高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練45　拋物線

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)規(guī)范練45拋物線一、選擇題1.已知拋物線x2=ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2-x2=2的焦點(diǎn),則a=()a.1b.4c.8d.16答案:c解析:根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,雙曲線的焦點(diǎn)為(0,2),依題意則有=2,解得a=8.2.拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)與雙曲線=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()a.x2=4yb.x2=-4yc.y2=-12xd.x2=-12y答案:d解析:由題意得c=3,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0,-3).該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y或x2=-12y.3.已知拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)m(1

2、,m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線-y2=1的左頂點(diǎn)為a,若雙曲線的一條漸近線與直線am平行,則實(shí)數(shù)a的值為()a.b.c.d.答案:a解析:由題意,得1+=5,p=8.m=4.m(1,4).又a(-,0),直線am的斜率為kam=.a=.來(lái)源:4.已知點(diǎn)p是拋物線y2=4x上一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)p到此拋物線準(zhǔn)線的距離是d1,到直線x+2y-12=0的距離為d2,則d1+d2的最小值是()a.5b.4c.d.答案:c解析:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f,則f(1,0).來(lái)源:由拋物線的定義可知d1=|pf|,d1+d2=|pf|+d2.d1+d2的最小值為|pf|+d2的最小值,即點(diǎn)f到直線x+2y-

3、12=0的距離.最小值為.5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為f,拋物線上的3個(gè)點(diǎn)a,b,c的橫坐標(biāo)之比為345,則以|fa|,|fb|,|fc|為邊長(zhǎng)的三角形()a.不存在b.必是銳角三角形c.必是鈍角三角形d.必是直角三角形答案:b解析:設(shè)a,b,c三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),由拋物線定義得|fa|=+3k,|fb|=+4k,|fc|=+5k,易知三者能構(gòu)成三角形,|fc|所對(duì)角為最大角,由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù),故該三角形必是銳角三角形.6.若點(diǎn)p到定點(diǎn)f(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則點(diǎn)

4、p的軌跡方程是()a.y2=-16xb.y2=-32xc.y2=16xd.y2=16x或y=0(x<0)答案:c解析:點(diǎn)f(4,0)在直線x+5=0的右側(cè),且p點(diǎn)到定點(diǎn)f(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,點(diǎn)p到f(4,0)的距離與它到直線x+4=0的距離相等.故點(diǎn)p的軌跡為拋物線,且頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向右,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則p=8.故點(diǎn)p的軌跡方程為y2=16x.二、填空題7.以拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為. 答案:x2+(y-4)2=64解析:拋物線的焦點(diǎn)為f(0,4),準(zhǔn)線為y=-4,則圓心為(0,

5、4),半徑長(zhǎng)r=8.所以,圓的方程為x2+(y-4)2=64.8.拋物線y=-x2的準(zhǔn)線方程為. 答案:y=9.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)f的直線交該拋物線于a,b兩點(diǎn),若|af|=3,則|bf|=. 來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)答案:解析:設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),由|af|=3及拋物線定義可得,x1+1=3,x1=2.a點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),則直線ab的斜率為k=2.直線ab的方程為y=2(x-1).由消去y得,2x2-5x+2=0,來(lái)源:解得x1=2,x2=.|bf|=x2+1=.10.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為m,n為拋物線上的一點(diǎn),且滿足nf=

6、mn,則nmf=. 答案:解析:過(guò)n作準(zhǔn)線的垂線,垂足是p,則有pn=nf,pn=mn,nmf=mnp.又cosmnp=,mnp=,即nmf=.來(lái)源:11.已知實(shí)數(shù)p>0,直線3x-4y+2p=0與拋物線x2=2py和圓x2+從左到右的交點(diǎn)依次為a,b,c,d,則的值為. 答案:解析:直線3x-4y+2p=0與拋物線x2=2py聯(lián)立解得xa=-,xd=2p,直線方程與圓方程聯(lián)立解得xb=-,xc=,所以.三、解答題12.如圖,f為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),a,b,c在拋物線上,若=0,求|+|+|的值.解:設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),f(1,

