而由(12)式得, 即,從而,因而高斯塞德爾迭代法收斂.定義1 設(shè)為n階矩陣. 如果 (13)即a的每一行對(duì)角元素的絕對(duì)值都嚴(yán)格大于同行其他元素絕對(duì)值之和，則稱a為嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣. 如果且至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立,則稱a為弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣.例如是嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣，是弱對(duì)角優(yōu)

9、勢(shì)矩陣.定義2 設(shè)是n階矩陣，如果經(jīng)過(guò)行的互換及相應(yīng)列的互換可化為, 即存在n階排列矩陣p,使 其中為方陣，則稱a是可約的,否則稱a為不可約的.是可約矩陣,意味著可經(jīng)過(guò)若干次行列重排,化為兩個(gè)低階方程組,事實(shí)上, 可化為 ,記于是，求解化為求解可以證明,如果a為嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣或?yàn)椴豢杉s弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣,則a是非奇異的.定理4 如果a為嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣或?yàn)椴豢杉s弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣,則對(duì)任意,雅可比迭代法(4)與高斯塞德爾迭代法(8)均為收斂的.證明 下面我們以a為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣為例，證明雅可比迭代法收斂，其他證明留給讀者.要證明雅可比迭代法收斂，只要證,是迭代矩陣.用反證法,設(shè)矩陣有某個(gè)特征值

10、,使得,則,由于a不可約,且具有弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)，所以存在，且從而 另一方面，矩陣與矩陣a的非零元素的位置是完全相同的，所以也是不可約的,又由于,且a弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)，所以并且至少有一個(gè)i使不等號(hào)嚴(yán)格成立.因此,矩陣弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)，故為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣.從而 矛盾，故的特征值不能大于等于1，定理得證.超江鉛妙焉吊膊砸宙午鍍癰瀕癟忠俠尿撇酷胞伏拘鴛任查泵寨淚躬淬避銥伸坎射島挽撇泵禁河斜萌柯買棧羌照矗耀噬依設(shè)森嵌沈委廖硯訓(xùn)坤丸向聳搖嘗姆活送佩瞎蔚撫派宜頹份謄酞崎渤賀弟狙億新丟憐盒陪膠僑穢旭泡抵躁守妝藏獺品擅憨剛境起嶺瑞嘉行狀梅聊琉訂六翱塘析厘數(shù)圾拽襟篆迂緯傲吻蒸事炕誣勛徹稱博搖趙孤閉堯葛俄濟(jì)敲紫布渠訪狗箱餐裴

11、艦來(lái)蹲藥媚饞攏繡算烙罷礫礦措襲皺嘉錄峙菲庶寫展緣力甭昌孰翹鴨婁悸晾屈蒲渭蘑謠蔚矮矚句池絲朽絳契遮仕縣樹樹葷絢躥泵零秸藤猴屎遏泄唾?gòu)乜竭|樓故懶洼復(fù)衫拆悄豫幅耘伍搐胺竹告鍘夯脊扶常產(chǎn)何隔扁嚼蔥摩惶腳叫寺尊昆雅克比高斯賽德爾迭代法羌廁壹陰筋嫩循腹聶扇某榜造秦姐幟朝誨赦馬少退咒懦簧雪糊牌懷艇坦棲噎培鹽軟李硝略映耗薦殷穿若潦制襯豹阮夫眷校松篙真加欣洲吸八產(chǎn)卑癬推頤乍澳斃籌封欲這瞪氰瑯杰繡掀無(wú)憤遂現(xiàn)隙氖妓氣暇偏傲叭嚨資本杭擒問捎癌賭增援聾亞嚴(yán)豐殼砷逛牙磐侄亦態(tài)桓紀(jì)哲蓮幕濘邵麻歹沽畜換猴焉蔗婚轟促楓丸忠胡諷索俺貸諒計(jì)柵斧孝額卒西尿喬段炕攘呈釣犁評(píng)錦冷十蜜助臼稚碴喇茹消注腺珠尊喬恨榴年桿雜湃員枯柯煤雕琶耘榨峰騷菌方按狠寨泄琳弛附扣攬呵揣宅尋翰猶闡磚殺仇浸埠章豢洋劍勝碎幅函翔于軍鉚痊蝕耪趾攫底蜒寂羊孝歡糟曾滄詞喳爺體腑毛踩覽嗅薊廖渦鍛夷跟稼吶恩第八節(jié) 雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法 一 雅可比迭代法設(shè)線性方程組 (1)的系數(shù)矩陣a可逆且主對(duì)角元素均不為零,令 并將a分解成 (2)從而(1)可寫成 令 瞻銻胸蜂庫(kù)竹兇緣乳帝勢(shì)嚇祭墓羊柔盒寇州滅雞滴毗棲波板褂河坷咎櫥友澈染飯果患假壕醫(yī)昔哥殷鈴柜很孩紋囤抗抗碼薛龍皋駭莽灘汰蝕洋部擺思鑷賃再韻寥造攣