高三數(shù)學高考壓軸題集錦

1、高考數(shù)學壓軸題集錦1橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2 2 ，相應于焦點F (c,0) （ c0 ）的準線 l 與 x 軸相交于點 A ， OF2 FA ，過點 A 的直線與橢圓相交于P 、 Q 兩點。（ 1）求橢圓的方程及離心率；（2）若 OP OQ0 ，求直線 PQ 的方程；（3）設 APAQ（1），過點 P 且平行于準線 l 的直線與橢圓相交于另一點M ，證明 FMFQ . (14分 )2 已知函數(shù)f ( x) 對任意實數(shù) x 都有 f ( x 1)f (x) 1 ，且當 x0,2 時， f ( x)| x1 | 。（ 1）x 2k,2k2( kZ ) 時，求 f ( x) 的表達式。（

2、 2）證明 f ( x) 是偶函數(shù)。（ 3）試問方程f ( x) log10是否有實數(shù)根？若有實數(shù)根，指出實數(shù)根的個數(shù)； 若沒有4 x實數(shù)根，請說明理由。3（本題滿分 12 分）如圖，已知點F（ 0， 1），直線 L： y=-2 ，及圓 C： x 2( y 3) 21。（ 1）若動點 M到點 F 的距離比它到直線 L 的距離小 1，求動點 M的軌跡 E 的方程；（ 2）過點 F 的直線 g 交軌跡 E 于 G（ x1， y1）、H（ x2， y2）兩點，求證： x1x2 為定值；（ 3）過軌跡 E 上一點 P 作圓 C的切線，切點為A、 B，要使四邊形PACB的面積 S 最小，求10點 P 的

3、坐標及 S 的最小值。8y64C2Fx -15-10-5O5X1015-2-44. 以橢圓 x 2-6y2（a ）短軸一端點為直角頂點，作橢圓內接等腰直角三角形，試a 211-8-10判斷并推證能作出多少個符合條件的三角形.5已知，二次函數(shù)f （ x） ax2 bx c 及一次函數(shù)g（x） bx，其中 a、b、 c R， ab c， a b c0.（）求證： f （x）及 g（x（）設 f（ x）、g（ x）兩圖象交于 A、B 兩點，當 AB線段在 x 軸上射影為 A1B1 時，試求 | A1 B1| 的取值范圍 .6 已知過函數(shù)f （ x） = x3ax 21 的圖象上一點 B（ 1，b）的

4、切線的斜率為 3。（ 1）求 a、 b 的值；（ 2）求 A 的取值范圍，使不等式f （ x） A 1987 對于 x 1，4 恒成立；（ 3）令 g xf x3x2tx 1。是否存在一個實數(shù) t ，使得當x (0,1 時， g（ x）有最大值 1？7 已知兩點 M（ 2，0），N（ 2，0），動點 P 在 y 軸上的射影為 H， PH 是 2 和 PM PN的等比中項。（ 1）求動點 P 的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；（ 2）若以點 M、N 為焦點的雙曲線C 過直線 x+y=1 上的點 Q，求實軸最長的雙曲線C 的方程。8已知數(shù)列 an 滿足 a13a( a 0), an1an2a2,

5、 設bnana2anana（ 1）求數(shù)列 b 的通項公式；n（ 2）設數(shù)列 b n 的前項和為 Sn，試比較 Sn 與 7 的大小，并證明你的結論 .89已知焦點在 x 軸上的雙曲線C 的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點 A(0,2)為圓心， 1 為半徑的圓相切，又知C 的一個焦點與A 關于直線 yx 對稱（）求雙曲線C 的方程；（）設直線 ymx 1與雙曲線 C的左支交于 A， B 兩點，另一直線l 經(jīng)過 M（ -2 ，0）及 AB 的中點，求直線l 在 y 軸上的截距 b 的取值范圍；（）若 Q是雙曲線 C上的任一點， F F2為雙曲線 C 的左，右兩個焦點， 從 F 引F QF1

6、112的平分線的垂線，垂足為N，試求點 N 的軌跡方程10.f ( x) 對任意 xR 都有 f ( x)f (1x)1 .（）求 f (1 ) 和 f ( 1 )f ( n1)2(nN) 的值2nn（）數(shù)列an滿足：an= f ( 0)+f ( 1 )f ( 2)f ( n1)f (1)， 數(shù) 列ynnnan是等差數(shù)列嗎？請給予證明；A（）令OPxBbn4,Tnb12b22b32bn2 , Sn3216 .4an1n試比較 T 與 S 的大小nn11.：如圖，設OA、OB是過拋物線2y2px頂點O的兩條弦，且OA· OB 0，求以OA、 OB為直徑的兩圓的另一個交點P 的軌跡.(1

