中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法

1、數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)思想方法是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁， 是解題規(guī)律的總結(jié)， 是達(dá)到以點(diǎn)帶面、 觸類 旁通、擺脫題海的有效之路 . 因此我們應(yīng)抓住臨近中考的這段時(shí)間，去研究、歸納、熟悉那 些常用的解題方法與技巧，從而為奪取中考高分搭起靈感和智慧的平臺(tái) . 初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有整體思想、 化歸思想、 分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方 程和函數(shù)思想等 . 由于我們前面各種思想方法均有滲透，故本專題只是側(cè)重如下幾個(gè)思想方 法予以強(qiáng)化 .類型之一 整體思想例 1 （2014 ·內(nèi)江 ） 已知 1 + 1 =3 ，則代數(shù)式 2a 5ab 4b 的值為 .a 2b 4ab 3a 6b【思路點(diǎn)撥

2、】要求分式的值， 必須要知道分式中所有字母的取值，從條件看無(wú)法解決；觀察 分式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)分子與分母都是 m（a+2b）+n（ab） 的形式，所以從條件中找出 （a+2b） 與 ab 之 間的關(guān)系，即可解決問(wèn)題 .【解答 】 1 + 1 =3，a 2ba 2b=3，即 a+2b=6ab.2ab2a 5ab 4b （2 a 2b） 5ab 12ab 5ab 7ab 1 = = = =- .4ab 3a 6b （3 a 2b） 4ab 18ab 4ab 14ab 2方法歸納： 整體思想就是在解決問(wèn)題時(shí)， 不是著眼于它的局部特征， 而是把注意力和著眼點(diǎn) 放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，通過(guò)對(duì)整體的把握和運(yùn)用達(dá)到

3、解決問(wèn)題的目的 .1. （2014 ·安徽）已知 x2-2x-3=0 ，則 2x2-4x 的值為（ ）A.-6 B.6 C.-2 或 6 D.-2 或 30 22. （2014 ·樂(lè)山）若 a=2,a-2b=3, 則 2a2-4ab 的值為.223. （2014 ·宿遷）已知實(shí)數(shù) a，b滿足 ab=3，a-b=2 ，則 a2b-ab 2的值是.2 x 1 x 64. （ 2014 ·菏澤 ）已知 x2-4x+1 0，求- x 6的值 .x 4 x類型之二 分類思想例 2 （2013 ·襄陽(yáng) ） 在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊

4、中點(diǎn)的連線剪 去兩個(gè)三角形，得到如圖所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是 .【思路點(diǎn)撥 】從圖中看有兩個(gè)直角，這兩個(gè)直角都有可能是原直角三角形的直角 況將原圖補(bǔ)充完整，即可求出原直角三角形的斜邊長(zhǎng) ., 分兩種情解答 】如圖 1，以點(diǎn) B為直角頂點(diǎn)， BD為斜邊上的中線，在 Rt ABD中，可得 BD 13 .原直角三角形紙片的斜邊 EF 的長(zhǎng)是 2 13 ；RtABC中，可得 AC3 2.如圖 2，以點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)， AC為斜邊上的中線，在 原直角三角形紙片的斜邊 EF 的長(zhǎng)是 6 2.故填 2 13 或 6 2.需要根據(jù)圖形的已知邊角及圖形特征進(jìn)方法歸納： 在幾何問(wèn)題中， 當(dāng)圖

5、形的形狀不完整時(shí)， 行分類畫出圖形，特別注意涉及等腰三角形與直角三角形的邊和角的分類討論1. （2014 ·涼山 ）已知 O的直徑 CD=10 cm，AB是O的弦， ABCD，垂足為 M，且 AB=8 cm， 則 AC 的長(zhǎng)為 （）A.2 5 cm B.4 5cm C.2 5 cm 或 4 5 cm D.2 3 cm 或 4 3 cm2. （2014 ·涼山 ）已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和 4，則第三邊長(zhǎng)為.3. 已知點(diǎn) D 與點(diǎn) A（8，0），B（0，6），C（3，-3） 是一平行四邊形的頂點(diǎn)，則 D 點(diǎn)的坐標(biāo) 為 .4. （2014 ·株洲調(diào)研 ）已

