1.5.1曲邊梯形的面積上課（課堂PPT）

1、.1oxy1.5.1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.2.3.4 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.5A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.6A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.7 y = f(x)bax y

2、OA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無(wú)限逼近無(wú)限逼近 如何求曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積的面積?.8分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積S S。“以直代曲以直代曲”的具體操作過(guò)程的具體操作過(guò)程曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 分成

3、很窄的小曲邊梯形，分成很窄的小曲邊梯形， 然后用矩形面積代替后求和。然后用矩形面積代替后求和。.9xxx1 x1 xy1 xyy12yxxyO0.10.20.40.60.8.10O1xyyx 2分割分割1nin近似近似代代替替求和求和取極限取極限i-1n區(qū)間長(zhǎng)度：區(qū)間長(zhǎng)度：x=x=區(qū)間高：區(qū)間高：h=h=小矩形面積：小矩形面積：S=S=1ifn 第第i i個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間1ifn 1n 例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線、直線x=1和和x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。.11.1235.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo 軸的直線段

4、近似用平行于就是從圖形上看值處的函數(shù)等于左端點(diǎn)不妨認(rèn)為它近似地個(gè)常數(shù)近似等于一的值變化很小可以認(rèn)為函數(shù)上在區(qū)間很小時(shí)即很大當(dāng)如圖記近似代替x,.n1ifn1i,xxf,ni,n1i,x,n,35.1.xxf222 .1335.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo.n, 2 , 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 則有以直代曲即在局部小范圍內(nèi)近似地代替的面積用小矩形上間在區(qū)這樣圖邊地代替小曲邊梯形的曲.14 n1n1ixn1ifSSS45.1,232n1in1in1iinn 為中陰影部分的面積圖由求和n1n1n102n1

5、n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值從而可得 .61n2n1n1n21222 可以證明可以證明.15 .31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn 從而有趨向于時(shí)于趨向即趨向于無(wú)窮大當(dāng)可以看到圖等份等分成分別將區(qū)間取極限 55.1圖圖oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.16例例1.求拋物線求拋物線y=x2、直線直線x=1和和x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積。 n1n2nk

6、nn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解把底邊把底邊0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線, , 這樣曲邊三角形被分成這樣曲邊三角形被分成n n個(gè)窄條個(gè)窄條, , 用矩形來(lái)近似代替用矩形來(lái)近似代替, ,然后把然后把這些小矩形的面積加起來(lái)這些小矩形的面積加起來(lái), , 得到一個(gè)近似值得到一個(gè)近似值: :2xy 因此因此, , 我們有理由相我們有理由相信信, , 這個(gè)曲邊三角形這個(gè)曲邊三角形的

7、面積為的面積為: :lim111lim1261.3nnnSSnn分割分割以直代曲以直代曲求和求和取極限取極限.17.勢(shì)勢(shì)數(shù)數(shù)值值上上看看出出這這一一變變化化趨趨我我們們通通過(guò)過(guò)下下表表還還可可以以從從n1 , 0的等分?jǐn)?shù)的等分?jǐn)?shù)區(qū)間區(qū)間nSS的的近近似似值值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0.18 n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy .19小結(jié)小結(jié): :求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 有理由相信，分有理由相信，分點(diǎn)越來(lái)越密時(shí)，即分點(diǎn)越來(lái)越密時(shí)，即分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形面積和的極限即為曲面積和的極限即為曲邊形的面積。邊形的面積。（1 1）分割分割 （3 3）求和求和 把這些矩形面積相加把這些矩形面積相加 作為整個(gè)曲邊形面積作為整個(gè)曲邊形面積S S的近似值。的近似值。 （4 4）取極限取極限 n