高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第4節(jié)　基本不等式

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第4節(jié)基本不等式 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)利用基本不等式比較大小、證明1、3、12基本不等式求最值4、5、6、7、8、11、13基本不等式的實(shí)際應(yīng)用10、14、16基本不等式與其它知識(shí)的綜合2、9、15a組一、選擇題1.(高考福建卷)下列不等式一定成立的是(c)(a)lgx2+14>lg x(x>0)(b)sin x+1sinx2(xk,kz)(c)x2+12|x|(xr)(d)1x2+1>1(xr)解析:對(duì)選項(xiàng)a,當(dāng)x>0時(shí),x2+14-x=x-1220,lgx2+14lg x;對(duì)選項(xiàng)b,當(dāng)sin x&l

2、t;0時(shí)顯然不成立;對(duì)選項(xiàng)c,x2+1=|x|2+12|x|,一定成立;對(duì)選項(xiàng)d,x2+11,0<1x2+11.故選c.2.(20xx安徽省示范高中高三模擬)“1<a<2”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2x+ax2”的(a)(a)充分不必要條件(b)必要不充分條件(c)充要條件 (d)既不充分也不必要條件解析:2x+ax22a2a12.故選a.3.(20xx重慶市部分重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考)已知p=a+1a-2(a>2),q=（12） x2-2(xr),則p,q的大小關(guān)系為(a)(a)pq(b)p>q(c)p<q(d)pq解析:p=a+1a-2=(a-2)+1a-

3、2+22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí),取得等號(hào);而由于x2-2-2,故q=（12） x2-2（12）-2=4,故pq.故選a.4.(高考浙江卷)若正數(shù)x、y滿(mǎn)足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(c)(a)245(b)285(c)5(d)6解析:由x+3y=5xy,得3x+1y=5(x>0,y>0),則3x+4y=15(3x+4y)3x+1y=1513+12yx+3xy1513+212yx·3xy=15(13+12)=5.當(dāng)且僅當(dāng)12yx=3xy,即x=2y時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)由x=2y,x+3y=5xy,解得x=1,y=12.故選c.5.(20xx湖北省黃岡

4、中學(xué)高三二模)設(shè)x,yr,a>1,b>1,若ax=by=2,a2+b=4,則2x+1y的最大值為(b)(a)1(b)2(c)3(d)4解析:由題意得:1x=log2a,1y=log2b,2x+1y=2log2a+log2b=log2(a2b)log2（a2+b2）2=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=a2時(shí)等號(hào)成立,故選b.6.(20xx山東師大附中高三三模)設(shè)a>0,b>0.若3是3a與3b的等比中項(xiàng),則1a+1b的最小值是(c)(a)2(b)14(c)4(d)8解析:由題意知3a×3b=(3)2,即3a+b=3,所以a+b=1.所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+

5、ab2+2ba×ab=4,當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab,即a=b=12時(shí),取等號(hào),所以最小值為4.故選c.7.(20xx深圳一調(diào))已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為(d)(a)22(b)22(c)2(d)2解析:依題意得4xy=x+2y+422xy+4,即2(xy)2-2·xy-20,(2xy+2)(xy-2)0;又2xy+2>0,因此xy-20,即xy2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào),因此xy的最小值是2,故選d.二、填空題8.(20xx湖北黃州模擬)已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an中,a4與a14的等比中項(xiàng)為22,則2a7+a11的最小值為.&#

6、160;解析:由已知a4a14=(22)2=8.再由等比數(shù)列的性質(zhì)有a4a14=a7a11=8.又a7>0,a11>0.2a7+a1122a7a11=8.當(dāng)且僅當(dāng)2a7=a11時(shí)等號(hào)成立.答案:89.已知直線(xiàn)ax-2by=2(a>0,b>0)過(guò)圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,ab的最大值為. 解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4,所以圓心為(2,-1),因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)圓心,所以2a+2b=2,即a+b=1.所以ab（a+b2）2=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào),所以ab的最大值為14.答案:1410.(20xx北京朝陽(yáng)質(zhì)檢)某公司購(gòu)買(mǎi)一批