6、知：如圖， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形 OABC為矩形， A（10 ，0） ，C（0 ，4） ， 點(diǎn) D是 OA的中點(diǎn)，點(diǎn) P在 BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) ODP是腰長(zhǎng)為 5 的等腰三角形時(shí)，則 P點(diǎn)的坐標(biāo) 為 .5. 射線 QN與等邊 ABC的兩邊 AB，BC分別交于點(diǎn) M，N，且 AC QN，AM=MB=2cm ，QM=4c m.動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) Q出發(fā)，沿射線 QN以每秒 1 cm的速度向右移動(dòng)， 經(jīng)過(guò) t 秒，以點(diǎn) P為圓心， 3 cm 為 半 徑 的 圓 與 ABC 的 邊 相 切 （ 切 點(diǎn) 在 邊 上 ） ， 請(qǐng) 寫 出 t 可 取 的 一 切 值 （ 單位：秒 ）.36. （2013 ·

7、呼和浩特 ）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（4，0） 、B（-6 ，0） ，點(diǎn) C是 y軸上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) BCA=45°時(shí)，點(diǎn) C的坐標(biāo)為.7. （2014 ·襄陽(yáng) ） 在ABCD中， BC 邊上的高為 4，AB=5，AC=2 5 ，則 ABCD 的周長(zhǎng)等 于 .類型之三 轉(zhuǎn)化思想例 3 （2014 ·濱州 ） 如圖，點(diǎn) C 在 O 的直徑 AB 的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) D 在 O 上， AD=CD, ADC=120° .（1） 求證： CD是 O的切線；（2） 若 O的半徑為 2，求圖中陰影部分的面積 .【思路點(diǎn)撥 】（1） 因?yàn)?D 點(diǎn)在圓上，連接 OD

8、，證明 OD與 CD垂直即可； （2） 連接 OD，將圖中不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形與扇形的面積之差 【解答 】 （1） 證明：連接 OD.AD=CD， ADC=120°， A= C=30°.OA=OD, ODA=A=30°， ODC=120°-30 °=90°，OD CD.又點(diǎn) D在O上, CD是 O的切線 .（2） ODC=90°,OD=2， C=30°，OC=4，CD= 42 22 =2 3 ，S COD= 1 OD·CD=1 × 2× 2 3=2 3，2260 22 2S

9、 扇形 OCB= ，360 3 S 陰影 =S OCD-S扇形 OCB=2 3 - 2方法歸納： 化歸意識(shí)是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中， 對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知” 、 將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟知”、將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”的解題方法，其核心就是將有待解 決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已有明確解決的問(wèn)題，以便利用已有的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題 .1. （2014 ·泰安 ）如圖，半徑為 2 cm，圓心角為 90°的扇形 OAB中，分別以 OA、OB為直徑作 半圓，則圖中陰影部分的面積為 （ ）2A.(-1)cm 2B.(2+1)cm2x, 我們規(guī)定 x 表示不大于2D. cm22. （2013

10、 ·濰坊 ） 對(duì)于實(shí)數(shù)x43=3,-2.5=-3.若=5，則 x 的取值可以是 (10A.40 B.45 C.51 D.56x 的最大整數(shù)，例如）1.2=1 ，3. （2014 ·菏澤調(diào)考 ）將 4個(gè)數(shù) a、b、c、d排成兩行、兩列，兩邊各加一條豎線段記成abcd定義 a b =ad-bc ，上述記號(hào)就叫做二階行列式，若x11x 1 x4. （2014 ·白銀 ）如圖，四邊形 ABCD是菱形， O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò) O點(diǎn)的三條直線將 菱形分成陰影和空白部分 . 當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 6 和 8 時(shí)，則陰影部分的面積5. （2014 ·涼山 ）

11、如圖，圓柱形容器高為 18 cm，底面周長(zhǎng)為 的點(diǎn) B 處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿24 cm ，在杯內(nèi)壁離杯底 4 cm2 cm 與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A 處，則螞蟻從外壁 A 處到達(dá)內(nèi)壁 B 處的最短距離為cm.6. （2014 ·棗莊 ）圖 1 所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為 6 cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線 （圖中虛線 ） 剪掉一角，得到如圖 2 的幾何體，一只螞蟻沿著圖 2 的幾何體表面從頂點(diǎn) A 爬行到頂點(diǎn) B的最短距離為cm.類型之四 數(shù)形結(jié)合思想例 4 （2014 ·黃州模擬 ）如圖 1，點(diǎn) E 為矩形 ABCD邊 AD上一點(diǎn)，點(diǎn) P，點(diǎn) Q同時(shí)從點(diǎn)