7、3分 )22912. 知函數(shù) f ( x) log 3( x 2mx 2m 2) 的定義域為 Rm 3(1) 求實數(shù) m的取值集合 M；(2) 求證：對 m M所確定的所有函數(shù)f ( x) 中，其函數(shù)值最小的一個是2，并求使函數(shù)值等于 2的的值和x的值 .m13. 設關于 x 的方程 2x2-tx-2=0的兩根為 ,(), 函數(shù) f(x)=4xt .x 21(1).求 f()和 f ( ) 的值。（2）。證明： f(x)在 , 上是增函數(shù)。（3）。對任意正數(shù)x 、 x , 求證：x1x2x1x2)2f () f (12x1x2x1x 214 已 知 數(shù) 列 an 各 項 均 為 正 數(shù) ， S

8、n 為 其 前 n 項 的 和 . 對 于 任 意 的 nN* ，都有4Snan21 .I 、求數(shù)列an的通項公式 .II 、若 2ntSn 對于任意的 nN * 恒成立，求實數(shù)t 的最大值 .15.( 12 分 ) 已知點 H（ 3， 0），點 P 在 y 軸上，點 Q在 x 軸的正半軸上，點M在直線 PQ上，且滿足 HP·PM =0，PM = 3 MQ，2（ 1）當點P在y軸上移動時，求點的軌跡；MC（ 2）過點 T（ 1， 0）作直線 l 與軌跡 C交于 A、B 兩點，若在 x 軸上存在一點E（ x0,0 ），使得 ABE為等邊三角形，求x0 的值 .16. （ 14 分）設f

9、1()=2, 定義fn+1 (x)=f1n(x) ,n=fn (0)1,其中nN*.x1xfafn (0)2(1) 求數(shù)列 an的通項公式；(2) 若 T2 =a1+2a2+3a3+ +2na2 , Q=4n 2n*與 Q的大小 ., 其中 nN , 試比較 9T2nnn4n 24nnn117 已知 a =（x,0 ）， b =（ 1，y），（ a + 3 b ）（ a 3 b ）（I ） 求點 （ x， y）的軌跡 C 的方程；（II ） 若直線 L：y=kx+m(m 0) 與曲線 C 交于 A、B 兩點， D（0， 1），且有 |AD|=|BD|，試求 m的取值范圍18已知函數(shù)f (x)

10、對任意實數(shù)p、 q 都滿足 f ( pq) f ( p)1f (q), 且f (1) .3（ 1）當 nN 時，求 f ( n) 的表達式；n3 ;（ 2）設 an nf (n)(nN), 求證：akk 14（ 3）設 bnnf (n1)(nnn1與 6f (n)N ), Snbk , 試比較1 Sk的大小k1k19已知函數(shù)f ( x) log a x( a0且 a 1), 若數(shù)列： 2, f ( a1 ), f (a2 ), ，f ( an ),2n4(nN ) 成等差數(shù)列 .（ 1）求數(shù)列 an 的通項 an ；（2）若 0a1, 數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，求 lim Sn ；n

11、（ ）若a2,令 bn an f(an)，對任意 nN ,都有 bnf1(t ) , 求實數(shù) t 的取值范圍 .320已知 OFQ的面積為 26 ,且OFFQm.（ 1）設6m4 6, 求向量 OF與 FQ的夾角正切值的取值范圍；（ 2）設以 O為中心， F 為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖）， | OF | c,m (61) c2 ，4當 | OQ | 取得最小值時，求此雙曲線的方程 .（ 3）設 F1 為（ 2）中所求雙曲線的左焦點，若A、 B 分別為此雙曲線漸近線l 1、 l 2 上的動點，且 2|AB|=5|F 1 F| ，求線段 AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.21、已知函

12、數(shù)f (x)3x2bx1是偶函數(shù)，g( x)5xc 是奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列an滿足a n1, f ( a nan 1)g( an 1 ana n2)1求an的通項公式；若an的前n 項和為Sn ，求 lim Sn .n22、直角梯形ABCD中 DAB90°， AD BC，AB 2， AD 3 ， BC 1 橢圓 C 以 A、B 為焦22點且經(jīng)過點D（ 1）建立適當坐標系，求橢圓C的方程；（ 2）若點 E 滿足 EC1AB 的直線 l與橢圓 C 交于 M、 N 兩點且AB ，問是否存在不平行2| ME | | NE |，若存在，求出直線l與 AB夾角的范圍，若不存在，說明理由23、設函數(shù)