7、機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(xn*),則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值是萬(wàn)元. 解析:每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為yx=18-(x+25x),而x>0,故yx18-225=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)年平均利潤(rùn)最大,最大值為8萬(wàn)元.答案:5811.(20xx山師大附中高三第四次模擬)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正實(shí)數(shù),若ab,則t=x+2y的最小值是. 解析:因?yàn)閍b,所以a·b=(x,-2)·

8、(y,1)=0,即xy=2.又t=x+2y22xy=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí),等號(hào)成立,所以t=x+2y的最小值是4.答案:4三、解答題12.已知函數(shù)f(x)=lg x,若x1,x2>0,判斷12f(x1)+f(x2)與fx1+x22的大小,并加以證明.解:12f(x1)+f(x2)fx1+x22.證明如下:f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),fx1+x22=lg x1+x22,且x1,x2>0,x1x2x1+x222,lg(x1x2)lgx1+x222,12lg(x1x2)lg x1+x22,即12(lg x1+lg x2)lg x1+x22.12

9、f(x1)+f(x2)fx1+x22,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號(hào)成立.13.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解:(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,又x>0,y>0,則1=8x+2y28x·2y=8xy,得xy64,當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時(shí),等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,則x+y=（8x+2y）·(x+y)=10+2xy+8yx10+22xy·8yx=18.當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時(shí)等號(hào)成立,x+y的最小值為18.b組1

10、4.(20xx廣州市畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)某輛汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)時(shí)的費(fèi)用是15萬(wàn)元,每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、路橋費(fèi)、汽油費(fèi)等約為1.5萬(wàn)元.年維修保養(yǎng)費(fèi)用第一年3000元,以后逐年遞增3000元,則這輛汽車(chē)報(bào)廢的最佳年限(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少)是(b)(a)8年(b)10年(c)12年(d)15年解析:當(dāng)這輛汽車(chē)使用n年時(shí),相應(yīng)的年平均費(fèi)用為15+1.5n+0.3n+n(n-1)2×0.3n=12（30n+0.3n+3.3）12×（230n×0.3n+3.3）,當(dāng)且僅當(dāng)30n=0.3n,即n=10時(shí)取等號(hào),因此這輛汽車(chē)使用10年時(shí),相應(yīng)的年平均費(fèi)用最少,故選b.15(20x

11、x河北省普通高中高三質(zhì)檢)已知m是abc內(nèi)的一點(diǎn)(不含邊界),且ab·ac=23,bac=30°,若mbc,mca和mab的面積分別為x,y,z,則1x+y+4z的最小值是. 解析:可得ab·ac=|ab|·|ac|cos bac=23,則|ab|·|ac|=4,abc的面積為12|ab|·|ac|sin bac=1,則x+y+z=1,1x+y+4z=x+y+zx+y+4(x+y+z)z=5+zx+y+4(x+y)z5+2zx+y·4(x+y)z=9,當(dāng)且僅當(dāng)z=2(x+y)=23時(shí),等號(hào)成立.答案:916.某商店預(yù)備在一個(gè)月內(nèi)分批購(gòu)入每張價(jià)值為20元的書(shū)桌共36張,每批都購(gòu)入x張(x是正整數(shù)),且每批均需付運(yùn)費(fèi)4元,儲(chǔ)存購(gòu)入的書(shū)桌一個(gè)月所付的保管費(fèi)與每批購(gòu)入書(shū)桌的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比,若每批購(gòu)入4張,則該月需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)共52元,現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi).(1)求該月需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用f(x);(2)能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.解:(1)設(shè)題中比例系數(shù)為k,若每批購(gòu)入x張書(shū)桌,則共需分36x批,每批價(jià)值為20x元,由