12、B 出 發(fā)，點(diǎn) P 沿 BEEDDC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C停止，點(diǎn) Q沿 BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是 1 cm/s ，設(shè) P，Q出發(fā) t 秒時(shí)， BPQ的面積為 y cm2，已知 y與 t 的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖 2（曲22 線 OM為拋物線的一部分 ） ，則下列結(jié)論： ADBE5 cm；當(dāng) 0<t5 時(shí)，y= t 2；5 直線 NH的解析式為 y- 5 t+27 ；若 ABE與 QBP相似，則 t29 秒.其中正確的結(jié)論24 個(gè)數(shù)為 （ ）A.4 B.3 C.2 D.1【解答 】根據(jù)圖 2 可得，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn) E 時(shí)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn) C，BC=BE，故小題正確；22當(dāng) 0< t

13、5時(shí)，設(shè) y=at2,將 t=5,y=10 代入求得 a= ，故小題正確；55 55 根據(jù)題意可得 N（7，10） ，H（11，0） ，利用待定系數(shù)法可以求出一次函數(shù)解析式y(tǒng)- 5t+ 55，22 故小題錯(cuò)誤； A=90°, 而點(diǎn) P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， BPQ90°， PBQ 90°， ABE與 QBP相似，Q點(diǎn)在 C點(diǎn)處，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 CD邊上，PQB=90°.此時(shí)分 ABE QBP和 ABE QPB兩種AB AE1529情況，當(dāng) ABE QBP時(shí)，則 AB = AE 可知 QP=15 ，可得 t= 29 ，符合題意；當(dāng) ABE QB QP 44QPB時(shí)，

14、AB = AE ，可知 QP=20 >4，不符合題意，應(yīng)舍去 . 故小題正確 QP QB 3因此答案選 B.方法歸納： 數(shù)形結(jié)合主要有兩種： 由數(shù)思形， 數(shù)形結(jié)合， 用形解決數(shù)的問(wèn)題； 由形思數(shù)， 數(shù)形結(jié)合，用數(shù)解決形的問(wèn)題 .1. (2014 ·菏澤 )如圖， RtABC中，ACBC=2，正方形 CDEF的頂點(diǎn) D，F(xiàn)分別在 AC，BC邊 上，設(shè) CD的長(zhǎng)為 x，ABC與正方形 CDEF重疊部分的面積為 y，則下列圖象中能表示 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系的是 ( )h、k 均為常數(shù)， m 0)的解是 x1-3 ，x2 0， x2 5 -6 ， x2 2, 小文步行一段時(shí)間后 ,

15、小亮騎自行車沿相同路線行進(jìn) , 兩人均勻速前行 . 他們的路差 s(米)與小文出發(fā)時(shí)間 所示 .下列說(shuō)法：小亮先到達(dá)青少年宮；小亮的速度是小文速度的 b=480. 其中正確的是 (A. B.t( 分) 之間的函數(shù)關(guān)系如圖2.5 倍； a=24；)D.4. (2014 ·黃石調(diào)考 ) 如圖，兩個(gè)正方形的面積分別為 16、9， b(a>b) ，則 a-b 等于 ()A.7 B.6 C.5兩陰影部分的面積分別為 a，22. (2014 ·內(nèi)江 ) 若關(guān)于 x 的方程 m(x+h) +k 0(m、 22，則方程 m(x+h-3) 2+k 0 的解為 ()A.x 1 -6 ，x

16、2 -1B.xC.x 1 -3 ，x2 5D.x2a 的正方形中央剪去一邊長(zhǎng)為5. (2014 ·棗莊 )如圖，在邊長(zhǎng)為剩余部分剪開密鋪成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的面積為(a+2) 的小正方形 (a >2)，將 ( )3. 小文、小亮從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽A.a 2+4D.4a 2-a-2B.2a 2+4aC.3a -4a-4類型之五 方程、函數(shù)思想例 5 （2014 ·泰安調(diào)考 ） 將半徑為 4 cm的半圓圍成一個(gè)圓錐，在圓錐內(nèi)接一個(gè)圓柱（ 如圖所示） ，當(dāng)圓柱的側(cè)面的面積最大時(shí)，圓柱的底面半徑是cm.【思路點(diǎn)撥 】設(shè)圓柱的底面半徑為 r ，圓柱的側(cè)