13、f ( x)1,24 x（ 1）求證：對一切x R, f ( x)f (1x) 為定值；（ 2）記 an f (0)f (1 )f ( 2)f (n1)f (1)(nN *),求數(shù)列 an 的通nnn項公式及前 n 項和 .24. 已知函數(shù) f (x) 是定義在 R 上的偶函數(shù). 當 X0 時 ,f ( x) =7 x.x2x1(I) 求當 X<0 時 , f (x) 的解析式 ;(II)試確定函數(shù)y =f ( x)(X0) 在1,的單調性，并證明你的結論.(III)若 x12 且x22 ，證明：|f ( x1 ) f ( x2 ) |<2.25、已知拋物線 y 24x 的準線與

14、x 軸交于 M 點，過 M 作直線與拋物線交于A、 B 兩點，若線段 AB的垂直平分線與 X 軸交于 D( X0,0)求 X0 的取值范圍。 ABD能否是正三角形？若能求出X 的值，若不能，說明理由。026、已知 ABCD， A（ -2 ，0）， B（ 2， 0），且 AD =2求 ABCD對角線交點E的軌跡方程。過 A 作直線交以A、 B 為焦點的橢圓于M、 N兩點，且 MN= 82 ， MN的中點到 Y 軸的距3離為 4 ，求橢圓的方程。3與 E點軌跡相切的直線l 交橢圓于 P、 Q兩點，求 PQ的最大值及此時l 的方程。YDCEAOBX27（ 14 分）（理）已知橢圓x 2y 21( a

15、 1) ，直線 l 過點 A（ a，0）和點 B（ a， ta ）a 2（ t 0）交橢圓于M.直線 MO交橢圓于N.（ 1）用 a， t 表示 AMN的面積 S；（ 2）若 t 1 ， 2 ， a 為定值，求S 的最大值 .yMBAOxN28已知函數(shù) f ( x)= bx+c 的圖象過原點，且關于點（-1 ， 1）成中心對稱 .x+1（ 1）求函數(shù) f ( x) 的解析式；（ 2）若數(shù)列 an （ n N*）滿足： an>0，a1=1，an+1= f (an)2，求數(shù)列 an 的通項公式n，并證明你的結論.a30、已知點集 L ( x, y) | y m n, 其中 m(2xb,1),

16、 n(1, b1), 點列 n (an ,bn ) 在LP中， P1 為 L 與 y 軸的交點，等差數(shù)列 an 的公差為1， nN。（1）求數(shù)列 an ， bn 的通項公式；5(n2), 求 lim (c1c2cn ) ；（2）若 cnn | P1 Pn |nan (n2k1)N使得 f (k11)2 f (k ), 若存（3）若 f (n)2k )(k N ), 是否存在 kbn (n在，求出 k 的值；若不存在，請說明理由。21經(jīng)過拋物線y24x 的焦點 F的直線 l 與該拋物線交于A 、 B 兩點 . (12 分 )（ 1）若線段AB的中點為 M ( x, y) , 直線的斜率為k ,

17、試求點 M 的坐標 , 并求點 M 的軌跡方程（2）若直線l 的斜率k2, 且點M到直線3x4 ym0 的距離為1,試確定m 的取值范5圍 .1（1）解：由題意，可設橢圓的方程為x2y21(a2) 。a22a222由已知得c,解得 a6, c22( a2cc).c所以橢圓的方程為x2y21，離心率 e662。3（2）解：由（ 1）可得 A（ 3， 0）。x2y21設直線 PQ的方程為 yk (x3) 。由方程組62,yk ( x3)得 (3k 21) x218k2 x 27k260 ，依題意12( 23k 2 )0 ，得6k6。18k 2k233設 P( x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )

18、 ，則 x1x21 ， x1 x2276。32321kk由直線 PQ的方程得 y1k (x13),y2k( x23) 。于是y1 y2k2 (x13)(x23)k2 x1 x23(x1x2 )9。 OP OQ 0 ， x1 x2y1 y20 。由得5k21 ，從而 k5(6,6) 。533所以直線 PQ的方程為 x5y30或x5y30（3，理工類考生做）證明：AP( x13,y1 ),AQ( x23, y2 ) 。由已知得方程組1323x( x),y1y2 ,x12y12162,x22y22162.注意1，解得251x2因 F (2, 0), M ( x1 ,y1 ) ，故FM(x12y1)(

