高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式教學(xué)案含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第四節(jié)基本不等式知識能否憶起一、基本不等式1基本不等式成立的條件：a>0，b>0.2等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號二、幾個重要的不等式a2b22ab(a，br)；2(a，b同號)ab2(a，br)；2(a，br)三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)四、利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)

2、且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)函數(shù)yx(x0)的值域?yàn)?)a(，22，)b(0，)c2，) d(2，)解析：選cx0，yx2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號2已知m>0，n>0，且mn81，則mn的最小值為()a18 b36c81 d243解析：選am>0，n>0，mn218.當(dāng)且僅當(dāng)mn9時，等號成立3(教材習(xí)題改編)已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時x的值為()a. b.c. d.解析：選b由x(33x)×3x(33x)×，當(dāng)且僅當(dāng)3x33x，即x時等號成立4若x>1，則x的最小值

3、為_解析：xx11415.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x3時等號成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，則z的最小值為_解析：由已知條件lg xlg y1，可得xy10.則2 2，故min2，當(dāng)且僅當(dāng)2y5x時取等號又xy10，即x2，y5時等號成立答案：21.在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤2對于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系3運(yùn)用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a

4、，b>0)逆用就是ab2(a，b>0)等還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等利用基本不等式求最值典題導(dǎo)入例1(1)已知x0，則f(x)2x的最大值為_(2)(20xx·浙江高考)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()a.b.c5 d6自主解答(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時等號成立f(x)2242，f(x)的最大值為2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y·(3x4y)·×25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.答案(1)2(2)c本例(2)條件不變，求xy的

5、最小值解：x0，y0，則5xyx3y2，xy，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時取等號xy的最小值為.由題悟法用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗(yàn)證等號成立的條件以題試法1(1)當(dāng)x0時，則f(x)的最大值為_(2)(20xx·天津高考)已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析：(1)x0，f

6、(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時取等號(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b2×3(當(dāng)且僅當(dāng)3a32b，即a2b時取等號)又a2b24(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時取等號)，3a9b2×3218.即當(dāng)a2b時，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，即m10.故m的最大值為10.答案：(1)1(2)18(3)10基本不等式的實(shí)際應(yīng)用典題導(dǎo)入例2(20xx·江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的

7、軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由自主解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0，k0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因?yàn)閍0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過6千米時，可擊中目標(biāo)由題悟法利用基本不等

8、式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點(diǎn)問題，如“物價、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.以題試法2(20xx·福州質(zhì)檢)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)

9、革新和營銷策略改革，并提高定價到x元公司擬投入(x2600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬元作為浮動宣傳費(fèi)用試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價解：(1)設(shè)每件定價為t元，依題意，有t25×8，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元(2)依題意，x25時，不等式ax25×850(x2600)x有解，等價于x25時，ax有解x2 10(當(dāng)且僅當(dāng)x30時，等號成立)，a10.2.因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至

10、少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元1已知f(x)x2(x0)，則f(x)有 ()a最大值為0b最小值為0c最大值為4 d最小值為4解析：選cx0，f(x) 2224，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時取等號2(20xx·太原模擬)設(shè)a、br，已知命題p：a2b22ab；命題q：2，則p是q成立的()a必要不充分條件 b充分不必要條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件解析：選b命題p：(ab)20ab；命題q：(ab)20.顯然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要條件3函數(shù)y(x>1)的最小值是()a

11、22 b22c2 d2解析：選ax>1，x1>0.yx122 222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時，取等號4(20xx·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()aa<v< bvc.<v< dv解析：選a設(shè)甲、乙兩地的距離為s，則從甲地到乙地所需時間為，從乙地到甲地所需時間為，又因?yàn)閍<b，所以全程的平均速度為v<，>a，即a<v<.5已知正項等比數(shù)列an滿足：a7a62a5，若存在兩項am，an使得4a1，則的最小值為()a. b.c. d不存在解析：選a設(shè)正項等比數(shù)列a