17、面積為 S，建立 S 與 r 之間的函數(shù)關(guān)系式， 利用函數(shù)的性質(zhì)確定 S取最大值時(shí) r 的值 .【解答】將半徑為 4 cm 的半圓圍成一個(gè)圓錐， 圓錐的母線長(zhǎng)為 4，底面圓的半徑為 2，高為 2 3 .設(shè)圓柱底面圓的半徑為 r, 高為 h，側(cè)面積為 S，根據(jù)題意，得 r =2 3 h，h=2 3 3r .2 2 3S=2r （ 2 33r）=-2 3 （ r-1 ）2+2 3.當(dāng) r=1 時(shí)， S 取最大值為 2 3 .方法歸納：在問(wèn)題中涉及“最大值”或“最小值”時(shí)，一般要運(yùn)用函數(shù)思想去解決問(wèn)題，解決這里問(wèn)題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系1.（2014·安徽）如圖，RtABC中，

18、AB=9，BC=6，B=90°，將 ABC折疊，使 A點(diǎn)與 BC 的中點(diǎn) D 重合，折痕為 MN，則線段 BN的長(zhǎng)為 （）55A. B. C.4 D.5322. （2014 ·武漢）如圖，若雙曲線 y=k 與邊長(zhǎng)為 5的等邊 AOB的邊 OA，AB分別相交于 C，D x兩點(diǎn)，且 OC=3BD，則實(shí)數(shù) k 的值為 .3. （2014 ·廣州 ） 若關(guān)于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m-2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x 1、 x2，則 x1（ x 2+x1） +x22 的最小值為 .4. （2014 ·鄂州）如圖，正方形 ABCD邊長(zhǎng)為 1，當(dāng) M、N分別在

19、BC，CD上，使得 CMN的周長(zhǎng) 為 2，則 AMN的面積的最小值為.參考答案類型之一 整體思想1. B 2. 12 3. 64. 原式=2x x 1 x 4 x 62x2 4x 24x2 4x22x -4x+1 0， x -4x=-1.2原式=x2x24x4x241 24 =-23.1類型之分類思想1. C 2. 5 或 7 3. （5,9）或（11 ， -9） 或（-5,3）4. （3 ， 4）或（2 ，4）或（8 ，4）5. t=2 或 3t7或 t=86. （0 ，12）或（0，-12）提示：當(dāng)點(diǎn) C在 y 軸的上方時(shí)，如圖，作 BD AC于 D,與 y 軸交于點(diǎn) E. BCA=45&

20、#176;， CBD=BCA=45°, BD=CD. CDE=ADB=90°, CED=BEO, ECD=ABD, CED BAD, EC=AB=10.設(shè) OE=x， COA= BOE=90°, BEO CAO, x 10 = 6 ，x=2 或 x=-12( 舍去 ) ，4x OC=OE+CE=2+10=1，2點(diǎn) C(0,12). 當(dāng)點(diǎn) C在 y 軸的下方時(shí)，同理可求得點(diǎn) C(0,-12). 故答案為 (0 ， 12) 或(0 ， -12).7. 12 或 20 提示：如圖 1 所示 .在 ABCD中， BC邊上的高為 4， AB=5， AC=2 5 ， EC=

21、AC2 AE2 =2，AB=CD=5，BE= AB2 AE 2 =3， AD=BC=5， ABCD的周長(zhǎng)等于 20.如圖 2 所示 .在 ABCD中， BC邊上的高為 4， AB=5， AC=2 5 ， EC=AC2-AE2=2， AB=CD=5，BE=AB2-AE2=3， BC=3-2=1， ABCD的周長(zhǎng)等于 1+1+5+5=12. 則 ABCD的周長(zhǎng)等于 12 或 20.故答案為： 12 或 20.類型之三 轉(zhuǎn)化思想1.A 2. C 3. 2 4. 12 5. 206. ( 3 2 3 6 ) 提示：如圖所示2BCD是等腰直角三角形， ACD是等邊三角形， 在 RtBCD中， CD= BC2 BD2 =6 2(cm)， BE=1 CD=3 2 cm，2在 RtACE中，AE= AC2 CE2 =3 6 ( cm)，從頂點(diǎn) A爬行到頂點(diǎn) B的最短距離為 (3 2 3 6 )cm.故答案為： ( 3 2 3 6 ).類型之四 數(shù)形結(jié)合思想1. A 2. B 3. B 4. A 5. C類型之五 方程、函數(shù)思想 BD=3.在 Rt NBD中， BN=4.故選擇 C.1. C提示：設(shè) BN=x,則依據(jù)折疊原理可得 DN=AN=9-x.又 D 為 BC的中