19、 (x23)1y1)(1,y1 )(1,y2 )。,22而(22,2 )(12 )，所以 FMFQ 。FQy,x2y2 f(x)= x2k 1(2k x2k+2, k Z)略方程在 1 ， 4 上有 4 個實根3 x2 =4y x1x2=-4P(±2,1)MIN=7S4 .解：因 a 1，不防設短軸一端點為B（ 0， 1設 BC y kx 1（ k0則 AB y 1 x 1k把 BC是（ 1 a2k2） x22a2kx 0| BC| 1 k22a2 k，同理|AB 1 k22a21a 2 k 2|k2a2由| AB| | BC|k3 a2k2 ka2 1 0（ k 1） k2（ 1

20、a2） k 1 0 k 1 或 k2（ 1 a2） k 1 0當 k2（ 1 a2）k 1 0 時，（ a2 1） 2 4由 0，得 1 a3由 0，得 a3 ，此時， k 1故，由0，即 1a3由 0 即 a3 時有三解5 解：依題意，知 a、 b 0 a b c 且 a b c 0a 0 且 c 0（）令 f （x） g（x得 ax2 2bx c 0. （ * 4（ b2 ac）a 0， c0， ac 0， 0f （ x）、 g（ x）相交于相異兩點（）設 x1、 x2 為交點 A、B則| A1B1| 2 | x1 x2| 2，由方程（ *24b 24ac4( a c) 24ac| A1B

21、1| a2a 24(a2c2ac)a24 ( c ) 2c1 (*)aa a b c 02a c0 ，而 a 0， c2abaab c0a 2c0 ， c1bca2 2c1a 2 4（ c ） 2 c 1（ 3， 12aa| A1B1| （3 ，23 ）6、解：（1） f ' x = 3x22ax依題意得k= f ' 1 =3+2a=3， a= 3f xx 33x 21 ，把 B（ 1， b）代入得 b= f 11 a=3， b= 1（ 2）令 f ' x =3x2 6x=0 得 x=0 或 x=2 f （ 0） =1， f （2） =233× 22 1=3

22、f （ 1） = 3，f （ 4） =17 x 1， 4 ， 3 f （x） 17要使 f （x） A1987 對于 x 1， 4 恒成立，則f （x）的最大值17 A 1987 A 2004。（ 1） 已知 g（x） = x33x21 3x2tx 1x3tx g ' x3x2t 0 x 1， 3 3x2 0， 當 t 3 時， t 3x2 0， 即 g 'x 0 g（ x）在 (0.1 上為增函數(shù)，g（ x）的最大值 g（ 1） =t 1=1, 得 t=2 （不合題意 , 舍去） 當 0 t 3 時 , g ' xx 2t3令 g ' x=0, 得 x=t3列

23、表如下 :x（ 0,t ）t33g ' x0g（ x）極大值tt3g（ x）在 x=t處取最大值3 t=133 t= 3 27 = 33 2 t 3423 x= t 13當 t 0 時， g ' x3x 2t 0， g（ x）在 (0.1 上為減函數(shù)， g（ x）在 (0.1 上為增函數(shù)，存在一個 a=33 2 ，使 g（ x）在 (0.1 上有最大值 1。27、解 : （ 1）設動點的坐標為P（ x,y ） , 則 H（0,y ） , PHx,0 , PMPN =（2 x, y） PM · PN =（ 2 x, y）·（ 2x, y） = x 24 y2P

24、Hx由題意得 PH2=2· PM · PNt(,1=（ 2 x, y）即 x22 x 24 y 2即 x 2y 21，所求點 P 的軌跡為橢圓8 4（ 2）由已知求得 N（ 2， 0）關于直線 x+y=1 的對稱點 E（ 1， 1），則 QE = QN雙曲線的C實軸長 2a= QMQNQMQEME10 （當且僅當Q、E、M共線時取“ =”），此時，實軸長2a 最大為1010所以，雙曲線C的實半軸長a=又 c1 NM 2, b 2c2a2322雙曲線 C的方程式為 x2y 2153228. （ 1） bn12n1（2）711 111111111161Sn8(2428216)8(162422422)8180129解：（）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx ，則 kx-y=0該直線與圓 x 2( y2) 21 相切，雙曲線 C 的兩條漸近線方程為y=± x故設雙曲線 C 的方程為 x2y 21a 2a 2又雙曲線 C 的一個焦點為(2 ,0) 2a 22 ， a 21 雙曲線 C 的方程為 x2y 21 ymx1得 (