12、n的公比為q，由a7a62a5，得q2q20，解得q2.由4a1，即24，得2mn224，即mn6.故(mn)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立6設(shè)a>0，b>0，且不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于()a0 b4c4 d2解析：選c由0得k，而24(ab時取等號)，所以4，因此要使k恒成立，應(yīng)有k4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于4.7已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足4x3y12，則xy的最大值為_解析：124x3y2，xy3.當(dāng)且僅當(dāng)即時xy取得最大值3.答案：38已知函數(shù)f(x)x(p為常數(shù)，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實(shí)數(shù)p的值為_解析：由題意得x10，f(x)x1121，當(dāng)且僅當(dāng)x

13、1時取等號，因?yàn)閒(x)在(1，)上的最小值為4，所以214，解得p.答案：9(20xx·朝陽區(qū)統(tǒng)考)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xn*)則當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)_年時，年平均利潤最大，最大值是_萬元解析：每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為18，而x0，故1828，當(dāng)且僅當(dāng)x5時，年平均利潤最大，最大值為8萬元答案：5810已知x0，a為大于2x的常數(shù)，(1)求函數(shù)yx(a2x)的最大值；(2)求yx的最小值解：(1)x0，a2x，yx(a2x)×2x(a2x)×2

14、，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號，故函數(shù)的最大值為.(2)y2 .當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號故yx的最小值為.11正數(shù)x，y滿足1.(1)求xy的最小值；(2)求x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，當(dāng)且僅當(dāng)，即y9x18時取等號，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x2y(x2y)19192 196，當(dāng)且僅當(dāng)，即9x22y2時取等號，故x2y的最小值為196.12為了響應(yīng)國家號召，某地決定分批建設(shè)保障性住房供給社會首批計劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1 000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元已知建筑第5層樓房時，每平方米

15、建筑費(fèi)用為800元(1)若建筑第x層樓時，該樓房綜合費(fèi)用為y萬元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和)，寫出yf(x)的表達(dá)式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)把樓層建成幾層？此時平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元？解：(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為720元，建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為720×1 000720 000(元)72 (萬元)，樓房每升高一層，整層樓建筑費(fèi)用提高20×1 00020 000(元)2(萬元)，建筑第x層樓房的建筑費(fèi)用為72(x1)×22x70(萬元)，建筑第x層樓時，該樓房綜合費(fèi)用為yf(x)72x×2100

16、x271x100，綜上可知yf(x)x271x100(x1，xz)(2)設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g(x)，則g(x)10x7102 710910.當(dāng)且僅當(dāng)10x，即x10時等號成立綜上可知應(yīng)把樓層建成10層，此時平均綜合費(fèi)用最低，為每平方米910元1(20xx·浙江聯(lián)考)已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為()a1b2c3 d4解析：選b依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號)，即的最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.2設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由已知條件可得y，所以3，當(dāng)且僅當(dāng)xy3z時，取

17、得最小值3.答案：33某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由解：(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意可知，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)6(x2)6×19x(x1)，設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y11 800×69x10 8092 10 80

18、910 989，當(dāng)且僅當(dāng)9x，即x10時取等號即該廠應(yīng)每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少(2)因?yàn)椴簧儆?10噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購買一次面粉設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則y29x(x1)9006×1 800×0.909x9 729(x35)令f(x)x(x35)，x2x135，則f(x1)f(x2).x2x135，x2x10，x1x20,100x1x20，故f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即f(x)x，當(dāng)x35時為增函數(shù)則當(dāng)x35時，f(x)有最小值，此時y210 989.因此該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件1函數(shù)ya1x(a0，且a1)的圖象恒過定點(diǎn)a，若點(diǎn)a在直線mxny10(mn0)上，則的最小值為_解析：因yax恒過點(diǎn)(0,1)，則a(1,1)，又a在直線上，所以mn1(mn0)故4，當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號答案：42已知直線x2y2分別與x軸、y軸相交于a、b兩點(diǎn)