7、0),=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,|+|+|=x1+x2+x3+=3+3=6.13.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),以x軸為對(duì)稱軸,經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線,被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8,試求拋物線方程.解:如圖,依題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則直線方程為y=-x+p.設(shè)直線交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2),則由拋物線定義得|ab|=|af|+|fb|=|ac|+|bd|=x1+x2+,即x1+x2+=8.又a(x1,y1),b(x2,y2)是拋物線和直線的交點(diǎn),由消去y,得x2-3px+=0,x1+x2=3p.將其代入,得p=2.所求

8、拋物線方程為y2=4x.當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2=-2px時(shí),同理可求得拋物線方程為y2=-4x.14.(20xx廣東高考)已知拋物線c的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)f(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設(shè)p為直線l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)p作拋物線c的兩條切線pa,pb,其中a,b為切點(diǎn).(1)求拋物線c的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)p(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線ab的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)p在直線l上移動(dòng)時(shí),求|af|·|bf|的最小值.解:(1)依題意,設(shè)拋物線c的方程為x2=4cy,由,結(jié)合c>0,解得c=1.所以拋物線c的方程為x2=4y.(2)拋物線c的方程為x2=4y,即

9、y=x2,求導(dǎo)得y'=x,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則切線pa,pb的斜率分別為x1,x2,所以切線pa的方程為y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0,同理可得切線pb的方程為x2x-2y-2y2=0,因?yàn)榍芯€pa,pb均過(guò)點(diǎn)p(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.所以直線ab的方程為x0x-2y-2y0=0.(3)由拋物線定義可知|af|=y1+1,|bf|=y2+1,所以|af|·|bf|=(y1+1)(y2+1)=

10、y1y2+(y1+y2)+1.聯(lián)立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|af|·|bf|=y1y2+(y1+y2)+1=-2y0+1.又點(diǎn)p(x0,y0)在直線l上,所以x0=y0+2.所以-2y0+1=2+2y0+5=2.所以當(dāng)y0=-時(shí),|af|·|bf|取得最小值,且最小值為.15.已知f為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),拋物線上點(diǎn)g(2,2)滿足|gf|=3.(1)求拋物線y2=2px的方程;(2)m點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),過(guò)點(diǎn)f作斜率為k1的直線與拋物線交于a,b兩點(diǎn),a,b兩點(diǎn)

11、的橫坐標(biāo)均不為4,連接am,bm并延長(zhǎng)交拋物線于c,d兩點(diǎn),設(shè)直線cd的斜率為k2,問(wèn)是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說(shuō)明理由.解:(1)由題根據(jù)拋物線定義|gf|=2+=3,所以p=2,所以y2=4x為所求.(2)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4),則k1=,同理k2=,設(shè)ac所在直線方程為x=ty+4,聯(lián)立y2=4x得y2-4ty-16=0,所以y1y3=-16,同理y2y4=-16.所以k2=-.設(shè)ab所在直線方程為x=ty+1,聯(lián)立y2=4x,得y2-4ty-4=0,y1y2=-4,所以k2=-,所以=4.四、選做題1.如圖,已知拋物線的方程

12、為x2=2py(p>0),過(guò)點(diǎn)a(0,-1)作直線l與拋物線相交于p,q兩點(diǎn),點(diǎn)b的坐標(biāo)為(0,1),連接bp,bq,設(shè)qb,bp與x軸分別相交于m,n兩點(diǎn).如果qb的斜率與pb的斜率的乘積為-3,則mbn的大小等于()a.b.c.d.答案:d2.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)f作直線l,交拋物線于a,b兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于c點(diǎn).若=3,則直線l的斜率為. 答案:±23.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,且過(guò)點(diǎn)(2,1).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=kx+t交拋物線于不同的兩點(diǎn)m,n,若拋物線上一點(diǎn)c滿足=()(>0),求的取值范圍.解:(1)設(shè)拋物線方程為x2=2py,由已知得22=2p,所以p=2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)因?yàn)橹本€與圓相切,所以=1k2=t2+2t,把直線方程代入拋物線方程并整理,得x2-4kx-4t=0,由=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,得t>0或t<-3.設(shè)m(x1,y1),